专题03 条件概率与全概率公式
+离散型随机变量压轴题
知识点1：条件概率
（1）一般地，设A ，B 为两个随机事件，且
( )
0
P A
，我们称
(
)
(
|
)
( )
P AB
P B A
P A
为在事件A 发生的条件
下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．
知识点2：乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B ，若
( )
0
P A
，则
(
)
( )
(
|
)
P AB
P A
P B A
．我们称上式为概
率的乘法公式．
知识点3：条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设
( )
0
P A
，则
①
(
|
)
1
P
A
；
②如果B 和C 是两个互斥事件，则
(
|
)
(
|
)
(
|
)
P B
C A
P B A
P C A
；
③设B 和B 互为对立事件，则
(
|
)
1
(
|
)
P B A
P B A
．
④任何事件的条件概率都在0 和1 之间，即：0
(
|
)
1
P B A
.
知识点4：事件的相互独立性
（1）事件A 与事件B 相互独立：对任意的两个事件A 与B ,如果
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
成立，则称事件A 与
事件B 相互独立，简称为独立.
（2）性质：若事件A 与事件B 相互独立，则A 与B , A 与B , A 与B 也都相互独立，
(
|
)
( )
P B A
P B
,
(
|
)
( )
P A B
P A
.
知识点5：全概率公式
（1）一般地,设
1A ,
2
A ,
3
A
n
A 是一组两两互斥的事件,
1
2
3
n
A
A
A
A
,且
(
)
0
i
P A
，
1,2,3,4
i
n
,则对任意的事件B ,有
1
( )
(
) (
|
)
n
i
i
i
P B
P A P B A
,我们称此公式为全概率公式.
（2）全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件B 的发生有各种可能的原因
iA （
1,2,3,4
i
n
）,并且这些原因两两互斥
不能同时发生，如果事件B 是由原因
iA 所引起的，且事件
iA 发生时，
i
BA 必同时发生，则
( )
P B 与
(
)
i
P BA
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有关，且等于其总和
1
1
(
)
(
) (
|
)
n
n
i
i
i
i
i
P BA
P A P B A
.
知识点6：贝叶斯公式
（1）设
1A ,
2
A ,
3
A
n
A 是一组两两互斥的事件,
1
2
3
n
A
A
A
A
,且
(
)
0
i
P A
，
1,2,3,4
i
n
，
则对任意的事件B ,
( )
0
P B
，有
1
(
) (
|
)
(
) (
|
)
(
|
)
( )
(
) (
|
)
i
i
i
i
i
n
k
k
k
P A P B A
P A P B A
P A B
P B
P A P B A
，
1,2,3,4
i
n
.
知识点7：离散型随机变量均值与方差
（1）离散型随机变量均值
离散型随机变量的分布列
X
1x
2x
…
ix
…
nx
P
1p
2p
…
ip
…
np
均值
1
1
2
2
1
(
)
n
n
n
n
n
i
E X
x p
x p
x p
x p
（2）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量X 的概率分布列为：
X
1x
2x
…
ix
…
nx
P
1p
2p
…
ip
…
np
则称
2
2
2
1
1
(
)
(
(
))
(
(
))
(
(
))
i
i
n
n
D X
x
E X
p
x
E X
p
x
E X
p
2
1
(
(
))
n
i
i
i
x
E X
p
为随机变量X 的方差，有时也记为
(
)
Var X .
称
(
)
(
)
X
D X
为随机变量X 的标准差.
题型一条件概率
1．（2024·全国·模拟预测）已知A ，B 是一个随机试验中的两个事件，若
1
2
P A B
，
1
3
P B A
，则
(
)
(
)
(
)
P AB
P AB
P AB
等于（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
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2．（多选）（2023 下·浙江宁波·高二校联考期末）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、
蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸
出过时就停止摸球.设
iA
“第i 次摸到红球”，
iB “第i 次摸到黄球”，
i
C “第i 次摸到蓝球”，
i
D “摸完第
i 次球后就停止摸球”，则（
）
A．
3
2
9
P D
B．
4
1
2
27
P D A
C．
1
1
2
2
3
n
n
n
P D
，
3
n
D．
3
1
2
2
2
3
n
n
n
n
n
P D B
C
，
3
n
3．（多选）（2023·江苏·统考三模）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且
1
3
P A
，
3
4
P B
，
1
2
P A
B
，则（
）
A．
1
6
P AB
B．
3
4
P B A
C．
P B
P B A
D．
7
12
P AB
AB
练一练
1．（多选）（2023 上·广东佛山·高三统考开学考试）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且
1
2
P A
，
2
3
P B
，
3
4
P A
B
，则（
）
A．
1
3
P AB
B．
1
4
P AB
C．
1
6
P B A
|
D．
1
2
P A B
|
2．（多选）（2023 下·河北·高二校联考阶段练习）设M 、N 为随机事件，且
P M 、
0,1
P N
，则下
列说法正确的是（
）
A．若
P N M
P N
，则M 、N 可能不相互独立
B．若
P N M
P N
，则
P M N
P M
C．若
P N M
N
P N M
N
，则
P N
P M N
D．若
P M N
P N M
a
P N M
P M N
，
P N M
P M N
b
P M N
P N M
，则a
b
3．（2023 下·河北张家口·高二统考期末）已知离散型随机事件A，B 发生的概率
0.3
P A
，
0.4
P B
，
若
0.5
P A B
，事件A ，B ，A
B
分别表示A，B 不发生和至少有一个发生，则
P B A
B
，
P A
B A
B
.
