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§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课标要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两
角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos
α cos
β ＋
sin
α sin
β .
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos
α cos
β －
sin
α sin
β .
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin
α cos
β －
cos
α sin
β .
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin
α cos
β ＋
cos
α sin
β .
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tan α - tan β
1＋tan α tan β .
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α ＋tan β
1- tan α tan β .
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝√a
2＋b
2sin(
α ＋
φ ) ，其中sin φ＝
b
√a
2＋b
2 ，cos φ＝
a
√a
2＋b
2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β 是任意的. ( √ )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立. ( √ )
(3)公式tan(α＋β)＝tan α ＋tan β
1- tan α tan β 对任意角α，β 都成立.( × )
(4)公式asin x＋bcos x＝√a
2＋b
2sin(x＋φ)中φ 的取值与a，b 的值无关.( × )
2.sin π
12 －√3cos π
12的值为( )
A.0
B.－√2
C.2
D.√2
答案 B
解析 sin π
12 －√3cos π
12＝2(
1
2 sin π
12 - √3
2 cos π
12)
＝2sin(
π
12 - π
3)＝2sin(- π
4)＝－√2.
3.若2cos α－sin α＝0，则tan(α - π
4)等于( )
A.－1
3
B.1
3
C.－3
D.3
答案 B
解析 因为2cos α－sin α＝0，
则sin α＝2cos α，故tan α＝2，
因此，tan(α - π
4)＝
tan α - tan π
4
1＋tan α tan π
4
＝2-1
1＋2 ＝1
3.
4.若tan α＝1
3 ，tan(α＋β)＝1
2 ，则tan β＝ .
答案 1
7
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α ＋β)- tan α
1＋tan(α ＋β)tan α ＝
1
2 - 1
3
1＋1
2 × 1
3
＝1
7 .
1.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－tan α ＋tan β
tan(α ＋β) ＝tan α - tan β
tan(α - β) －1.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)若
cos(
π
4 ＋α)
cos(
π
4 -α)
＝3，则tan(α ＋π
4)等于( )
A.－3
B.－1
3
C.1
3
D.3
答案 C
解析 由题意，得
√2
2 (cosα -sin α )
√2
2 (cosα ＋sin α )
＝1- tan α
1＋tan α ＝3，所以tan α＝－1
2 ，
则tan(α ＋π
4)＝tan α ＋1
1- tan α ＝
- 1
2 ＋1
1-(- 1
2)
＝1
3.
(2)(2024·厦门模拟)若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α 等于( )
A.√3
3
B.－√3
3
C.√3
D.－√3
答案 D
解析 因为cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，
所以－sin(50°－α)＋cos(20°＋α)＝sin(50°＋α)，
即－sin 50°cos α＋cos 50°sin α＋cos(20°＋α)＝sin 50°cos α＋cos 50°sin α，
所以cos 20°cos α－sin 20°sin α＝2sin 50°cos α，
即(cos 20°－2sin 50°)cos α＝sin 20°sin α，
所以tan α＝cos20° -2sin50°
sin 20°
＝cos20° -2sin(30°＋20°)
sin 20°
＝cos20° -2× 1
2 cos20° -2× √3
2 sin 20°
sin 20°
＝－√3.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
跟踪训练1 (1)已知sin(α－β)＝1
3 ，cos αsin β＝1
6 ，则sin(α＋β)等于( )
A.2
3
B.2√2
3
C.－2
3
D.－2√2
3
答案 A
解析 因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1
3 ，
而cos αsin β＝1
6 ，
因此sin αcos β＝1
2 ，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝2
3.
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)等于( )
A.－3m
B.－m
3
C.m
3
D.3m
答案 A
解析 由cos(α＋β)＝m 得cos αcos β－sin αsin β＝m.
①
由tan αtan β＝2 得sin α sin β
cosα cos β ＝2，
②
由①②得{
cosα cos β ＝-m，
sin α sin β ＝-2m，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
例2 (1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ 时，f(x)取得最大值，则cos(θ＋π
4)等于
( )
A.7√2
10
B.－7√2
10
C.√2
10
D.－√2
10
答案 C
解析 f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝4
3 ，sin φ＝4
5 ，cos φ＝3
5 ，
∵当x＝θ 时，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝π
2 ＋2kπ，k∈Z，即θ＝π
2 ＋2kπ－φ，k∈Z，
∴cos(θ＋π
4)＝cos(
π
2 ＋2k π -φ＋π
4)
＝cos(
3 π
4 -φ)＝cos 3 π
4 cos φ＋sin 3 π
4 sin φ
＝－√2
2 ×3
5 ＋√2
2 ×4
5 ＝√2
10 .
(2)tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝ .
