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专题01 空间几何体的外接球与内切球问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................3
题型一：内切球等体积法.................................3
题型二：内切球独立截面法...............................6
题型三：外接球公式法...................................9
题型四：外接球补型法..................................10
题型五：外接球单面定球心法............................13
题型六：外接球双面定球心法............................16
三、专项训练.............................................19
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面
体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多
面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥
中，内切球为球
，求球半径
.方法如下：
即：
，可求
1
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出
.
类型二 球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
c
a
b
图1
C
P
A
B
a
b
c
图2
P
C
B
A
a
b
c
图3
C
B
P
A
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（
AB =CD ，AD =BC ，AC =BD ）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥
中，选
中底面
，确定其外接圆圆心
（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边
中点上，普通三角形用正弦定理定外心
）；
②过外心
做（找）底面
的垂线，如图中
面
,则球心一定在直线（注
意不一定在线段
上）
上；
③计算求半径
: 在直线
上任取一点
如图：则
，利用公式
可计算出球半径
.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥
中：
O
H
B
A
C
P
O2
O1
2
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①选定底面
，定
外接圆圆心
②选定面
，定
外接圆圆心
③分别过
做面
的垂线，和
做面
的垂线，两垂线交点即为外接球球心
.
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1．（2024·全国·模拟预测）将菱形
沿对角线
折起，当四面体
体积最大
时，它的内切球和外接球表面积之比为 ．
【答案】
/
【分析】
当平面
平面
时，四面体
的高最大，并利用导函数讨论体积的最大
值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解．
【详解】
不妨设菱形的边长为
，
，
，
外接球半径为
，内切球半径为，
取
中点为
，连接
，
因为
，所以
，
当平面
平面
时，平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
此时四面体
的高最大为
，
因为
，所以
3
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所以
，
，
令
解得
，
令
解得
，
所以
在
单调递增，
单调递减，
所以当
时
最大，最大体积为
，
此时
，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为
，
则有
解得
，所以
，
所以外接球的表面积为
，
又因为
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以
，及内切球的表面积为
，
所以内切球和外接球表面积之比为
．
故答案为：
2．（23-24 高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥
中，
是边长为
的正三角
形，顶点
在底面
上的射影是
的中心，且
．三棱锥
的内切球为
4
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球
，外接球为球
，若球
的半径为，球
的半径为
，则
；若
为
球
上任意一点，
为球
上任意一点，则线段
的最小值为
【答案】
【分析】将三棱锥放入正方体中，利用等体积法可得内切球半径，根据正方体的外接球求
解
，进而可求解空1，根据两球的关系，结合半径的关系即可求解空2.
【详解】由题易知，三棱锥
为棱长为1 的立方体的一部分，如图
由等体积法求，
，即
.
又由
，即
，所以
；
的外接圆半径为
，故点
到平面
的距离为
，
由于
，所以
在三棱锥的外部，
故球
内含于球
，且
，
所以
.
故答案为：
，
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转
化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心
到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元
素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
3．（23-24 高二上·江西景德镇·期中）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为
直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，
底面
，
，且
5
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，则该四面体的外接球的表面积为 ，该四面体内切球表面积
为 ．
【答案】
/
【分析】由题意确定四面体外接球的球心，进而求得外接球半径，即可求得四面体的外接
球的表面积；利用等体积法求得四面体内切球的半径，即可求得四面体内切球的表面积.
【详解】由题意可知
底面
，
底面
，
故
，又
，
平面
，故
平面
，
平面
，故
，
取PB 的中点为O，则
，
即O 为四面体的外接球的球心，
又
，则
，
则四面体外接球半径为
,
故该四面体的外接球的表面积为
；
设四面体的内切球球心为
，半径为r，则
，
即
,
解得
，则四面体内切球表面积为
，
故答案为：
；
题型二：内切球独立截面法
1．（23-24 高一下·河南三门峡·期中）已知三棱锥
的棱长均为4，先在三棱锥
内放入一个内切球
，然后再放入一个球
，使得球
与球
及三棱锥
6
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的三个侧面都相切，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用等体积可求得内切球
半径，再取截面并根据比例求得球
的半径，则可
求得球
的表面积．
【详解】取三棱锥
过内切球球心
的截面，如图所示：
依题意得
，
底面
的外接圆半径为
，解得
；
点
到平面
的距离为
，
所以
，
所以
，
设球
的半径为
，
所以
，
则
，得
，
设球
的半径为，则
，又
，得
，
所以球
的表面积为
．
故选：A．
2．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为
，则该圆锥的表面
积为 ．
7
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注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
【答案】
【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面
积.
