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§2.7 指数运算与对数运算
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.下列各式正确的是( )
A.√(-3)
2=-3
B.4√x
4=x
C.√2
2=2
D.a0=1
2.设alog34=2，则4-a等于( )
A. 1
16
B.1
9
C.1
8
D.1
6
3.(2024·武汉模拟)已知ab≠1，logam=2，logbm=3，则logabm 等于( )
A.1
6
B.1
5
C.5
6
D.6
5
4.(2025·恩施模拟)区块链作为一种革新技术，已经应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定
为256 比特，则密码一共有2256种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行2256次运算.现在有一台机
器，每秒能进行2.5×1011次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时
间大约为(参考数据：lg 2≈0.301，100.658≈4.5)( )
A.4.5×1065秒
B.4.5×1083秒
C.4.5×1017秒
D.4.5×107秒
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.下列判断正确的有( )
A.
4√(3- π )
4=π-3
B.ln m·ln n=ln(m+n)(其中m>0，n>0)
C.√a·√a·√a=a
7
8(其中a>0)
D.27
- 1
3=2
lo g 1
2
3
6.以下运算中正确的有( )
A.若lg 3=m，lg 2=n，则log518=2m+n
1-n
B.[(1-√2)
2]
1
2-(1+√2)
-1+(1+√2)
0=3-2√2
C.(
1
3)
-2
-2ln(ln ee)=7
D.log23·log94=2
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2025·白银统考)27
2
3+log85·log 1
52+102lg 2-lg 3= .
8.(2025·南通模拟)已知2m=3n=5，则4
m
n = .
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)计算下列各式的值：
(1)(-3 3
8)
- 2
3+0.002
- 1
2-10×(√5-2)
-1+(√2-√3)
0；(6 分)
(2)(log32+log92)(log43+log83)-e
ln 5
4.(7 分)
10.(14 分)已知P=80.25×4√2+(
27
64)
- 1
3-(-2 024)0，Q=2log32-log332
9 +log38.
(1)分别求P 和Q；(8 分)
(2)若2a=5b=m，且1
a+1
b=Q，求m.(6 分)
11 题5 分，12 题6 分，共11 分
11.(2024·连云港模拟)荀子《劝学》中说：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是
日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是
1%，一年后是1.01365≈37.783 4；而把(1-1%)365看作是每天的“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.025
5，这样，一年后的“进步值”是“退步值”的1.01
365
0.99
365≈1 481 倍.那么当“进步值”是“退步值”的5 倍时，
大约经过 天.(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)( )
A.70
B.80
C.90
D.100
12.(多选)已知3a=8b=24，则a，b 满足的关系是( )
A.1
a+1
b=1
B.1
a+1
b=2
C.(a-1)2+(b-1)2<2
D.(a-1)2+(b-1)2>2
答案精析
1.C [√(-3)
2＝3，故A 错误；
4√x
4＝|x|，故B 错误；
√2
2＝2，故C 正确；
a0＝1，当a≠0 时成立，故D 错误.]
2.B [由alog34＝2 可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝1
9.]
3.D [由换底公式得，logma＝
1
lo gam ＝1
2，logmb＝
1
lo gbm ＝1
3，
所以logabm＝
1
lo gm(ab)
＝
1
lo gma＋lo gmb ＝6
5.]
4.A [由题意知所需时间
t＝
2
256
2.5×10
11(秒)，
∴lg t＝256lg 2－(lg 2.5＋11)
＝256lg 2－(lg 10
4 ＋11)
＝258lg 2－12≈65.658，
∴t≈1065.658＝100.658×1065
≈4.5×1065(秒).]
5.ACD [对于A，
4√(3- π )
4
＝|3－π|＝π－3，A 正确；
对于B，由对数性质可知
ln(mn)＝ln m＋ln n，B 错误；
对于C，√a·√a·√a＝√a·√a·a
1
2＝√a·√a
3
2 ＝√a·a
3
4 ＝√a
7
4＝a
7
8，C 正确；
对于D，27
- 1
3 ＝(3
3)
- 1
3＝3－1＝1
3，2
lo g 1
2
3
＝2
-lo g23＝2
lo g23
-1＝3－1＝1
3，所以27
- 1
3 ＝2
lo g 1
2
3，D 正确.]
