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25 秋新课改人教版八上数学
期末压轴证明题20 道
1.如图，已知 𝐶 是 𝐴B 的中点，点 𝐸 在 𝐶D 上，且 𝐴E =𝐵D．
求证：∠1 = ∠2．
解：延长 𝐷C 至点 𝐹，使 𝐶F =𝐶D，连接 𝐴F，则 ∠𝐷CB = ∠𝐹CA．
∵ 𝐶 是 𝐴B 的中点，
∴ 𝐴C =𝐵C．
∵ 𝐴C =𝐵C，∠𝐷CB = ∠𝐹CA，𝐶F =𝐶D，
∴ △𝐴CF≌△𝐵CD，
∴ ∠2 = ∠𝐹，𝐷B =𝐴F．
∵ 𝐴E =𝐷B，
∴ 𝐴E =𝐴F，
∴ ∠1 = ∠𝐹= ∠2，即 ∠1 = ∠2．
2.如图，在 △𝐴BC 中，𝐴B =𝐴C，点 𝐷，𝐸，𝐹 分别在 𝐴B，𝐵C，𝐴C 上，
且 𝐵E =𝐶F，∠𝐵= ∠𝐷EF，求证：∠𝐸DF = ∠𝐸FD．
解：∵ ∠𝐵DE + ∠𝐷BE + ∠𝐷EB = 180∘，∠𝐵ED + ∠𝐷EF + ∠𝐹EC = 180∘，
∠𝐵= ∠𝐷EF，
∴ ∠𝐵DE = ∠𝐹EC．
∵ 𝐴B =𝐴C，
∴ ∠𝐵= ∠𝐶．
在 △𝐷BE 和 △𝐸CF 中，∠𝐵DE = ∠𝐶EF，∠𝐵= ∠𝐶，𝐵E =𝐶F，
∴ △𝐷BE≌△𝐸CF，
∴ 𝐷E =𝐸F，
∴ ∠𝐸DF = ∠𝐸FD．
3.在 △𝐴BC 中，𝐴B =𝐶B，∠𝐴BC =90º，𝐹 为 𝐴B 延长线上一点，点 𝐸
在 𝐵C 上，且 𝐴E =𝐶F．
(1) 求证：Rt △ABE≌Rt △CBF；
(2) 若 ∠𝐶AE =30º，求 ∠𝐴CF 度数．
解：∵∠𝐴BC = 90∘，
∴∠𝐶BF = ∠𝐴BE = 90∘．
在 Rt △ABE 和 Rt △CBF 中，
𝐴E =𝐶F,
𝐴B =𝐵C,
∴Rt △ABE≌Rt △CBF (HL)．
(2) ∵𝐴B =𝐵C，∠𝐴BC = 90∘，
∴∠𝐶AB = ∠𝐴CB = 45∘．
∵∠𝐵AE = ∠𝐶AB ― ∠𝐶AE = 45∘― 30∘= 15∘，由（1）知 Rt △ABE≌Rt
△CBF，
∴∠𝐵CF = ∠𝐵AE = 15∘，
∴∠𝐴CF = ∠𝐵CF + ∠𝐴CB = 45∘+ 15∘= 60∘．
4.如图，在 △𝐴BC 和 △𝐴BD 中，𝐴C 与 𝐵D 相交于点 𝐸，𝐴D =𝐵C，∠
𝐷AB = ∠𝐶BA，求证：𝐴C =𝐵D．
解：在 △𝐴DB 和 △𝐵CA 中，
𝐴D =𝐵C,
∠𝐷AB =∠𝐶BA,
𝐴B =𝐵A,
∴△𝐴DB≌△𝐵CA (SAS)．
∴𝐴C =𝐵D．
5.如图，已知 ∠𝐶= ∠𝐷= 90∘，𝐴C 与 𝐵D 交于点 𝑂，𝐴C =𝐵D．
(1) 求证：𝐵C =𝐴D；
(2) 求证：点 𝑂 在线段 𝐴B 的垂直平分线上．
解：(1) 在 Rt △𝐴CB 和 Rt △𝐵DA 中，
𝐴C =𝐵D,
𝐴B =𝐵A,