【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：
设圆锥高为，母线长为，
则在三角形
中有
，即
①，
又由
得
，即
②，
所以由①②得
，
所以圆锥的表面积为
.
故答案为：
.
3．（2024 高三·全国·专题练习）圆台内有一个内切球，球的表面积和圆台的侧面积的比为
，求球和圆台的体积之比．
【答案】
【分析】
法一、利用圆台及球体的特征先作出轴截面，由勾股定理及直线与圆的位置关系结合几何
体的表面积、侧面积、体积公式计算即可；法二、通过设角解三角形，利用三角函数表示
线段长，根据几何体的表面积、侧面积、体积公式计算即可.
【详解】如图，作轴截面，其中
都是切点．
法一、设
．
由圆的切线的性质可知，
，
，
．
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，
．
，
．
法二、设
，则
，
∴
，
，
．
．
因此，
．
题型三：外接球公式法
1．（2024·天津·二模）已知正方体
的外接球的体积为
，点
为棱
的中点，则三棱锥
的体积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正方体的特征及球的体积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计
算即可.
【详解】由题意可知正方体的外接球直径为正方体的体对角线，
所以
，
所以
.
故选：B
2．（23-24 高一下·浙江宁波·期中）已知
是球O 表面上不同的点，
平面
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，
，
，
，若球
的体积为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知易得
四点均为长宽高分别为
三边长的长方体的顶点，
由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的体积公式可得答案.
【详解】因为
平面
，
，
所以四面体
的外接球半径等于以
为长宽高的长方体的顶点的外接球，
又球
的体积为
，即
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：B.
题型四：外接球补型法
1．（2024·河南信阳·模拟预测）把
沿三条中位线折叠成四面体
，其中
，
，
，则四面体
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件分析四面体
的结构特征，由此考虑构造长方体，结合长方体的外接
球的半径的与长宽高的关系结合条件求出
，再由球的表面积公式求球的表面积即可.
【详解】如图，记
的中点分别为
，
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因为
，
，
，
由中位线性质可得
，
翻折后的四面体如图：
由翻折的性质可得
，
所以四面体
对棱相等，
故可以考虑将四面体
补形为长方体如下；
四面体
的外接球即长方体的外接球，
设其外接球半径为
，
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，
所以四面体
的外接球表面积
，
故选：D.
2．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥
的四个面是全等的等腰三角形，且
，
，则三棱锥
的外接球半径为 ；点
为三棱锥
的外接球
球面上一动点，
时，动点
的轨迹长度为 ．
【答案】
/
【分析】
由三棱锥的结构特征，可扩成长方体，利用长方体的外接球半径得三棱锥的外接球半径；
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由动点
的轨迹形状，求长度.
【详解】三棱锥
的四个面是全等的等腰三角形，且
，
，如图所
示，
则有
，
，
把三棱锥
扩成长方体
，
则有
，解得
，
则长方体外接球半径
，
所以三棱锥
的外接球半径
；
点
为三棱锥
的外接球球面上一动点，
时，
由
，动点
的轨迹是半径为
的圆，
轨迹长度为
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：
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三组对棱分别相等的四面体(三棱锥)——补形为长方体(四面体的棱分别是长方体各面的对
角线).
题型五：外接球单面定球心法
1．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥
中，
，
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正三棱锥的结构特征可求解高的长度，进而根据勾股定理即可求解半径，即
可由表面积公式求解，或者利用空间直角坐标系求解半径.
【详解】方法一：如图，取正三角形
的中心为
，连接
，
则三棱锥
的外接球球心
在
上，连接
.