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题型二独立事件的判断
1．（2022·高二课时练习）如果A、B 是独立事件，A 、B 分别是A、B 的对立事件，那么以下等式中不一
定成立的是（
）
A．
(
)
( ) ( )
P A
B
P A P B
B．
(
)
( ) ( )
P A
B
P A P B
C．
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
D．
(
)
(1
( ))(1
( ))
P A
B
P A
P B
2．（2023 上·全国·高三专题练习）将甲、乙、丙、丁4 名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活
动，每个村庄至少派1 名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C
表示事件“医生乙派往②村庄”，则（
）
A．事件A 与B 相互独立
B．事件A 与C 相互独立
C．
5
|
12
P B A
D．
5
|
12
P C A
3．（多选）（2023 上·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的
点数小于3”记为A 事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3 的倍数”记为B 事件，“两次抛掷结果向上的点数
之和为偶数”记为C 事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D 事件，则下列叙述中不正确的是（
）
A．C 与D 互斥
B．
1
2
P D A
C．A 与C 相互独立
D．B 与D 不相互独立
4．（2023 上·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）口袋里装有2 红，2 白共4 个形状相同的小球，对其
编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A “第一次取出的是红球”，事件B “第
二次取出的是红球”，事件C “取出的两球同色”，事件D = “取出的两球不同色”，则以下命题所有正确的
序号是
.
①A 与B 互斥
②C 与D 互为对立事件
③A 与C 相互独立
④
1
(
|
)
3
P D B
练一练
1．
（2023 下·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）若
2
3
P A B
，
1
3
P A
，则事件A 与B 的关系是（
）．
A．事件A 与B 相互独立
B．事件A 与B 对立
C．事件A 与B 互斥
D．事件A 与B 互斥又相互独立
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2．（多选）（2022 上·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，
下列各组事件不是独立事件的组数为（
）
A．
{
M 掷出偶数点}，
{
N 掷出奇数点}
B．
{
M 掷出偶数点}，
{
N 掷出3 点}
C．
{
M 掷出偶数点}，
{
N 掷出3 的倍数点}
D．
{
M 掷出偶数点}，
{
N 掷出的点数小于4}
3．（多选）（2023 下·河北石家庄·高二统考期末）一口袋中有除颜色外完全相同的3 个红球和4 个白球，
从中无放回的随机取两次，每次取1 个球，记事件
1A ：第一次取出的是红球；事件
2
A ：第一次取出的是白
球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（
）
A．事件
1A ，
2
A 为互斥事件
B．事件B，C 为独立事件
C．
3
( )
7
P B
D．
2
1
(
)
2
P C A
4．（2021·高二课时练习）一个盒子中装有a 个黑球和b 个白球，现从中先后有放回地任取2 个球，每次取
1 个．设A 表示事件“第一次取得黑球”，B 表示事件“第二次取得黑球”，试计算
P A 与
P A B 的值，并判
断A 与B 是否为独立事件．
题型三条件概率性质应用
1．（2023 下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）下列有关事件的说法正确的是（
）
A．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大
B．若
1
P A
B
P A
P B
，则事件A ，B 为对立事件
C．若A ，B 为互斥事件，则
1
P A
P B
D．若事件A ，B ，C 满足条件
0
P B
，A 和C 为互斥事件，则
P
A
C
B
P A B
P C B
∣
∣
∣
2．（多选）（2023·全国·校联考模拟预测）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且
1
( )
2
P A
，
11
( )
24
P B
，
7
(
)
24
P AB
AB
，则下列结论中正确的是（
）
A．
1
(
)
8
P AB
B．
5
(
)
6
P A
B
C．
9
(
)
11
|
P A B
D．
(
)
|
|
)
(
P A B
P B A
3．（2022 下·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的
大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于10
个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，10），约定：每天他首先从1 号外卖店取单，叫做第1 次取单，
之后，他等可能的前往其余9 个外卖店中的任何一个店取单叫做第2 次取单，依此类推.假设从第2 次取单
开始，他每次都是从上次取单的店之外的9 个外卖店取单，设事件
kA {第k 次取单恰好是从1 号店取单}，
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k
P A
是事件
kA 发生的概率，显然
1
1
P A
，
2
0
P A
，则
3
P A
，
10
P A
（第二空精
确到0.01）.
