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第 05 讲 空间距离的传统法和向量法
目录
题型一：利用空间向量求点到直线的距离................................1
题型二：点到平面距离（等体积法）....................................3
题型三：点到平面距离（向量法）......................................7
题型四：利用向量探索点到平面距离最值问题...........................16
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
典型例题
例题1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间中三点 ，则点 到直线
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，
则点 到直线 的距离为 .
故选：C.
例题2．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）已知直线 的方向向量为 ，点 在直线
上，则点 到直线 的距离为 .
【答案】
【详解】 ，，
所以 ，
点 到 的距离为 ．
故答案为： ．
精练核心考点
1．（2023春·江苏徐州·高二徐州高级中学校考阶段练习）空间中有三点 ，则
点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
则 ， ，
则 ，
所以点 到直线 的距离为 .
故选：A.
2．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知点 ，若 ， 两
点在直线l上，则点A到直线l的距离为 .
【答案】3
【详解】依题意， 而 ，
故与 方向相同的单位向量为 ，
则所求距离 .故答案为:3
题型二：点到平面距离（等体积法）
典型例题
例题1．（2023春·山东烟台·高一统考期末）如图，在正三棱柱 中， 是 中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ，求 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
四边形 为平行四边形， 为 中点，又 为 中点，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）设 ， 到平面 的距离为 ，
， ， ，又 为 中点， ，
又 为等边三角形，
，解得： ，，
，
，解得： ，
即 到平面 的距离为 .
例题2．（2023春·广东惠州·高一统考期末）如图，在正方体 中， 是棱 的中点．
(1)试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
(2)若正方体 的棱长为2，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)直线 平面 ，理由见解析
(2)
【详解】（1）直线 平面 ，
理由如下：在正方体 中，连接 交 于点 ，连接 ，如图1，
因为四边形 为正方形，则 为 中点，又 为 中点，因此 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）解法一：（等体积法）在三棱锥 中， ，
则 ，
的面积 ，
设点 到平面 的距离为 ，
由 得： ，
于是 ，所以点 到平面 的距离为 ．
解法二：（直接法）
连接 ，在平面 中，设
在正方形 中，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ ．
又∵ ， 、 平面
∴ 平面 ，而 平面 ，∴
同理可得： ，
又∵ ， ， 平面 ，∴ 平面 ，即 平面 ，
所以 为点 到平面 的距离，
由题意可知，在直角三角形 中， ， ，
由 得 ，所以点 到平面 的距离为 ．
精练核心考点
1．（2023春·安徽滁州·高一安徽省定远中学校考阶段练习）在边长为2的正方形 中， 是 的中
点，点 是 的中点，将 ， ， 分别沿 ， ， 折起，使 ， ， 三点重合
于点 ，则 到平面 的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】由折叠不变可知，三棱锥 中 ， ， 两两相互垂直，
所以 ，
的三边长分别为 ， ， ，所以 ，
因为 ，设 到平面 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
故选：B.
2．（2023春·云南红河·高一统考期末）如图，四棱锥 中，底面 为菱形，且 ，
，G为 的中点， 在 方向上的投影向量为 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求点C到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接PG，BG，BD，
G为 的中点， 在 方向上的投影向量为 ，
，
在四棱锥 中，底面ABCD为菱形，且 ，
为等边三角形，又G为 的中点， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ．
（2） ， ， 为等边三角形， ，
，
，
平面ABCD， 平面ABCD，
设点 到平面PBD的距离为 ，
,，
点 到平面PBD的距离为
题型三：点到平面距离（向量法）
典型例题
例题1．（2023春·天津和平·高一天津一中校考期末）如图，在四棱锥 中， 平面
，底面 是直角梯形，其中 ， 为棱 上的点，且
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有 ，
， ， ，
因为 ，所以 ，而 平面 ， ，
所以 平面 ；
（2）设平面 的法向量为 ，
，
则有 ，
由（1）可知平面 的法向量为 ，
所以有 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ；
（3）由（2）可知：平面 的法向量为 ，
，所以可得：
，
所以点E到平面 的距离为 .
例题2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱 的各棱长都为
，点 在下底面 的投影为 的中点 .(1)在棱 （含端点）上是否存在一点 使 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理
由；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)存在，
(2)
【详解】（1）因为点 在下底面 的投影为 的中点 ，故 平面 ，
连接 ，由题意 为正三角形，故 ,
以 为原点， 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系：
则 ， ，
设 ，可得 ，
，
假设在棱 （含端点）上存在一点 使 ，
则 ，
则 ；
（2）由（1）知 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
则 ，
又 ，则 到平面 的距离为 ，
即点 到平面 距离为 .
例题3．（2023·江苏·校联考模拟预测）在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ， .
(1)设平面 与平面 的交线为 ，求证： 平面 ；
(2)点 在棱 上，直线 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ， 平面PCD， 平面PCD，
所以 平面PCD.
又因为 平面PAB，平面 平面 ，
所以 .
因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 平面ABCD.
（2）
设O为AD的中点，
因为 ，
所以 .