在正三角形
中，
，所以
.
在
中，
，所以
.
设外接球的半径为
，
由
，
，解得
，
所以三棱锥
的外接球表面积
.
故选:C.
方法二：在正三棱锥
中，过点
作
底面
于点
，
则
为底面正三角形
的中心，
因为正三角形
的边长为2，所以
.
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因为
，所以
.
如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
，
.
设三棱锥
的外接球球心为
，半径为
.
由
，得
，解得
，
所以
，
则三棱锥
的外接球表面积
.
故选：C.
2．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥
中，
，
，底面
是边长为1 的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件，证得
平面
，再确定三棱锥外接球球心，并求出球半径及表面积.
【详解】在三棱锥
中，
，
，正
的边长为1，
则
，即有
，同理
，而
平面
，
于是
平面
，令正
的外心为
，三棱锥
外接球球心为
，
则
平面
，显然球心
在线段
的中垂面上，取
的中点
，则
，
而
，则四边形
是矩形，
，
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所以球半径
，表面积
.
故选：B
3．（2024·浙江嘉兴·二模）在四面体
中，
，且
与
所成的角为
.若四面体
的体积为
，则它的外接球半径的最小值为
.
【答案】3
【分析】根据题意，将四面体
补形为直三棱柱
，设
，由
求得
，在
中，勾股定理得
，由余弦定理可得
，结合基本不等式求解.
【详解】依题意，可将四面体
补形为如图所示的直三棱柱
，因为
与
所成的角为
，
所以
或
，设
，外接球半径记为
，
外接球的球心如图点
.
易知
平面
，所以点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，
，得
，
在
中，
，
在
中，由余弦定理得
，
所以当
时，外接球的半径会更小.
所以
，
所以
，
所以
.
故答案为：3.
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【点睛】关键点点睛：本题关键是将求四面体
补形为直三棱柱
，转化为
求直三棱柱外接球半径的最小值.
题型六：外接球双面定球心法
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知长方体
中，侧面
的面积为2，
若在棱
上存在一点
，使得
为等边三角形，则四棱锥
外接球表面积
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据几何体的特征，确定四棱锥外接球的球心，结合长度和几何关系，基本不等
式确定半径的最小值，即可求解.
【详解】如图，由对称性可知，点
是
的中点，设
，则
，
，点
是
的中点，
由底面矩形
的对角线的交点
作底面
的垂线，过等边三角形
的中心
作平面
的垂线，两条垂线交于点
，点
是四棱锥
外接球的球心，
，
，则
，
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当
，即
时，等号成立，则
的最小值为
,
所以四棱锥
外接球表面积的最小值为
.
故答案为：
2．（23-24 高二上·江西九江·期中）如图，
是边长为
的正三角形
的一条中位
线，将
沿
翻折至
，当三棱锥
的体积最大时，四棱锥
外接球
的表面积为 ；过
靠近点
的三等分点
作球
的截面，则所得截
面圆面积的最小值是
【答案】
【分析】先判断当平面
平面
时，三棱锥
的体积最大，求得
，
再找出四棱锥
外接球的球心，由勾股定理求得半径，进而得到表面积；当
垂直于截面圆时，截面圆半径最小，面积最小即得答案.
【详解】第一空：设点
到平面
的距离为，
在
中，取
的中点
，连接
交
于点
，连接
，
因为
为等边三角形，
为
的中点，则
，
由题意可知，
、
分别为
、
的中点，则
，则
，
，
翻折后，则有
，所以二面角
的平面角为
，
过点
在平面
内作
或其延长线上，
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因为
，
，
，
、
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，则
，
又因为
，
，
、
平面
，
所以
平面
，
所以
，且
，则
，
当
为直角时，取最大值，
因为
为
的中点，
为定值，
故当
为直角时，
取最大值，
此时，平面
平面
，
故
是边长为
的等边三角形，
因为
，则
，
因为
为
的中点，
为
的中点，则
且
，
同理可得
，则
为四边形
的外心，
设等边
的外心为点
，过点
作
平面
，
因为
平面
，则
，
过点
作平面
的垂线交
于点
，则
为四棱锥
的外接球球心，
连接
，则
为球
的一条半径，
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，则
平面
，因为
平面
，则
，
又因为
平面
，则
，故四边形
为矩形，
且
，则
，
因为
，则
，则
，
所以
，
所以球
的表面积为
；
第二空： 因为等边
的外心为点
，
，则
，
，又
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，
，
则
，
当过点
的截面与
垂直时，截面圆的半径取最小值，
且
，
因此，过
的三等分点作
球
的截面，则所得截面圆面积的最小值是
.