练一练
1．（多选）（2023 下·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知
,
A B 为两个随机事件，且
( )
0, ( )
0
P A
P B
，则下
列结论正确的是（
）
A．若
(
)
( )
P B A
P B
∣
，则
(
)
( )
P A B
P A
B．
0
P A B
P A B
C．若B 和C 是两个互斥事件，则
(
)
(
)
(
)
P B
C A
P B A
P C A
D．当
(
)
0
P AB
时，
(
)
( ) (
) (
)
P ABC
P A P B A P C AB
2．（多选）（2023 上·浙江绍兴·高三统考期末）记A，B 为随机事件，下列说法正确的是（
）
A．若事件A，B 互斥，
1
2
P A
，
1
3
P B
，
5
6
P A
B
B．若事件A，B 相互独立，
1
2
P A
，
1
3
P B
，则
2
3
P A
B
C．若
1
2
P A
，
3
4
P A B
，
3
8
P A B
，则
1
3
P B
D．若
1
2
P A
，
3
4
P A B
，
3
8
P A B
，则
1
4
P B A
3．（2021 下·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）记A ，B 分别为A ，B 的对立事件，且
4
15
P A
，
2
15
P B
，
3
4
P A B
.则（
）
A．
3
8
P B A
B．
1
4
P A B
C．
3
(
)
10
P A
B
D．
7
10
P A
B
题型四全概率公式的应用
1．（2024·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2 个白球和3个黑球；乙箱中有4 个红球，3个白球和3
个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以
1A 、
2
A 、
3
A 表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球
的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（
）
A．
2
5
P B
B．
1
5
11
P B A
C．事件B 与事件
1A 不相互独立
D．
1A 、
2
A 、
3
A 两两互斥
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2．（多选）（2024 上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.
某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设
置3 个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3 个，黄球2
个，绿球2 个；黄色箱子中放有红球4 个，绿球2 个；绿色箱子中放有红球3 个，黄球2 个，要求参与者
先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取
一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问
卷调查，则（
）
A．在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为4
7
B．在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为13
14
C．甲获得奖品的概率为24
49
D．若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小
3．（2023 上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、
丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4% 的人感染了支原体肺炎病毒，已知
这三个市的人口数之比为4 : 6 :10 ，现从这三个市中任意选取一个人.
(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；
(2)若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.
练一练
1．（多选）（2024 上·辽宁抚顺·高二校联考期末）在某班中，男生占40% ，女生占60% ，在男生中喜欢体
育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60% ，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论
正确的是（
）
A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为8
25
B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为17
25
C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为9
17
D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为8
17
2．（2024 上·上海·高二校考期末）某校中学生篮球队集训前共有6 个篮球，其中3 个是新球（即没有用过
的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2 个球，用完后放回.已知第一次训
练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1 个新球的概率为
.
3．（2024·贵州·校联考模拟预测）甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相
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同的球.甲盒装有4 个白球，8 个黑球，乙盒装有1 个白球，5 个黑球，丙盒装有3 个白球，3 个黑球.
(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1 个球，求摸出的球是黑球的概率；
(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.
题型五利用贝叶斯公式求概率
1．（多选）（2024 上·辽宁大连·高三统考期末）已知A ，B ，C 三个盒子，其中A 盒子内装有2 个红球，1
个黄球和1 个白球；B 盒子内装有2 个红球，1 个白球；C 盒子内装有3 个红球，2 个黄球.若第一次先从A
盒子内随机抽取1 个球，若取出的球是红球放入A 盒子中；若取出的球是黄球放入B 盒子中；若取出的球
是白球放入C 盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（
）
A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽到红球的概率为1
2
B．第二次抽到红球的概率为1
3
C．如果第二次抽到的是红球，则它来自B 号盒子的概率最大
D．如果将5 个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1 个，则不同的放法有150 种
2．（多选）（2024 上·重庆·高三校联考阶段练习）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1 号盒内装有两个1
号球，一个2 号球和一个3 号球；2 号盒内装有两个1 号球，一个3 号球；3 号盒内装有三个1 号球，两个
2 号球.若第一次先从1 号盒子内随机抽取1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子
中任取一个球，则下列说法正确的是（
）
A．如果将10 个相同的小球放入这三个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有36 种
B．第二次抽到3 号球的概率为11
48
C．如果第二次抽到的是3 号球，则它来自1 号盒子的概率最大
D．在第一次抽到3 号球的条件下，第二次抽到2 号球的概率为1
3
3．（2024·天津·校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自
然交流的新纪元．ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT
中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲箱中有3
个红球、2 个白球，乙箱中有4 个红球、1 个白球，从甲箱中随机抽出2 个球，在已知抽到红球的条件下，
则2 个球都是红球的概率为
；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出
1 个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1 个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率
是
．
练一练
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1．（多选）（2023 下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知编号为1，2，3 的三个盒子，其中1
号盒子内装有两个1 号球，一个2 号球和一个3 号球；2 号盒子内装有两个1 号球，一个3 号球；3 号盒子
内装有三个1 号球，两个2 号球.若第一次先从1 号盒子内随机抽取1 个球，将取出的球放入与球同编号的
盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（
）
A．在第一次抽到2 号球的条件下，第二次抽到1 号球的概率为
1
2
B．第二次抽到3 号球的概率为11
48
C．如果第二次抽到的是3 号球，则它来自1 号盒子的概率最大
D．如果将5 个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1 个，则不同的放法有180 种
2．（多选）（2022 下·浙江舟山·高二统考期末）现有编号为1，2，3 的三个口袋，其中1 号口袋内装有两
个1 号球，一个2 号球和一个3 号球；2 号口袋内装有两个1 号球，一个3 号球；3 号口袋内装有三个1 号
球，两个2 号球；第一次先从1 号口袋内随机抽取1 个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次
从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（
）
A．在第一次抽到3 号球的条件下，第二次抽到1 号球的概率是3
5
B．第二次取到1 号球的概率19
30
C．如果第二次取到1 号球，则它来自1 号口袋的概率最大
D．如果将5 个不同小球放入这3 个口袋内，每个口袋至少放1 个，则不同的分配方法有150 种
3．（2023 下·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）三批同种规格的产品，第一批占25%，
次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品
中任取一件．
(1)求这件产品是次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
题型六概率与数列
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1．（2022 上·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）如图，已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
顶点
处有一质点Q，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一
个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处，则点Q 移动2 次后仍在
底面ABCD 上的概率为
；点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为
.