答案 2√3
3
解析 因为tan 30°＝tan(10°＋20°)＝tan10°＋tan 20°
1- tan10° tan 20° ，
故tan 10°＋tan 20°＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°，
所以tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝2tan 30°＝2√3
3
.
思维升华 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、
逆用和变形使用.
(3)对asin x＋bcos x 化简时，要清楚如何求辅助角φ 的值.
跟踪训练2 (1)若sin α＋√3cos α＝1，且α∈(0，π)，则α＝ .
答案 π
2
解析 因为sin α＋√3cos α＝2sin(α ＋π
3)＝1，
所以sin(α ＋π
3)＝1
2 ，
又α∈(0，π)，所以α＋π
3 ∈(
π
3 ，4 π
3 )，
所以α＋π
3 ＝5 π
6 ，所以α＝π
2 .
(2)若α＋β＝－3 π
4 ，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
答案 2
解析 tan(- 3 π
4 )＝tan(α＋β)＝tan α ＋tan β
1- tan α tan β ＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知sin(α ＋π
4)＝4
5 ，α∈(
π
4 ，π
2)，则cos α 等于( )
A.√2
10
B.3√2
10
C.√2
2
D.7√2
10
答案 A
解析 由α∈(
π
4 ，π
2)，得α＋π
4 ∈(
π
2 ，3 π
4 )，
则cos(α ＋π
4)＝－√
1- sin
2(α ＋π
4)＝－3
5 ，
cos α＝cos[(α ＋π
4)- π
4]＝cos(α ＋π
4)cos π
4 ＋sin(α ＋π
4)sin π
4 ＝－3
5×√2
2 ＋4
5 ×√2
2 ＝√2
10 .
(2)(2024·杭州模拟)已知α∈(
π
2 ，π)，β∈(0，π
2)，若sin(α＋β)＝1
3 ，cos β＝√3
3 ，则sin α 等于( )
A.1
3
B.√3
3
C.5√3
9
D.√3
9
答案 C
解析 因为α∈(
π
2 ，π)，β∈(0，π
2)，sin(α＋β)＝1
3>0，cos β＝√3
3 ，所以α＋β∈(
π
2 ，π)，
则sin β＝√1-co s
2 β ＝√6
3 ，
cos(α＋β)＝－√1- sin
2(α ＋β)＝－2√2
3
，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝1
3×√3
3 －(- 2√2
3 )×√6
3 ＝5√3
9
.
思维升华 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公
式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α ＋β
2
＋α - β
2
，π
3 ＋α＝π
2 －(
π
6 -α)，α＝(α＋β)－β＝(α
－β)＋β，(
π
4 ＋α)＋(
π
4 -α)＝π
2 等.
跟踪训练3 (1)已知α，β∈(
π
3 ，5 π
6 )，若sin(α ＋π
6)＝4
5 ，cos(β - 5 π
6 )＝5
13 ，则sin(α－β)的值为(
)
A.16
65
B.33
65
C.56
65
D.63
65
答案 A
解析 由题意可得α＋π
6 ∈(
π
2 ，π)，β－5 π
6 ∈(- π
2 ，0)，
所以cos(α ＋π
6)＝－3
5 ，sin(β - 5 π
6 )＝－12
13 ，
所以sin(α－β)＝－sin[(α ＋π
6)-(β - 5 π
6 )]＝－4
5 × 5
13 ＋(- 3
5)×(- 12
13)＝16
65.
(2)已知θ∈(
π
4 ，π
2)，且sin(θ＋π
4)＝4
5 ，则tan θ 等于( )
A.7
B.4
3
C.1
7
D.12
5
答案 A
解析 因为θ∈(
π
4 ，π
2)，所以θ＋π
4 ∈(
π
2 ，3 π
4 )，
又sin(θ＋π
4)＝4
5 ，
所以cos(θ＋π
4)＝－3
5 ，则tan(θ＋π
4)＝－4
3 ，
所以tan θ＝tan(θ＋π
4 - π
4)
＝
tan(θ＋π
4)- tan π
4
1＋tan(θ＋π
4)tan π
4
＝
- 4
3 -1
1- 4
3
＝7.
课时精练
[分值：100 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°等于( )
A.√3
2
B.1
2
C.－1
2
D.－√3
2
答案 D
解析 原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－√3
2 .
2.已知α 为锐角，且sin(α ＋π
3)＝sin(α - π
6)，则tan α 等于( )
A.√3
B.2＋√3
C.√6
D.√6＋√3
答案 B
解析 因为sin(α ＋π
3)＝sin(α - π
6)，所以1
2sin α＋√3
2 cos α＝√3
2 sin α－1
2cos α，所以(√3＋1)cos α＝(√3
－1)sin α，所以tan α＝√3＋1
√3-1 ＝2＋√3.