故答案为：
；
.
三、专项训练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱
的侧棱垂直于底面，且
，
，
，
，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等
于（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理求
，结合正弦定理求解
外接圆半径，再根据三棱柱的
外接球球半径与三棱柱的高以及
外接圆半径的关系得出结果.
【详解】如图所示，在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，所以
，
由正弦定理可得
外接圆半径
，
设此圆圆心为
，球心为
，在
中，
，易得球半径
，
故此球的表面积为
．
故选：A．
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2．（2024 高三·全国·专题练习）在三棱锥
中，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
是直角三角形得
的中点
是
的外心
，再由等腰三角形结合
勾股定理得到
平面
，平面
平面
；结合
是等边三角形确定三棱
锥
外接球的位置，求得半径，最后得到表面积.
【详解】
如图，设
是
的中点，连接
，由于
，
所以
是
的外心，
.
由于
，
是
的中点，则
，
，
，
则
，则
.
又
，
平面
，
所以
平面
.而
平面
，所以平面
平面
.
由于
是等边三角形，设
是
的外心，则
,
又因为
在
上，所以
，则
也是三棱锥
外接球的球心．
设外接球的半径为，根据等边三角形的性质可知
，
20
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所以外接球的表面积为
.
故选：D.
3．（2024·四川泸州·三模）已知圆锥的体积为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的内切球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设圆锥的底面半径为，高为，由题意可得
，可求得，，进而
可得轴截面是等边三角形，求得等边三角形的内切圆的半径即可求得圆锥的内切球的表面
积.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为
，
由题意可得
，解得
，
所以母线长为
，底面圆直径为
，
可得圆锥的轴截面为等边三角形，该等边三角形内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，
由等边三角形的性质可得内切球的半径
，
所以圆锥内切球的表面积为
.
故选：D.
4．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知四面体ABCD 的各顶点均在球
的球面上，平面
平面
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先找
和
的外接圆的圆心，过圆心分别作两个三角形所在平面的垂
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线，两垂线的交点就是球心.
【详解】如图，取BC 的中点为E，BD 的中点为
，所以
为
的外心，
连接AE，EF，设
的外心为
，
因为
，即
为等边三角形，
所以点
在AE 上，且设球心为
，连接OG，OF，
则
平面
平面BCD，
因为平面
平面BCD，所以
，
因为
为等边三角形，
为BC 的中点，所以
，
因为平面
平面BCD，平面
平面
，
面
，
所以
平面BCD，则
，又
平面BCD，所以
，
同理
平面ABC，所以
，故四边形OGEF 是矩形.
由
，可得
，故
，
又
，
设球
的半径为
，则
，
所以球
的表面积
.
故选：C.
5．（23-24 高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为
，底面半径为
的圆锥木头
加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半
径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结
合球的表面积公式即可得.
【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，
该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，
画出该轴截面如图，
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由母线长为
，底面半径为
可得该圆锥的高
，
设内切球的半径为，则有
，
解得
，即内切球表面积为
.
故选：A.
6．（2024·广西·二模）已知轴截面为正方形的圆柱
的体积与球
的体积之比为
，则
圆柱
的表面积与
球的表面积之比为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据已知，结合圆柱和球的体积公式，可得圆柱
底面圆半径和球
的半径
相等，再利用圆柱和球的表面积公式可解.
【详解】设圆柱
底面圆半径为，球
的半径为
，
则圆柱
的高为
，由
，可得
，
所以圆柱
的表面积与
球的表面积之比为
.