2．（2021 上·北京·高二统考期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以
nP 表示没有出现连续3 次正面的概
率.给出下列四个结论：
①
3
7
8
P
；
②
4
15
16
P
；
③当
2
n
时，
1
n
n
P
P
；
④
1
2
3
1
1
1
(
4)
2
4
8
n
n
n
n
P
P
P
P
n
.
其中，所有正确结论的序号是
.
3．（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基
石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假
设我们的序列状态是…，
2
t
X ，
1
t
X ，
t
X ，
1
t
X ，…，那么
1
t
X 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
t
X ，
即
1
2
1
1
,
,
,
t
t
t
t
t
t
P X
X
X
X
P X
X
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1 元，每
一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1 元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束
赌博游戏：一种是手中赌金为0 元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的
本金为
*
N ,
A A
A
B
，赌博过程如下图的数轴所示．
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当赌徒手中有n 元（0
n
B
，
N
n
）时，最终输光的概率为
．．．．．．．．
P n ，请回答下列问题：
(1)请直接写出
0
P
与
P B 的数值．
(2)证明
P n
是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当
100
A
时，分别计算
200
B
，
1000
B
时，
P A 的数值，并结合实际，解释当B 时，
P A 的
统计含义．
练一练
1．（2022 下·山西太原·高二统考期中）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次
传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6 次传球后，球在甲手中的概率
为
．
2．（2023 上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）假设L 市四月的天气情况有晴天，雨天，阴天三
种，第二天的天气情况只取决于前一天的天气情况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则第二天下雨
的概率为1
4 ，阴天的概率为1
4 ；若前一天为下雨，则第二天晴天的概率为1
4 ，阴天的概率为3
8 ；若前一天为
阴天，则第二天晴天的概率为1
4 ，下雨的概率为1
3 ；已知L 市4 月第1 天的天气情况为下雨.
(1)求L 市4 月第3 天的天气情况为晴天的概率；
(2)记
na 为L 市四月第
N
30
n n
n
,
天的天气情况为晴天的概率，
（i）求出
na 的通项公式；
（ii）L 市某花卉种植基地计划在四月根据天气情况种植向日葵，为了更好地促进向日葵种子的发芽和生长，
要求提前3 天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.如果你是该花卉种植基地的气象顾问，根
据上述计算结果，请你对该基地的种植计划提出建议.
3．（2022 上·广东·高三校联考阶段练习）神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四
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艘飞船，已经于2022 年6 月5 日上午10 时44 分07 秒在酒泉卫星发射中心发射，3 名航天员陈冬、刘洋、
蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6 个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了
“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞
赛，共有1000 名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间[50
]
110
,
内．现将成绩分成
6 组：
50,60 ，
60,70 ，
70,80 ，80,90) ，
90,100 ，[100,110]，得到如图所示的频率分布直方图，根
据该直方图估计该1000 名大学生成绩的平均分是77 分，现规定前250 名在10 天后进行复赛.
(1)求a，b 的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线
（结果保留整数）；
(2)复赛共分为两个环节：A 和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有2
3 的学生准备项目A，其余
学生准备项目B；在前一天准备项目A 的学生中，次日会有4
5 的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项
目B；在前一天选择准备项目B 的学生中，次日会有2
3 的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目
A，用频率近似估计概率，记某学生在第n 天准备项目A 的概率为
nP ，求
10
P ．
题型七概率与函数
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1．（2023 上·湖北·高三校联考阶段练习）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，
期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否
有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中
一共会遇到n颗麦穗（假设n颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为
了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前(1
)
k
k
n
颗麦穗，自第
1
k 颗开始，
只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设k
tn
，该学生摘到那颗最大的
麦穗的概率为P .（取
1 1
ln
n
j k
k
k
n
n
j
n
k
）
(1)若
4
n
，
2
k
，求P ；
(2)若n取无穷大，从理论的角度，求P 的最大值及P 取最大值时t 的值.