3.(2024·晋城模拟)若sin 18°＝m，则sin 63°等于( )
A.√2
2 (√1-m
2－m)
B.1
2m＋√3
2 √1-m
2
C.√2
2 (m＋√1-m
2)
D.√3
2 m＋1
2 √1-m
2
答案 C
解析 因为sin 18°＝m，所以cos 18°＝√1-m
2，
所以sin 63°＝sin(18°＋45°)＝√2
2 (sin 18°＋cos 18°)＝√2
2 (m＋√1-m
2).
4.已知sin α＋sin β＝1
2 ，cos α＋cos β＝1
3 ，则cos(α－β)的值等于( )
A.－7
12
B.－17
18
C.－59
72
D.59
72
答案 C
解析 sin α＋sin β＝1
2⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝1
4 ，
①
cos α＋cos β＝1
3⇒cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝1
9 ，
②
①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝13
36⇒cos(α－β)＝1
2×(
13
36 -2)＝－59
72.
5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0 的两个根，则tan 2α 等于( )
A.－1
B.1
C.－2
D.2
答案 B
解析 由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)＝－5，
且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝tan(α ＋β)＋tan(α - β)
1- tan(α ＋β)tan(α - β) ＝-5
1-6＝1.
6.定义运算|
ab
c d|＝ad－bc，若cos α＝1
7 ，|
sin α sin β
cosα cos β|＝3√3
14 ，0<β<α<π
2 ，则β 等于( )
A. π
12
B.π
6
C.π
4
D.π
3
答案 D
解析 由题意得，
sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3√3
14 .
∵0<β<α<π
2 ，∴0<α－β<π
2 ，
∴cos(α－β)＝13
14 .
又∵cos α＝1
7 ，∴sin α＝4√3
7
，
sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝4√3
7
×13
14 －1
7 ×3√3
14 ＝√3
2 ，
∴β＝π
3 .
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下列等式成立的有( )
A.tan 15°＝√3
6
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.√3sin 15°＋cos 15°＝1
答案 BC
解析 对于A，tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45° - tan30°
1＋tan 45° tan30° ＝2－√3，故A 错误；
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B 正确；
对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C 正确；
对于D，√3sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝√2，故D 错误.
8.下列结论正确的是( )
A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)
B.√15sin x＋√5cos x＝√5sin(x＋π
6)
C.f(x)＝sin x
2＋cos x
2的最大值为2
D.tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
答案 AD
解析 对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故
A 正确；
对于B，√15sin x＋√5cos x＝2√5(
√3
2 sin x＋1
2 cos x)
＝2√5sin(x＋π
6)，故B 错误；
对于C，f(x)＝sin x
2＋cos x
2 ＝√2sin(
x
2 ＋π
4)，所以f(x)的最大值为√2，故C 错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知sin(
π
2 ＋α)＝1
2 ，α∈(- π
2 ，0)，则cos(α - π
3)
的值为 .
答案 －1
2
解析 由已知得cos α＝1
2 ，sin α＝－√3
2 ，
所以cos(α - π
3)＝1
2cos α＋√3
2 sin α＝－1
2.
10.在△ABC 中，已知tan A＋tan B＋√3tan Atan B＝√3，则C＝ .
答案 120°
解析 由题意可知tan A＋tan B＝√3(1－tan Atan B)，
所以tan(A＋B)＝tan A ＋tan B
1- tan A tan B
＝√3(1- tan A tan B)
1- tan A tan B
＝√3，
因为0°<A＋B<180°，所以A＋B＝60°，
故C＝180°－(A＋B)＝120°.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知sin(α－β)＝1
2 ，sin(α＋β)＝1
3.
(1)证明：tan α＋5tan β＝0；(6 分)
(2)计算tan(α - β)- tan α ＋tan β
tan
2α tan(α - β)
的值.(7 分)
(1)证明 方法一 由条件sin(α－β)＝1
2 ，
sin(α＋β)＝1
3 ，
得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)，
即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β，
整理得sin αcos β＝－5cos αsin β，
也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0 得证.
方法二 由条件sin(α－β)＝1
2 ，sin(α＋β)＝1
3 ，
即sin αcos β－cos αsin β＝1
2 ，
sin αcos β＋cos αsin β＝1
3 ，
得sin αcos β＝5
12 ，cos αsin β＝－1
12 ，
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0 得证.
(2)解 由于tan(α－β)＝tan α - tan β
1＋tan α tan β ⇒tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，
所以tan(α - β)- tan α ＋tan β
tan
2α tan(α - β)
＝
tan(α - β)- tan(α - β)(1＋tan α tan β)
tan
2α tan(α - β)
＝
- tan(α - β)tan α tan β
tan
2α tan(α - β)
＝－tan β
tan α ＝1
5.
12.(14 分)如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α 与钝角β 的终边
与单位圆O 分别交于A，B 两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M，已知S△OAM＝√5
5 ，点B 的横坐标
是－7√2
10 .