6.AC [对于A，log518＝lg18
lg5 ＝lg2＋lg9
1-lg2
＝2lg3＋lg2
1-lg2
＝2m＋n
1-n
，故A 正确；
对于B，[(1-√2)
2]
1
2 －(1＋√2)
-1＋(1＋√2)
0＝√2－1－
1
1＋√2＋1＝√2－
1-√2
(1＋√2)(1-√2) ＝√2＋1
－√2＝1，故B 错误；
对于C，(
1
3)
-2
－2ln(ln ee)
＝9－2ln e＝9－2＝7，故C 正确；
对于D，log23·log94＝log23·
lo g24
lo g29 ＝log23·
2
2lo g23＝1，故D 错误.]
7.10
解析 27
2
3＋log85·log 1
52＋102lg 2－lg 3
＝(33)
2
3＋log85·log5
-12＋10
lg 2
2-lg3
＝32－log85·log52＋10
lg 4
3
＝9－log2
32＋4
3
＝9－1
3 ＋4
3 ＝10.
8.9
解析 由2m＝3n＝5，
可得m＝log25，n＝log35，
则
m
n ＝lo g25
lo g35 ＝lo g25
lo g25
lo g23
＝log23，
则4
m
n ＝4
lo g23＝2
2lo g23＝2
lo g29＝9.
9.解 (1)(-3 3
8)
- 2
3 ＋0.002
- 1
2
－10×(√5-2)
-1＋(√2-√3)
0
＝(-1)
- 2
3×(
27
8 )
- 2
3 ＋(
1
500)
- 1
2
－10
√5-2＋1
＝(
3
2)
3×(- 2
3)＋500
1
2
－10×(√5＋2)＋1
＝4
9 ＋10√5－10√5－20＋1＝－167
9 .
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)－e
ln 5
4
＝(lo g32＋1
2 lo g32)(
1
2 lo g23＋1
3 lo g23)
－5
4 ＝3
2log32×5
6log23－5
4 ＝3
2×5
6×log32×log23－5
4 ＝5
4 －5
4 ＝0.
10.解 (1)P＝80.25×
4√2＋(
27
64)
- 1
3－(－2 024)0
＝(8×2)
1
4 ＋[(
3
4)
3
]
- 1
3－1
＝2＋4
3 －1＝7
3，
Q＝2log32－log332
9 ＋log38
＝log3(4÷ 32
9 ×8)＝log39＝2.
(2)因为2a＝5b＝m>0，
所以a＝log2m，b＝log5m，
由换底公式得1
a＝logm2，
1
b＝logm5，则m≠1，
则1
a ＋1
b＝logm2＋logm5＝logm10，
由于1
a ＋1
b＝Q，故logm10＝2，
所以m＝√10.
11.B [设x 天后，“进步值”是“退步值”的5 倍，
则1.01
x
0.99
x ＝5，即(
101
99 )
x
＝5，
两边同时取对数得lg(
101
99 )
x
＝lg 5，
化简得lg(
101
99 )
x
＝xlg 101
99
＝x(lg 101－lg 99)＝lg 5，
所以x＝
lg5
lg101-lg99
＝
1-lg2
lg101-lg99
≈
1-0.301 0
2.004 3-1.995 6≈80，
即x≈80.
故当“进步值”是“退步值”的5 倍时，大约经过80 天.]
12.AD [由3a＝8b＝24，则(3
a)
b＝24b，(8
b)
a＝24a，即3ab＝24b，8ab＝24a，两式相乘得(24)ab＝24a＋b，所以
ab＝a＋b，又因为a≠0，b≠0，有1
a ＋1
b＝1，A 选项正确，
B 选项错误；
由a≠b，有a2＋b2>2ab，则(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2>2ab－2(a＋b)＋2＝2，
C 选项错误，D 选项正确.]