2．（2023 上·湖北黄冈·高二校考阶段练习）第19 届亚运会将于2023 年9 月23 日至10 月8 日举办，本届
亚运会共设40 个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制
“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每
人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘
汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败
赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，
败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，
其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中
的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组
杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A 对阵其他三个队伍获胜概率
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均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为
1
2 ．最初分组时AB 同组，CD 同组．
(1)若
3
4
p
，在淘汰赛赛制下，A、C 获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A 获得冠军的概率（用p 表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，
是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
3．（2023 下·湖北武汉·高二武汉市第十一中学校联考期末）王老师打算在所教授的两个班级中举行数学知
识竞赛，分为个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛规则：每人只有一次挑战机会，电脑随机给出5 道题，
答对3 道或3 道以上即可晋级.团体对决赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20 人，且参赛人数为
偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的2n个人平均分成n 组，每组2 人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人
同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这n 个小组都闯关成功，则该班级
挑战成功.
方式二：将班级选派的2n个人平均分成2 组，每组n 人，电脑随机分配给同组n 个人一道相同试题，各人
同时独立答题，若这n 个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这2 个小组至少有一个小组闯关成功则该班
级挑战成功.
(1)甲同学参加个人晋级赛，他答对前三题的概率均为
1
2 ，答对后两题的概率均为1
3 ，求甲同学能晋级的概
率；
(2)在团体对决赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数
(0
1)
p
p
，为使本班
团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由.
4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数
( )
ln(
1)(
0,
R)
f x
x
ax
a
a
．
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(1)若
( )
0
f x
，求a 的值；
(2)已知某班共有n 人，记这n 人生日至少有两人相同的概率为
( )
P n ，
365
n
，将一年看作365 天．
（ⅰ）求
( )
P n 的表达式；
（ⅱ）估计(50)
P
的近似值（精确到0.01）．
参考数值：
245
73
e
0.0348687
，
255
73
e
0.0304049
，
490
73
e
0.00121583
，
510
73
e
0.000924459
．
练一练
1．（2023 上·广东佛山·高三统考开学考试）某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G 由
3 个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为2
3 ，且每个电子元件能否正常工作是相互独立，若系
统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修．
(1)求系统需要维修的概率；
(2)为提高系统G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正
常工作的概率为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作．问：p 满足什么
条件时可以提高整个系统G 的正常工作概率？
2．（2023 下·河北唐山·高二期末）高二年级上学期共进行5 次月考，每次月考成绩互不影响.记语文和英语
为文科科目，记数学和物理为理科科目，其余科目暂不参与评估.每次月考中，文科科目与理科科目总数不
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少于3 门成绩优秀，将获得“优学达人”称号，某学生在高二上学期的月考中，从文科科目和理科科目中各随
机抽取5 次成绩，其中4 次文科科目和3 次理科科目成绩优秀.
(1)从文理科各抽取的5 次成绩中，分别随机抽取2 次文科科目和2 次理科科目成绩，求至少有3 次成绩优
秀的概率；
(2)经过该学生寒假期间的自主学习，每次月考文科科目和理科科目每门成绩优秀的概率分别为
1p ，
2p ，且
1
2
1
2
3
4
3
,
,
2
5
5
p
p
p
p
，高二下学期共进行5 次月考，设该学生在这5 次月考中获得“优学达人”称号的次
数为X ，求X 的数学期望的取值范围.
3．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256 元，谁先
赢满5 局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为
(0
1)
p
p
，甲赢的概率为1
p
，每局游戏
相互独立，在乙赢了3 局甲赢了1 局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分
配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5 局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按
照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比
:
P
P
甲
乙分配奖金.
(1)若
3
4
p
，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率
f
A ，
并判断当
2
3
p时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于0.05，则称随
机事件为小概率事件）
4．（2022·江苏南通·统考模拟预测）我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的
次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．
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(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，
1
2
1
1
,
33
34
p
p
．
①求p；
②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片
会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽
检的一个芯片是合格品的概率．
(2)视p 为概率，记从试产的芯片中随机抽取n 个恰含m（n＞m）个次品的概率为
f
p ，求证：
f
p 在
m
p
n
时取得最大值．
题型八离散型随机变量的均值与方差
1．（2023 上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）2023 年第31 届大学生夏季运动会在成都举
行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代
表团以103 枚金牌､40 枚银牌､35 枚铜牌，总计178 放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大
学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50 天选择体育锻
炼项目情况统计如下：
体育锻炼目的情况
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20 天
10 天
乙
10 天
10 天
5 天
25 天
假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．
(1)已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为4
7 ，请将表格内容补充完整；（写出计算过程）
(2)记X 为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求X 的分布列和数学期望
E X ；
(3)已知在这50 天中上午室外温度在20 度以下的概率为1
3 ，并且当上午的室外温度低于20 度时，甲去打羽
毛球的概率为3
4 ，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20 度以下的概率．
2．（2024 上·黑龙江·高二校联考期末）某超市计划按天从厂家订购酸奶，每瓶进价为4 元，零售价为6 元，
若进货不足，则该超市以每瓶5 元的价格进行补货，若销售有余，则厂家以3 元回购，为此该超市收集并
整理了30 天这种酸奶的销售记录，得到了如下数据：
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销售瓶数
20
30
40
50
60
频数
3
6
12
6
3
以频率代替概率，记X 为这家超市每天销售该酸奶的瓶数，n 表示超市每天购进该酸奶的瓶数.