故选：B
7．（2024·广东·二模）已知球
与圆台
的上、下底面和侧面均相切，且球
与圆台
的体积之比为
，则球
与圆台
的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由球
与圆台
的体积之比为
，得到圆台的上、下底面半径分别为
，球
的半径之间的关系，代入表面积公式化简，即可得到答案.
【详解】
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由题意，作出圆台的轴截面
，
设圆台的上、下底面半径分别为
，球的半径
，
则
，过A 作
于点
，
由
，得
，化简得
，
由球的体积公式
，
圆台的体积公式
，
已知球
与圆台
的体积之比为
，则
，
化简得
，
则
，得
，
又球的表面积
，圆台的表面积
，
所以
，
故选：D.
8．（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥
中，底面四边形
为等腰梯形，
，
，
是边长为2 的正三角形，
，则
四棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取
的中点
，连接
、
，即可证明
平面
，从而得到平面
平面
，再取
的中点
，连接
、
、
，推导出
为
外接圆
的圆心，再设
的外接圆的圆心为
，四棱锥
外接球的球心为
，即可求
出外接球的半径，从而求出球的表面积.
【详解】取
的中点
，连接
、
，因为
是边长为2 的正三角形，
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所以
，
，
又
，
，
，所以
，
在
中，由余弦定理
，
即
，又
，所以
，
所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
取
的中点
，连接
、
、
，则
、
及
均为等边三角形，
易知
且
，又平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以等腰梯形
外接圆的圆心为
，设
的外接圆的圆心为
，则
，
设四棱锥
外接球的球心为
，连接
、
、
，
则
平面
，
平面
，
所以
，
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，所以外接球的半径
，
所以外接球的表面积
.
故选：C
【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分
析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如
球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正
方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
9．（23-24 高一下·浙江金华·期中）已知三棱锥
的三条侧棱
，
，
两两互
相垂直，且
，
，则此三棱锥外接球的体积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三棱锥的三条侧棱两两垂直，知其外接球就是所在长方体的外接球，设出棱
长，求出体对角线，即可得出球的直径得解.
【详解】三棱锥
的三条侧棱
，
，
两两互相垂直，
其外接球就是以
为长、宽、高的长方体的外接球，
设
，
则有
，可求得
，
即长方体的对角线的长为
，所以球的直径是
，半径为
，
所以外接球的体积
．
故选：A．
二、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥内半径最大
的球的体积为 .
【答案】
【分析】首先作出半径最大的球与圆锥组合体的截面图，根据几何关系，列式求解.
【详解】如图所示，设圆锥底面圆的圆心为
，圆锥的顶点为
，则圆锥
的轴截面为
等腰
.
设球的球心为
，则球
的体积最大时，球
的轴截面是
的内切圆.
由题意知
，
，设球
的半径为
，
由
得
，即
，解得
，
所以球
的体积的最大值为
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故答案为：
11．（2024·全国·模拟预测）在菱形
中，
，
，将
沿
翻
折，使二面角
的余弦值为
，则四面体
的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，取
的中点
，然后根据菱形的性质求解出
,
，得
到
是二面角
的平面角.根据余弦值为
，求解出
，判断
是
正四面体，放置在正方体中，进而求出外接球的表面积.
【详解】如图所示，取
的中点
，连接
，
，则
，
，
故
是二面角
的平面角,
因为
,所以
,
在
中，由余弦定理
,得
，故四面体
是正四面体.
如图所示，将其放置在正方体中，使得
，
，
，
是正方体的四个顶点，
则正方体的棱长为
，体对角线长
，即四面体
的外接球的半径为
，
所以外接球的表面积为
.
故答案为：
12．（23-24 高三下·河南·阶段练习）直三棱柱
的各顶点都在同一球面上，若
，则此球的表面积等于 .
【答案】
/
【分析】由余弦定理求得
，根据正弦定理求出
的外接圆半径，结合勾股定
理和球的表面积公式计算即可求解.
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【详解】在
中，由余弦定理得
，
由
，得
，设
的外接圆半径为r，
由正弦定理得
，则
，
设三棱柱的外接球半径为R，则
，
所以球O 的表面积
.
故答案为：
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