又因为平面 平面ABCD，平面 平面 ，
所以 平面ABCD，
又 平面ABCD，
所以 .
由 ， ， ，
可知ABCD四边形为等腰梯形，得 ，
所以 ，
所以 .
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ， ，
设平面ABCD的法向量为 ，
设 ，则 ，
， ，
因为直线AE与平面ABCD所成角为 ，
所以 ，
所以 ①
因为点E在棱PB上，
所以 ，
即 ，
所以 ， ， ，
代入①解得 或 （舍去）
， ， ，设平面PCD的法向量为 ，则
，
令 ，得 ， ，
所以 ，
所以点E到平面PCD的距离
.
精练核心考点
1．（2023春·河南南阳·高二统考期末）在单位正方体 中， 为 的中点，则点 到
平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，以D为坐标原点，以 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ,
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
故点 到平面 的距离为 ,
故选：C
2．（2023·北京通州·统考三模）如图，在三棱锥 中，平面 平面BCD，
，O为BD的中点.
(1)证明： .
(2)若 是等腰直角三角形， ， ，点E在棱AD上（与A，D不重合），若二面角
的大小为 ，求点D到面BCE的距离.
【答案】(1)证明见解析.
(2)1.
【详解】（1）证明：因为 ，O为BD的中点，
所以 ，
又因为平面 平面BCD，平面 平面 ， 平面ABD，
所以 平面BCD．
又因为 平面BCD，
所以 .
（2）设BC的中点为F，则 ，又因为 ，所以 .
以O为坐标原点，以OF，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为 是等腰直角三角形， ， ，所以 ，
又因为 ，O为BD的中点，根据直角三角形性质可得， ，
则 ， ， ， ， ，
设 ，则 .
由题意可知 是平面BCD的一个法向量， ，
设平面BCE的一个法向量为 ， ， ，
则有 ，即 ，令 ，则 ， ，
则平面BCE的一个法向量为 .
根据二面角 的大小为 可得， ，
解得 ，即 ，又因为 ，
所以点D到平面BCE的距离 .
3．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥 中， 底面 ，且 ，四边
形 是直角梯形，且 ， ， ， ， 为 中点， 在线段 上，且
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)(3)
【详解】（1）证明：以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
，
易知平面 的一个法向量为 ，故 ，
则 ，
又 平面 ，故 平面 ．
（2）易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
且 ， ，
则 ，令 ，则 ， ， ，
设平面 与平面 夹角为 ，易知 为锐角，
所以 ，即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
（3）设平面 的法向量为 ，且 ，
则 ，令 ，则 ， ，故 ，
设点 到平面 距离为 ， ．
题型四：利用向量探索点到平面距离最值问题
典型例题例题1．（2023秋·四川资阳·高二校考期末）已知三棱锥 中， ，且 、 、
两两垂直， 是三棱锥 外接球面上一动点，则 到平面 的距离的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
三棱锥 ，满足 两两垂直，且 ，
如图 是棱长为1的正方体 上具有公共顶点 的三条棱,
以 为原点, 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系,
则 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
三棱锥 外接球就是棱长为1的正方体 的外接球，
是三棱锥 外接球上一动点，
由正方体与球的几何性质可得，点 点与 重合时，
点 到平面 的距离最大，
点 到平面 的距离的最大值为 .故选C.
例题2．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图所示，在四棱锥 中，侧面 是正
三角形，且与底面 垂直， 平面 ， ， 是棱 上的动点.(1)当 是棱 的中点时，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求点 到平面 距离的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，所以
.
取 的中点 ，连接 、 ，
因为 是棱 的中点，所以， 且 ，
因为 且 ，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）解：取 的中点 ，连接 .
因为 是正三角形，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 ， ， 为 的中点，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 ，则 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 ，所以 ，
设 ，其中 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
所以 ，
令 ，得 ，
设点 到平面 距离为 ， .
当 时， ；
当 时， ，则 ，
当且仅当 时等号成立.
综上，点 到平面 距离的取值范围是 .
精练核心考点
1．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）在长方体 中， ， ，动点P
在体对角线 上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设 ，
则 ， ， ， ，则 ，故 ，
又 ， ，于是 ，
设平面APC的法向量 ，则有 ，
可取 ，
则点B到平面APC的距离为 ，
当 时，点B到平面APC的距离为0，
当 时， ，
当且仅当 时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为 ，
故选:D．
2．（2022秋·广东佛山·高三统考期中）如图，设正方体 的棱长为2，设 为 的中
点， 为 上的一个动点，设由点 确定的平面为 ，当点 与 重合时，平面 截正方体的截面
的面积为 ；点 到平面 的距离的最小值为 .【答案】
【详解】如图所示当点 与 重合时，取 中点 ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
，同理， ，四边形 为平行四边形，
又因为 ，
则平面 截正方体的截面 为菱形，
因为正方体的棱长为2，所以菱形的边长为 ，
又因为 ，所以 中 上的高 ，
所以截面面积 .
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，所以 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离
，
由对勾函数可得当 时 单调递减，所以当 时，点 到平面 的距离 取最小值，
.
故答案为： ， .