(1)求X 的分布列和数学期望；
(2)以销售该酸奶所得的利润的期望为决策依据，在
55
n
和
60
n
之中选一个，应选用哪个？
3．（2023·上海嘉定·统考一模）某学校组织竞赛，有A，B，C 三类问题可供选择，其中A 问题答对可得5
分，答错0 分，B 问题答对只可得3 分，但答错只有2 分，C 问题答对得4 分，答错0 分，现小明与小红参
加此竞赛，小红答对3 种问题的概率均为0.5，小明答对A，B，C 问题的概率分别为0.3，0.7，0.5.
(1)小红一共参与回答了3 题，且该3 题分为为A 、B 和C 这3 类题，记X 为小红的累计得分，求X 的分布列；
(2)小明也参与回答了3 道问题，3 道问题可以是同一类，也可以不是同一类，记Y 为小明的累计得分，求
该如何分配问题，使得E[Y]最大.
练一练
1．（2024 上·北京大兴·高三统考期末）为了解客户对A，B 两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现
随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B 两家公司的调查问卷分别有120 份和
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80 份，全部数据统计如下：
快递公司
A 快递公司
B 快递公司
项目
份数
评价分数
配送时效
服务满意度
配送时效
服务满意度
85
95
x
29
24
16
12
75
85
x
47
56
40
48
65
75
x
44
40
24
20
假设客户对A，B 两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率.
(1)从该地区选择A 快递公司的客户中随机抽取1 人，估计该客户对A 快递公可配送时效的评价不低于75
分的概率：
(2)分别从该地区A 和B 快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1 份，记X 为这2 份问卷中的服务满意度
评价不低于75 分的份数，求X 的分布列和数学期望：
(3)记评价分数
85
x
为“优秀”等级，75
85
x
为“良好”等级，65
75
x
为“一般”等级､已知小王比较看重
配送时效的等级，根据该地区A，B 两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，
B 哪家快递公司合适？说明理由，
2．（2023 上·山东·高三校联考阶段练习）某班级为了提高学习数学、物理的兴趣，组织了一次答题比赛活
动，规定每位学生共需回答3 道题目．现有两种方案供学生任意选择，甲方案：只选数学问题；乙方案：
第一次选数学问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选数学问题，若回答错误，则下一
次选物理问题．数学问题中的每个问题回答正确得50 分，否则得0 分；物理问题中的每个问题回答正确得
30 分，否则得0 分．已知A 同学能正确回答数学问题的概率为1
3 ，能正确回答物理问题的概率为2
3 ，且能
正确回答问题的概率与回答顺序无关．
(1)求A 同学采用甲方案答题，得分不低于100 分的概率；
(2)A 同学选择哪种方案参加比赛更加合理，并说明理由．
3．（2023 上·北京海淀·高三中关村中学校考阶段练习）新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每
个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由
, ,
A B C 三道工序组成，每道工序之间相互
独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，
, ,
A B C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等
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级；, ,
A B C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100 等级（表示最低过滤效率为99.97% ）；C 工
序的加工质量层次为高，,
A B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99 等级（表示最低过滤效
率为99%）；其余均为95 级（表示最低过滤效率为95%）．表①：表示
, ,
A B C 三道工序加工质量层次为
高的概率；表②：表示加工一个口罩的利润．
表①
工序
A
B
C
概率
1
2
3
4
4
5
表②
口罩等级
100 等级
99 等级
95 等级
利润/元
2.3
0.8
0.5
(1)设X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；
(2)随机抽取3 个口罩，求至少有一个口罩为100 等级的概率；
(3)由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级．在升
级过程中，每个口罩检测成本增加了
0
0.4
a
a
元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础
上增加了b ；试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则a 与b 应该满足怎样的关系？（直
接写出结果）
题型九决策问题
1．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A 、
B 两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A 旅游景点的问卷100
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份，关于B 旅游景点的问卷80 份.问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分
数分别为：4 分、3 分、2 分、1 分，数据统计如下：
非常满意
满意
一般
差评
A 景点
50
30
5
15
B 景点
35
30
7
8
假设用频率估计概率，且游客对A ，B 两个旅游景点的满意度评价相互独立.
(1)从所有（人数足够多）在A 旅游景点的游客中随机抽取2 人，从所有（人数足够多）在B 旅游景点的游
客中随机抽取2 人，估计这4 人中恰有2 人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A 、B 哪个旅游景点?说明理由.
2．（2023 上·山东德州·高二统考期末）新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，
超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球
兑奖的方式对500 位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5 种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2
张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的5 种面值的奖券中有2 张面值为100 元，其余3 张均为50 元，试比较员工获得100 元奖
励额与获得150 元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是7 万元，预定箱子中所装的5 种面值的奖券有两种方案：第一方案是3 张面值
30 元和2 张面值130 元；第二方案是3 张面值50 元和2 张面值100 元.为了使员工得到的奖励总额尽可能
地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
3．（2023·山东泰安·统考一模）某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行
奖励.规定：每位员工从一个装有4 个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2 个阄，阄上所标的面值之和为
该员工获得的奖励金额.