∴Rt △𝐴CB≌Rt △𝐵DA(HL)．
∴𝐵C =𝐴D．
(2) 由（1）得 Rt △𝐴CB≌Rt △𝐵DA，
∴∠𝐶AB = ∠𝐷BA．
∴𝑂A =𝑂B．
∴ 点 𝑂 在线段 𝐴B 的垂直平分线上．
6.如图，𝐴D 是 △𝐴BC 的高，𝐸 为 𝐴C 上一点，𝐵E 交 𝐴D 于点 𝐹，且
𝐵D =𝐴D，𝐹D =𝐶D．
解：(1) 试说明 𝐵F 与 𝐴C 的位置关系和数量关系；
(2) 连接 𝐷E，求 ∠𝐷EC 的大小．
(1) 𝐵F ⊥𝐴C 且 𝐵F =𝐴C．理由如下：
∵𝐴D ⊥𝐵C，
∴∠𝐴DB = ∠𝐴DC = 90∘．
又 𝐴D =𝐵D，𝐶D =𝐹D，
∴△𝐴DC≌△𝐵DF(SAS)．
∴𝐴C =𝐵F，∠𝐶AD = ∠𝐹BD．
又 ∠𝐶AD + ∠𝐴CD = 90∘，
∴∠𝐹BD + ∠𝐴CD = 90∘，即 ∠𝐸BC + ∠𝐸CB = 90∘．
∴∠𝐵EC = 90∘．
∴𝐵E ⊥𝐴C，即 𝐵F ⊥𝐴C．
(2) 如图 1，连接 𝐷E，过点 𝐷 作 𝐷M ⊥𝐵E，𝐷N ⊥𝐴C，垂足分别为
𝑀，𝑁．
∴∠𝐷MF = ∠𝐷NC = 90∘．
由（1）得 △𝐴DC≌△𝐵DF，
∴∠𝐷FM = ∠𝐶．
又 𝐷F =𝐷C，
∴△𝐷MF≌△𝐷NC(AAS)．
∴𝐷M =𝐷N．
∵𝐷E 是 ∠𝐵EC 的平分线．
由（1）得 ∠𝐵EC = 90∘，
∴∠𝐷EC = 1
2∠𝐵EC = 45∘．
7.已知：如图，𝑃 是 ∠𝐴OB 平分线上的一点，𝑃D ⊥𝑂A，𝑃E ⊥𝑂B，垂
足分别为 𝐷，𝐸．求证：
(1) 𝑂D =𝑂E；
(2) 直线 𝑂P 是线段 𝐷E 的垂直平分线．
解：(1) ∵𝑃 是 ∠𝐴OB 平分线上的一点，
∴∠𝐴OP = ∠𝐵OP，
∵𝑃D ⊥𝑂A，𝑃E ⊥𝑂B，
∴∠𝑃DO = ∠𝑃EO = 90∘，
又 ∠𝐴OP = ∠𝐵OP，𝑂P =𝑂P，
∴△𝑂DP≌△𝑂EP(AAS)，
∴𝑂D =𝑂E．
(2) ∵△𝑂DP≌△𝑂EP，
∴𝐷P =𝑃E，
∴ 点 𝑃 在线段 𝐷E 的垂直平分线上，
∵𝑂D =𝑂E，
∴ 点 𝑂 在线段 𝐷E 的垂直平分线上，
∴ 直线 𝑂P 是线段 𝐷E 的垂直平分线．
8.如图，已知 △𝐴BC 中，点 𝐷，𝐸 分别是 𝐴C，𝐵C 上的点，𝐴B =𝐵E，
𝐴D =𝐷E．
(1) 说明 𝐵D 平分 ∠𝐴BC 的理由；
(2) 如果 ∠𝐴= 70∘，∠𝐶= 50∘，求 ∠𝐸DC 的度数．
解：(1) 在 △𝐴BD 和 △𝐸BD 中，
𝐴B =𝐸B,
𝐴D =𝐸D,
𝐵D =𝐵D,
所以 △𝐴BD≌△𝐸BD，
所以 ∠𝐴BD = ∠𝐸BD，
即 𝐵D 平分 ∠𝐴BC．
(2) 因为 △𝐴BD≌△𝐸BD，
所以 ∠𝐵ED = ∠𝐴，
而 ∠𝐴= 70∘，
所以 ∠𝐵ED = 70∘，
又因为 ∠𝐵ED = ∠𝐸DC + ∠𝐶 且 ∠𝐶= 50∘，
所以 ∠𝐸DC = 20∘．