(1)求cos(α－β)的值；(7 分)
(2)求2α－β 的值.(7 分)
解 (1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
点A(cos α，sin α)，则有
S△OAM＝1
2|OA|·|OM|·sin α＝√5
5 ，
解得sin α＝2√5
5
，
又α 为锐角，则cos α＝√1- sin
2α ＝√5
5 ，
因为钝角β 的终边与单位圆O 的交点B 的横坐标是－7√2
10 ，
则cos β＝－7√2
10 ，sin β＝√1-co s
2 β ＝√2
10 ，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝√5
5 ×(- 7√2
10 )＋2√5
5
×√2
10 ＝－√10
10 .
(2)由(1)知sin α＝2√5
5
，cos α＝√5
5 ，sin β＝√2
10 ，cos β＝－7√2
10 ，
则sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝2√5
5
×(- 7√2
10 )－√5
5 ×√2
10 ＝－3√10
10
，
从而sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]
＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)
＝2√5
5
×(- √10
10 )＋√5
5 ×(- 3√10
10 )＝－√2
2 ，
因为α 为锐角，sin α＝2√5
5
>√2
2 ，
则有α∈(
π
4 ，π
2)，即2α∈(
π
2 ，π)，
又β∈(
π
2 ，π)，因此2α－β∈(- π
2 ，π
2)，
所以2α－β＝－π
4 .
13，15，16 题每小题5 分，14 题6 分，共21 分
13.(2024·吕梁模拟)tan 80° -√3
sin 80°
的值为( )
A.√3
B.√3
2
C.2
D.4
答案 D
解析
tan 80° -√3
sin 80°
＝sin 80° -√3cos80°
sin 80° cos80°
＝
2(sin 80°× 1
2 -cos80°× √3
2 )
1
2 ×2sin 80° cos80°
＝4 sin(80° -60°)
sin160°
＝
4 sin 20°
sin(180° -20°) ＝4 si
sin
＝4.
14.(多选)(2025·深圳模拟)若0<α<β<π
2 ，且cos αcos β=1
2，tan αtan β=2
3，则( )
A.cos(α+β)=5
6 B.sin(α-β)=-√11
6
C.cos 2α= 5
36
D.β<π
3
答案 BD
解析 ∵cos αcos β=1
2，tan αtan β=2
3，
∴sin αsin β=cos αcos βtan αtan β=1
3，
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=1
6，故A 错误；
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=5
6，
∵-π
2 <α-β<0，
∴sin(α-β)=-√1-co s
2(α - β )=-√11
6 ，故B 正确；
∵0<α<β<π
2 ，∴sin(α+β)=√1-co s
2(α + β)=√35
6 ，
∴cos 2α=cos［(α+β)+(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=5+√385
36
，故C 错误；
同理可得cos 2β=5-√385
36
>5-20
36
>-1
2=cos 2π
3 ，故2β<2π
3 ，∴β<π
3 ，故D 正确.
15.(2024·厦门模拟)在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(sin α，cos α)，B(cos(α + π
6)，sin(α + π
6))，当
∠AOB=2π
3 时，写出α 的一个值为 .
答案 -π
6(答案不唯一，满足α =- π
6 + k π(k ∈Z ) 或α = π
2 + k π(k ∈Z )的其中一值即可)
解析 由题意可得⃗OA=(sin α，cos α)，⃗OB=(cos(α + π
6)，sin(α + π
6))，
所以|⃗OA|=√sin
2α +co s
2α=1，
同理可得|⃗OB|=1，
则cos∠AOB=cos〈⃗OA，⃗OB〉=⃗
OA ·⃗OB
|⃗OA ||⃗OB|
=sin αcos(α + π
6)+cos αsin(α + π
6)
=sin(2α + π
6)=cos 2π
3 =-1
2，
所以2α+π
6 =-π
6 +2kπ(k∈Z)或2α+π
6 =7 π
6 +2kπ(k∈Z)，
解得α=-π
6 +kπ(k∈Z)或α=π
2 +kπ(k∈Z).
16.已知sin(α ＋π
2)＝sin β，sin α＋cos α＝1＋√3
2
，sin β＋cos β＝1＋√3
2
，则cos(α－β)＝ .
答案 √3
2
解析 因为sin(α ＋π
2)＝sin β，
所以cos α＝sin β，
所以sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝1＋√3
2
，
所以
{
(sin α ＋sin β)
2＝sin
2α ＋2sin α sin β ＋sin
2 β ＝2＋√3
2
，
(cosα ＋cos β)
2＝co s
2α ＋2cosα cos β ＋co s
2 β ＝2＋√3
2
，
两式求和得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋√3，
所以cos(α－β)＝√3
2 .