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(1)若袋中所装的4 个阄中有1 个所标的面值为800 元，其余3 个均为200 元，求
①员工所获得的奖励为1000 元的概率；
②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望；
(2)公司对奖励额的预算是人均1000 元，并规定袋中的4 个阄只能由标有面值200 元和800 元的两种阄或标
有面值400 元和600 元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得
的奖励额相对均衡，请对袋中的4 个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
练一练
1．（2022 上·重庆黔江·高三重庆市黔江中学校校考阶段练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式
对500 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球
上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4 个球中有1 个所标的面值为45 元，其余3 个均为15 元，求顾客所获的奖励额为60 元的
概率；
(2)商场对奖励总额的预算是30000 元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获
的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4 个球由2 个标有面值15
元和2 个标有面值45 元的两种球组成；方案二：袋中的4 个球由2 个标有面值20 元和2 个标有面值40 元
的两种球组成.
2．（2023 下·广东东莞·高二东莞实验中学校考期中）某公司计划在2023年年初将100万元用于投资，现有
两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15% ，且这两种
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情况发生的概率分别为7
9 和2
9 ；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不
赚，且这三种情况发生的概率分别为3
5 、1
3 、1
15 ．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
3．（2023 下·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）中医是中华民族的瑰宝，是中国古代
人民智慧的结晶，中医离不开中药，中药主要包括植物药、动物药、矿物药．某植物药材的存放年份X 的
取值为3，4，，8，其中5
8
X
为一等品，3
5
X
为二等品．已知中药厂按照两种方式出售此植物
药材，精品药材（只含一等品）的售价为10 元/株；混装药材（含一等品与二等品）的售价为6 元/株．某
药店需要购买一批此植物药材．
(1)已知中药厂库存中精品药材的年份X 的分布列如下表所示，且X 的数学期望
6.5
E X
，求X 的方差；
X
5
6
7
8
P
a
0.4
b
0.1
(2)为分析中药厂库存中混装药材的年份Y，从混装药材中随机抽取20 株，相应的年份组成一个样本，数据
如下：3，5，3，3，8，5，5，6，3，4，6，3，4，7，5，3，4，8，4，7．用这个样本的频率分布估计总
体分布，将频率视为概率，求混装药材的年份Y 的数学期望；
(3)在（1）（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪种药材更具可购买性？并说明理由．
注：①药材的“性价比” 药材的年份的数学期望
药材的售价
；②“性价比”大的药材更具可购买性．
一、单选题
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1．（2023 下·广东广州·高二统考期末）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，
传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6 次传球后球在甲手中的概率为（
）
A．11
32
B．31
96
C．5
16
D．17
48
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4 位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，
要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件A “甲参加跳高比赛”，事件B “乙参加跳
高比赛”，事件C “乙参加跳远比赛”，则（
）
A．事件A 与B 相互独立
B．事件A 与C 为互斥事件
C．
5
12
P C A
D．
1
9
P B A
3．（2023 下·广东佛山·高二校联考阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面
朝上的点数，A 表示事件“第一次正面朝上的点数为1”，B 表示事件“第二次正面朝上的点数为3”，C 表示
事件“两次正面朝上的点数之和为8”，D 表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，则下列说法错误的是（
）
A．A 与D 相互独立
B．A 与C 互斥
C．
4
5
P B C
D．
1
36
P A D
4．（2018·高二课时练习）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，
－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(
)
A．8
9
B．3
5
C．2
5
D．1
3
5．（2020·浙江·高三专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3 个红球和3 个黑球，
现从乙盒子里随机取出
*
1
6,
n
n
n
N
个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个
数为个，则随着
*
1
6,
n
n
n
N
的增加，下列说法正确的是（
）
A．E增加，D增加
B．E增加，D减小
C．E减小，D增加
D．E减小，D减小
6．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，
已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18 元，面食套餐的价格是每份
12 元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1 天甲选择
了米饭套餐，第n 天选择米饭套餐的概率为
nP ，给出以下论述：
①
3
0.52
P
；
②
1
1
0.4
0.6 1
2,
N
n
n
n
P
P
P
n
n
；
③
1
0.4
0.5 ( 0.2)n
nP
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④前k 天甲午餐总费用的数学期望为
5
5
1
15
2
2
5
k
k
.