9.已知：如图，𝐴B =𝐷C，𝐴E =𝐷F，𝐶E =𝐹B，求证：𝐴F =𝐷E．
解： ∵𝐶E =𝐹B，
∴𝐶E +𝐸F =𝐸F +𝐹B，
即 𝐶F =𝐵E．
在 △𝐴BE 和 △𝐷CF 中，
𝐴B =𝐷C,
𝐴E =𝐷F,
𝐵E =𝐶F,
∴△𝐴BE≌△𝐷CF．
∴∠𝐴EF = ∠𝐷FE．
在 △𝐴EF 和 △𝐷FE 中，
𝐴E =𝐷F,
∠𝐴EF =∠𝐷FE,
𝐸F =𝐹E,
∴△𝐴EF≌△𝐷FE．
∴𝐴F =𝐷E．
10.如图，在 △𝐴BC 中，∠𝐴= 60∘，𝐵D，𝐶E 分别平分 ∠𝐴BC，∠𝐴CB，
设 𝐶E 与 𝐵D 相交于点 𝑂．
(1) 求 ∠𝐵OE 的度数；
(2) 猜想线段 𝐵C，𝐵E，𝐶D 之间有何数量关系，并说明理由．
解：(1) 因为 ∠𝐴= 60∘，
所以 ∠𝐴BC + ∠𝐴CB = 120∘，
因为 𝐵D，𝐶E 分别平分 ∠𝐴BC，∠𝐴CB，
所以 ∠𝑂BC = 1
2∠𝐴BC，∠𝑂CB = 1
2∠𝐴CB，
所以 ∠𝑂BC + ∠𝑂CB = 1
2 × 120∘= 60∘，
所以 ∠𝐵OC = 120∘，
所以 ∠𝐵OE = ∠𝐶OD = 180∘― 120∘= 60∘．
(2) 过点 𝑂 作 𝑂F 平分 ∠𝐵OC，交 𝐵C 于点 𝐹，
则 ∠𝐵OF = ∠𝐶OF = 60∘．
在 △𝐵OE 与 △𝐵OF 中，
∠𝐵OE =∠𝐵OF,
𝑂B =𝑂B,
∠𝐴BO =∠𝐶BO,
所以 △𝐵OE≌△𝐵OF，
所以 𝐵E =𝐵F，
同理可得 𝐶D =𝐶F，
因为 𝐵C =𝐵F +𝐶F，
所以 𝐵C =𝐵E +𝐶D .
11.如图，在平行四边形 𝐴BCD 中，𝐸 是 𝐴D 的中点，𝐶E 交 𝐵A 的延长
线于点 𝐹．
(1) 试说明：𝐶D =𝐴F；
(2) 若 𝐵C =𝐵F，试说明：𝐵E ⊥𝐶F．
(1) ∵ 四边形 𝐴BCD 是平行四边形，
解：∴𝐴B∥𝐶D，
∴∠𝐷CE = ∠𝐹．
∵𝐸 是 𝐴D 的中点，
∴𝐷E =𝐴E．
在 △𝐷EC 和 △𝐴EF 中，
∠𝐷CE =∠𝐹,
∠𝐷EC =∠𝐴EF,
𝐷E =𝐴E,
∴△𝐷EC≌△𝐴EF，
∴𝐷C =𝐴F．
(2) 由（1）△𝐷EC≌△𝐴EF，
∴𝐸F =𝐸C，即点 𝐸 为 𝐶F 的中点．
又 ∵𝐵C =𝐵F，相关配套资料关注公众号学海无涯甜作舟获取
∴𝐵E ⊥𝐶F（等腰三角形的三线合一）．
12.如图，在 △𝐴BC 中，𝐷，𝐸 分别是 𝐴C，𝐵C 边上的点，𝐴E 与 𝐵D
交于点 𝐹，且 𝐶D =𝐶E，∠1 = ∠2．
(1) 说明 𝐴D =𝐵E 的理由；
(2) 若 ∠𝐴FD =2∠1，说明 𝐵D 平分 ∠𝐴BC 的理由．
解：(1) △𝐴CE≌△𝐵CD⇒𝐴C =𝐵C，
又 𝐶D =𝐶E，即可说明 𝐴D =𝐵E．
(2) △𝐴DF≌△𝐵EF⇒𝐴F =𝐵F，
再利用外角 ∠𝐴FD =2∠𝐴BF =2∠1 即可说明．
