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立体几何
一、直线与平面夹角
1.
如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为直角梯形，其中
．
(1)证明：平面
平面
．
(2)若点
，
，
，
在同一球面上，设该球面的球心为
．
（i）求球
的表面积；
（ii）求直线
与平面
所成角的大小．
2.
如图，在三棱锥
中，
平面
，
，平面
平面
，棱
的中点为O．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
到平面
的距离为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
3.
如图，平行四边形
中，
中点为
，现以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置.
(1)若
中点为
，证明：
平面
；
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值.
4.
如图，在三棱锥
中，底面
是等腰直角三角形，
底面
是
的中点，
是
的中点，且
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
5.
如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
平面
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
二、已知线面角求其他量
6.
如图，三棱台
中，侧面四边形
为等腰梯形，底面三角形
为正三
角形，且
.设
为棱
上的点.
(1)若
为棱
的中点，求证
；
(2)若三棱台
的体积为7，且侧面
底面
，试探究是否存在点
，
使直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，确定点
的位置；若不存在，
说明理由.
7.
如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
为
的中点．
平面
(1)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(2)问在线段
上，是否存在点
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，
求点Q 的位置；若不存在，说明理由．
8.
如图1，在边长为4 的菱形
中，
，点
分别是边
的中点，
与
交于点
与
交于点
.沿
将
翻折到
的位置，连接
，得到如图2 所示的五棱锥
.
(1)证明：
平面
；
(2)若平面
平面
，线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所
成角的正弦值为
？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
9.
如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，且平面
平面
，在平面
内过
，交
于
，连接
．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值：
(3)在线段
上存在一点
，使直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求
的
长．
10. 如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，
为
的中点．
平面
，
.
(1)若
分别为
的中点，求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
所成角的余弦值.
(3)问在线段
上，是否存在点
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，
求点
的位置；若不存在，说明理由；
三、平面与平面所成角
11.
如图，在斜三棱柱
中，
，O 是BC 的中
点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
底面ABC，且直线
与底面ABC 所成角为
，D 是棱
的中点，求平面
与平面ABC 夹角的余弦值．
12. 如图，在三棱锥
中，
是边长2 的等边三角形，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)求二面角
的正弦值.
13. 四棱锥
中，
是
的中点.
(1)
为
的中点，
为
上一点，
面
，证明:
为
中点；
(2)若面
面
，面
面
，求:平面
与面
夹角的余
弦值.
14. 在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
，
分别是
中点，
与平面
交于点
，
.
(1)证明：
是
的中点；
(2)求平面
与平面
夹角的大小；
(3)求点
到平面
的距离.
15. 如图，点
为正方形
所在平面外一点，
为
中点，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，
，
.
①若点
到平面
的距离为
，求
的值.
②当
时，求平面
与平面
夹角的余弦值.
四、已知面面角求其他量
16. 如图，在四棱锥
中，四边形
为矩形，
，
．平面
平面
为
的中点，点
为线段
上的动点（点
不
与点
重合）．
(1)求证：
平面
．
(2)当
时，求证：
平面
．
(3)是否存在点
，使得平面
和平面
夹角的余弦值为
？若存在，求
的值；
若不存在，说明理由．
17. 如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
为菱形，且
，
，点
为棱
的中点.
(1)在棱
上是否存在一点
，使得
平面
？如果存在，确定点N 的位置，如果
不存在，请说明理由；
(2)若二面角
的余弦值为
时，求棱
的长度.
18. 如图，在四棱锥
中，
，底面ABCD 是边长为2 的菱形且
.设
为AD 的中点且
，点
到平面ABCD 的距离为
.
(1)求证：
.
(2)在线段PC 上是否存在一点
，使得锐二面角
的余弦值为
，若存在，说
明点
的位置；若不存在，请说明理由.
19. 如图，已知圆台
，AB，CD，EF 均为母线，四边形
为圆台的轴截面，且
，
．
(1)证明：
；
(2)求异面直线EF 与BC 所成角；
(3)已知二面角
的余弦值为
，求圆台的高
的长．
20. 如图①，在菱形
中，
且
为
的中点，将
沿
折起使
，得到如图②所示的四棱锥
，在四棱锥
中，求解下列问题：
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角为
？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由.
五、距离问题
21. 如图，在多面体
中，平面
平面
，底面
为直角梯形，
，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
22. 四棱锥
，
面
，
，
，
，
，
，M 是
PD 中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
①求平面PAB 与平面PCD 夹角的正弦值；
②在线段BD 上是否存在点Q，使得点D 到平面PAQ 的距离为
？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
23. 如图，在四棱锥
中，侧面
底面
，侧棱
，底面
为直角梯形，其中
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)线段
上是否存在
，使得它到平面
的距离为
？若存在，求出
的值；若
不存在，请说明理由.
24. 如图，在多面体
中，四边形
为直角梯形，且满足
，
，
，
，
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
25. 如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为棱
的中点．
(1)求异面直线
与
成角的余弦值；
(2)求点
到平面
的距离．