其中正确的是（
）
A．②③④
B．①②④
C．①③④
D．①②③
7．（2020 下·广东广州·高二广东广雅中学校考阶段练习）广雅高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为
3 局2 胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是
1
0
2
p
p
，记比赛的最终局数为随机变量
X ，则（）
A．
5
(
)
2
E X
B．
21
(
)
8
E X
C．
1
(
)
4
D X
D．
1 1
(
)
,
4 2
D X
8．（2020·浙江·高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没
有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若
1
0
3
p
，
则（
）
A．
5
2
E X
B．
21
8
E X
C．
1
4
D X
D．
20
81
D X
二、多选题
9．（2023 下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知编号为1，2，3 的三个盒子，其中1 号盒子内
装有两个1 号球，一个2 号球和一个3 号球；2 号盒子内装有两个1 号球，一个3 号球；3 号盒子内装有三
个1 号球，两个2 号球.若第一次先从1 号盒子内随机抽取1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，
第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（
）
A．在第一次抽到2 号球的条件下，第二次抽到1 号球的概率为1
2
B．第二次抽到3 号球的概率为11
48
C．如果第二次抽到的是3 号球，则它来自1 号盒子的概率最大
D．如果将5 个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1 个，则不同的放法有180 种
10．（2023 下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）有一座高度是10 级（第1 级~第10 级）台阶的楼梯，小明
在楼梯底部（第0 级）从下往上走，每跨一步只能向上1 级或者向上2 级，且每步向上1 级与向上2 级的
概率相同，设第n 步后小明所在台阶级数为随机变量
n
X ，则（
）
A．
2
1
2
4
P X
B．
2
3
E X
C．
4
4
6
7
P X
P X
D．
10
n
P X
中
7
10
P X
最大
11．（2022 上·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是
一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，
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当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每
局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为
0
1
p
p
，实际比赛局数的期望值
记为
f
p ，下列说法正确的是（
）
A．三局就结束比赛的概率为
3
3
1
p
p
B．
f
p 的常数项为3
C．
1
4
3
5
f
f
D．
1
33
2
8
f
三、填空题
12．（2022·天津河北·天津五十七中校考模拟预测）第24 届冬奥会于2022 年2 月4 日至20 日在北京和张
家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3 张“冬
梦”，2 张“冰墩墩”和2 张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”、“冰墩墩”、"雪容融”邮票各1 张．小王现随机取出
一张邮票送给小李，分别以
1
2
3
A
A
A
、、
表示小王取出的是“冬梦”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机
取出一张邮票，以B 表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则
2
P B A
，( )
P B
．
13．（2020 上·广东佛山·高三统考阶段练习）连续投掷一枚均匀硬币，正面出现n 次或者背面只要出现一次，
就算比赛结束，则比赛结束时出现正面的次数的数学期望是
.
四、解答题
14．（2023 下·福建·高一福建师大附中校考期末）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即
胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负
者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者
组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D 四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6 场
比赛为决赛.
(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①A 获得季军的概率；②D 在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；
(2)若A 的实力出类拔萃，有4 参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D 进入决赛且先与
对手已有过招的概率.
15．（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫
生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两
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个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5 位成员，两个部门分别独立地发出批建邀
请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2 位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部
门的邀请后，专家如约参加会议.
(1)设参加会议的专家代表共X 名，求X 的分布列与数学期望.
(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100 位热心市民中抽取
部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀
请的名单从这100 名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了
N ,2
100
m m
m
名代表，卫
生监督管理部门邀请了
N ,2
100
n n
n
名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门
的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且
100
m
n
，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人
数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X 的估计值为k）
16．（2023 下·江苏常州·高二校联考期中）从甲､乙､丙等5 人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则
是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必
须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X ，求X 的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1 次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲手中的概率为
,
1,2,3,
np n
，
①直接写出
1
2
3
p
p
p
，，
的值；
②求
1
np 与
np 的关系式
*
(
)
n
N
，并求
np
*
(
)
n
N
.
17．（2024 上·辽宁抚顺·高二校联考期末）11 月29 日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情天辽地宁”冰雪主
题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游､冰雪运动､冰雪文化的主要举措､
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重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的
方式对1000 位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2 个
球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额.
(1)若袋中所装的4 个球中1 个所标的面值为30 元，其余3 个均为20 元，求顾客所获得的消费券的总额为
50 元的概率.
(2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000 元，并规定袋中的4 个球只能由标有面值40 元､60 元的2 种球
组成，或由标有面值30 元､50 元､70 元的3 种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园
的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4 个球的面值给出一个合适的设计方案，
并说明理由.
18．（2023 下·浙江·高二校联考期末）人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不
同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生
孩X 人，在Ⅱ时期生孩Y 人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．X 服从0-1 分布且
1
(
0)
5
P X
．Y
分布列如下图：
Y
0
1
2
P
p
p
q
p
q
现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2 个孩子概率为1
24 ；若在Ⅰ时期生了1 个女孩，则在时
期生2 个孩子概率为1
6 ；若在Ⅰ时期生了1 个男孩，则在Ⅱ时期生2 个孩子概率为1
12 ，样本点中Ⅰ时期生
孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为2:5（针对普遍家庭）．
(1)求Y 的期望与方差；
(2)由数据
(
1,2,
, )
iz i
n
组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为
:
a b ，分别为
(
1,2,
, )
ix i
k
与
(
1,2,
,
)
iy i
m
，k
m
n
，总体样本点与两个分层样本点均值分别为z ，x ，y ，方差
分别为
2
0
S ，
2
1S ，
2
2
S ，证明：
2
2
2
2
2
0
1
2
(
)
(
)
a
b
S
S
x
z
S
y
z
a
b
a
b
，并利用该公式估算题设样本总
体的方差．
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