热点01根的判别式（5大题型+高分技法+限时提升练）（原卷版）_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

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热点01 根的判别式
根的判别式是中考数学的常考考点，一般出现在北京中考的第4 题，第5 题。第6 题，第10 题等。选择题
和填空题均有出现。以简单题为主，针对性的计算训练可提高解题速度和正确率，选择题用排除法也可提
高解题速度。
【题型1  判断根的情况】 
主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握𝑏2−4𝑎𝑐与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．即当𝑏2
−4𝑎𝑐＞0时，一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个不相等的实数根；当𝑏2−4𝑎𝑐= 0时，一元二次
方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个相等的实数根；当𝑏2−4𝑎𝑐＜0时，一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)
没有实数根．
1．（2022 年北京市朝阳区中考数学模拟）一元二次方程x2+5x+3=0 的根的情况是（　　）
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A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
2．（2023 年北京市十一学校中考模拟）关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑘+ 3)𝑥+ 2𝑘+ 1 = 0根的情况是（    ）
A．无实根
B．有实根
C．有两个不相等实根
D．有两个相等实根
3．（2024 年北京市东城区北京二中教育集团中考一模）关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑚𝑥+ 𝑚2−1 = 0的根的
情况是（    ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m 的值确定
4．（2022 年北京市东城区中考数学二模）关于x 的一元二次方程x2+ax﹣1=0 的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
5．（北京市大兴区2024-2025 学年九年级上学期期末）关于x 的一元二次方程𝑥2 +𝑘𝑥−2 = 0的根的情况是
（   ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【题型2  有两个相等的实根】
考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式等于0，方程有两个相等的实数根，
是解题的关键．
6．（2023 年北京市丰台区中考一模）若关于𝑥的方程𝑥2−𝑥+ 𝑎= 0有两个相等的实数根，则实数𝑎的值是
（    ）
A．−4
B．4
C．−
1
4
D．
1
4
7．（2024 年北京市首都师范大学附属中学大兴北校区中考模拟）关于𝑥的一元二次方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑚= 0有两
个相等的实数根，则𝑚的值为（    ）
A．−1
B．1
C．−4
D．4
8．（北京市海淀区人大附中2024~2025 学年下学期九年级开学）若关于x 的一元二次方程𝑥2 +6𝑥+ 𝑐= 0有
两个相等的实数根，则实数c 的值为（   ）
A．−36
B．36
C．−9
D．9
9．（北京市密云区2024-2025 学年九年级上学期期末）若方程𝑥2 +4𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，则m
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的值为（  ）
A．2
B．−2
C．4
D．−4
10．（2024·北京·中考真题）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−4𝑥+ 𝑐= 0有两个相等的实数根，则实数𝑐的值为
（    ）
A．−16
B．−4
C．4
D．16
【题型3  有两个不相等的实根】
考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式的关系是解的关键．根据Δ > 0时，方程ax2
+bx + c = 0(a ≠0)有两个不相等的实数根，建立不等式求解即可．
11．（北京市第十九中学2024—2025 学年上学期九年级期中）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑚−1 = 0
有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（   ）
A．𝑚< 2
B．𝑚> 2
C．𝑚≥2
D．𝑚< −2
12．（北京市大兴区2024~2025 学年上学期九年级数学期中）若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +2𝑥+ 1 = 0有两
个不相等的实数根，则𝑎的取值范围是（    ）
A．𝑎> −1
B．𝑎< 1
C．𝑎> −1且𝑎≠0
D．𝑎< 1且𝑎≠0
13．（北京市西城区北京师范大学附属实验中学2021-2022 学年九年级上学期数学九月）若关于𝑥的一元二次
方程𝑘𝑥2−2𝑥−1 = 0有两个不相等的实数根，则𝑘的取值范围是（　　）
A．𝑘> −1
B．𝑘> −1且𝑘≠0
C．𝑘< 1
D．𝑘< 1且𝑘≠0
14．（北京市顺义牛栏山第一中学实验学校2024-2025 学年九年级下学期开学）若关于x 的方程𝑚𝑥2 +3𝑥−1 = 0
有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（   ）
A．𝑚> −
9
4
B．𝑚> −
9
4且𝑚≠0
C．𝑚< −
9
4
D．𝑚< −
9
4且𝑚≠0
15．（北京市第四十三中学2022-2023 学年九年级上学期期中）若方程𝑥2−4𝑥+ 𝑐= 0有两个不相等的实数根，
则实数𝑐的值可以是（   ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【题型4  有实根】
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考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程a x2 +bx + c = 0（a ≠0），则有
b2−4ac ≥0⇔方程有两实根，b2−4ac > 0⇔方程有两不等实根，b2−4ac = 0⇔方程有两相等实根，b2−
4ac < 0⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一
元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得k ≠0且Δ = b2−4ac = (−2)2
−4 × k × 1 = 4−4k ≥0，解之得出k的范围．
16．（北京市清华大学附属中学2023-2024 学年九年级下学期开学）若关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2−6𝑥+ 9 = 0
有实数根，则k 的取值范围是（   ）
A．𝑘< 1
B．𝑘≤1
C．𝑘< 1且𝑘≠0
D．𝑘≤1且𝑘≠0
17．（北京市第十二中学2024-2025 学年九年级上学期11 月）若关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2−3𝑥−
9
4 = 0有实
数根，则实数𝑘的取值范围是（   ）
A．𝑘= 0
B．𝑘≥−1且𝑘≠0
C．𝑘≥−1
D．𝑘> −1且𝑘≠0
18．（西城区北京师范大学附属中学2023-2024 学年九年级上学期月考）关于𝑥的方程(𝑎−5)𝑥2−4𝑥−1 = 0有
实数根，则𝑎满足（    ）．
A．𝑎≥1且𝑎≠5
B．𝑎≥1
C．𝑎> 1且𝑎≠5
D．𝑎≠5
19．（2024 年北京市燕山区中考数学模拟）如果关于𝑥的一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 𝑚= 0有实数根，那么𝑚的取
值范围是（   ）
A．𝑚> 1
B．𝑚≥1
C．𝑚< 1
D．𝑚≤1
20．（北京市十一晋元中学2024-2025 学年下学期开学）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘2 +2 = 0
有实数根，则𝑘的取值范围为（   ）
A．𝑘> −
1
2
B．𝑘< −
1
2
C．𝑘≥−
1
2
D．𝑘≤−
1
2
【题型5 无实根】
考查了根的判别式，熟练掌握判别式大于零，方程有两个不相等的实数根；判别式等于零，方程有两个
相等的实数根；判别式小于零，方程没有实数根是解题的关键．
21．（海淀区北京理工大学附属中学2024-2025 学年九年级上学期开学）下列所给方程中，没有实数根的是
（    ）
A．𝑥2 +𝑥= 0
B．5𝑥2−2𝑥−1 = 0
C．3𝑥2−4𝑥+ 1 = 0
D．4𝑥2−6𝑥+ 3 = 0
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22．（清华大学附属中学朝阳学校2024-2025 学年九年级上学期数学9 月）下列所给方程中，没有实数根的
是（     ）
A．𝑥2 +𝑥= 0
B．4𝑥2−5𝑥+ 2 = 0
C．5𝑥2−4𝑥−1 = 0
D．3𝑥2−4𝑥+ 1 = 0
23．（北京市第八十中学2023-2024 学年九年级上学期月考）在下列方程中，没有实数根的是（    ）
A．𝑥2 +𝑥= 0
B．𝑥2−1 = 0
C．𝑥2−𝑥+ 3 = 0
D．𝑥2 +2𝑥+ 1 = 0
24．（朝阳区人大附中朝阳分校2022-2023 学年九年级上学期月考）若关于x 的方程(x＋1)2＝1－k 没有实根，
则k 的取值范围是（      ）
A．k＜1
B．k＜－1
C．k≥1
D．k＞1
25．（2024 年北京市广渠门中学中考二模）若关于𝑥的方程𝑥2−𝑥−𝑚= 0没有实数根，则𝑚的值可以为（  ）．
A．−1
B．−
1
4
C．0
D．1
（建议用时：10 分钟）
一、单选题
1．一元二次方程2𝑥2−3𝑥−
3
2 = 0的根的情况是（   ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数
C．有两个不相等的实数根
D．无法判断
2．下列方程有两个相等的实数根的是（    ）
A．2𝑥2 +4𝑥+ 1 = 0
B．2𝑥2 +4𝑥+ 2 = 0
C．2𝑥2 +4𝑥+ 3 = 0
D．2𝑥2 +4𝑥= 0
3．已知关于𝑥的方程(𝑐−2)𝑥2−2𝑥+ 1 = 0有实数根，则𝑐的取值范围是（   ）
A．𝑐≥−3且𝑐≠2 B．𝑐≠2
C．𝑐≤3
D．𝑐≤3且𝑐≠2
4．关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(2−𝑘)𝑥−3𝑘+ 6 = 0有两个相等的实数根，则𝑘的值为（   ）
A．𝑘= −10
B．𝑘= 2
C．𝑘= −10或𝑘= 2
D．𝑘= 10或𝑘= −2
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5．已知关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2 +2𝑥+ 1 = 0有两个不相等的实数根，则𝑘的取值范围是（   ）
A．𝑘< 1
B．𝑘> 1
C．𝑘< 1且𝑘≠0
D．𝑘≤1且𝑘≠0
二、填空题
6．关于x 的方程𝑥2−𝑥+ 𝑘= 0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是          
．
7．若关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2−3𝑥−
9
4 = 0有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是       
．
8．若关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2 +2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘= 0有两个实数根，则𝑘的取值范围是      
．
9．已知一元二次方程𝑥2−2𝑚𝑥+ 16 = 0的有两个相等实数根，则𝑚的值为     ．
10．已知关于𝑥的一元二次方程(𝑘−1)𝑥2 +2𝑥−3 = 0有实数根，则𝑘的取值范围是          
．