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第 03 讲 空间直线、平面的平行 (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2021·全国·高一课时练习）平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A．α内有无数条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．α内的任何直线都与β平行
D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α
【答案】C
【详解】对A，若α内的无数条直线都平行，平面α与平面β不一定平行，也可能相交，垂直，A错
对B，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，B错
对C，“α内的任何直线都与β平行”可等价转化为“α内的两条相交直线与β平行”，根据面面平行的判
定定理，C正确
对D，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，D错
故选C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知说法甲为“如果直线 ，那么 平面 ”，说法乙为“如果
平面 ”，那么 ”.要使上面两种说法成立，需分别添加的条件是
A．甲：“ ”，乙：“ ”
B．甲：“ ”，乙：“ 且 ”
C．甲：“ ， ”，乙：“ 且 ”
D．甲：“ ， ”，乙：“ ”
【答案】C
【详解】说法甲为“如果直线 ，那么 平面 ”，由线面平行的判定定理得需添加的条件是“
， ”；
说法乙为“如果 平面 ”，那么 ”，由线面平行的性质定理得需添加的条件是“ 且
”.
故选C
3．（2021·四川南充·三模（文））在空间四边形 中， 分别为 上的点，且
， 分别为 的中点，则（ ）
A． 平面 ，且四边形 是平行四边形
B． 平面 ，且四边形 是梯形
C． 平面 ，且四边形 是平行四边形
D． 平面 ，且四边形 是梯形【答案】B
【详解】如图，由题意，得 ，且 ， ，且 ，∴ 且 ，
∴四边形 是梯形；又 ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ； 所以选项
B正确．
故选：B.
4．（2022·全国·高一课时练习）如图，在多面体 中，平面 平面 ，且
，则 ( )
A． 平面 B． 平面
C． D．平面 平面
【答案】A
【详解】如图所示，取DG的中点M，连AM、FM，．
则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，
∴ 且 ．
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，
∴AB∥DE，
∴AB∥FM．
又AB＝DE，∴AB＝FM，
∴四边形ABFM是平行四边形，
∴BF∥AM．
又BF 平面ACGD，AM 平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD．选A．
5．（2022·全国·高一专题练习）正方体EFGH－EFGH 中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是
1 1 1 1
A．平面EFG 与平面EGH B．平面FHG 与平面FHG
1 1 1 1 1 1
C．平面FHH与平面FHE D．平面EHG 与平面EHG
1 1 1 1 1 1
【答案】A
【详解】正方体中EF∥HG，EG∥EG，从而可得EF∥平面EGH ，EG∥平面EGH ，所以平面EFG∥平
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
面EGH ，故选A．
1
6．（2022·全国·高一单元测试）如图，在下列四个正方体中， 为正方体的两个顶点， 为所在
棱的中点，则直线 与平面 不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A选项，连接 、 交于点 ，
则 为 的中点，设 ，连接 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，若 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，则 ，
在平面 内，过该平面内的点 作直线 的平行线，有且只有一条，与题设矛盾，
假设不成立，故A选项中的直线 与平面 不平行．
对于B选项，连接 ，如下图所示：
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ；
对于C选项，连接 ，如下图所示：
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ；对于D选项，连接 ，如下图所示：
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ；
故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中，下列四对平面彼此平行的一对是
A．平面 与平面 B．平面 与平面
C．平面 与平面 D．平面 与平面
【答案】A
【详解】如图，正方体 ，
所以四边形 是平行四边形， 平面 ，
面 ，所以 平面 ，同理 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
故选:A
8．（2022·全国·高一课时练习）已知 分别为四面体 的棱 上的点,且
, , , ,则下列说法错误的是（ ）
A． 平面 B．
C．直线 相交于同一点 D． 平面
【答案】D
【详解】 ， ，
是 的中位线，
，且 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，故 正确，
， ，
，且 ，
则 ，故B正确，
是梯形，则直线 ， 相交，设交点为 ，
则 ， 平面 ， ， 平面 ，
则 是平面 和平面 的公共点，
则 ，
即直线 ， ， 相交于同一点，
故 正确，
因为 ， ，所以直线 与 必相交，所以 错误.
故选D二、多选题
9．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M
为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（ ）
A．OM∥PD B．OM∥平面PAC
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
【答案】AC
【详解】因为矩形对角线的交点为O，所以O是BD的中点，
又 M为PB的中点， 为△ 的中位线，
,
又 平面 , 平面 ,
所以OM∥平面PDA，
故 正确；
与平面 有公共点 ,与平面 有公共点 ,故BD错误.
故选： .
10．（2022·吉林·东北师大附中高二阶段练习）如图，在四面体 中，截面 是正方形，则在下
列命题中，正确的为
A．B． 截面
C．
D．异面直线 与 所成的角为
【答案】ABD
【详解】解：因为截面 是正方形 ，所以 ，
又 平面
所以 平面
又 平面 ,平面 平面
截面 ，故B正确
同理可证
因为 ，所以 ，故A正确
又
所以异面直线 与 所成的角为 ，故D正确
和 不一定相等，故C错误
故选：ABD
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）如图，长方体 中， ， ， 分别是侧棱 ，
上的动点， ，点 在棱 上，且 ，若 平面 ，则 .
【答案】2
【详解】连接AC，交BD于点O，连接PO.因为 平面PBD， 平面 ，平面 平面 ，所以 ；在 上截取
，连接 ，则 ，所以 ，
所以易知四边形 为平行四边形，则 .
又 ， ，所以 ，故 .
故答案为： .
12．（2022·全国·高一专题练习）如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列
结论中正确的有______个．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
【答案】4
【详解】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝
D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以
AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是
⊄ ⊂
∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．
故答案为：4.
四、解答题
13．（2022·全国·高一课时练习）在空间四边形 中， ，与直线 都平行的平面分
别交 于点E，F，G，H．
(1)求证：四边形 是平行四边形；(2)求四边形 的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：因为直线 平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ．
同理得 ，所以 ．同理得 ，所以四边形 是平行四边形，
（2）
由（1）可知 ，两式相加得 ，所以四边形 的周长为 ．
14．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体 中，E、F是BD、 的中点．求证：
(1) 平面 ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
(1)
连接 ，则 与 必交于 ，即 也是 中点，
所以在△ 中 ，而 面 ， 面 ，则 平面 ；
(2)在正方体中， ，由（1）知： ，故 .
B能力提升
15．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））如图，三棱柱 的底面是边长为2的正三角
形， 平面 ， ， 是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：连接 ，交 的于 ，连接 ，
则 为 的中点，
因为 分别是 ， 的中点，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）
由（1）得： ，
（或其补角）就是异面直线 与 所成的角，
∵三棱柱 的底面是边长为2的正三角形， ，
∴ ， ， ，∴
由余弦定理得： ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
16．（2022·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形．
（1）设 为 上靠近 的三等分点， 为 上靠近 的三等分点．求证： 平面 ．
（2）设 是 上靠近点 的一个三等分点，试问：在 上是否存在一点 ，使 平面 成立？
若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）在 上是存在 中点 ，使 平面 成立，证明见解析.
【详解】（1）如图，取 上靠近 的三等分点 ，连接 ，
中， ，
则 又 平面 ， 平面 ，
平面 ，同理， 平面 ，又 ，
∴平面 平面 ，又 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）存在 中点 ，使 平面 成立．
取 中点 ，连 ，使 ，连 ．是矩形， 是 的中点，
又 是 上靠近点 的一个三等分点，且 是 中点，
是 的中点，
中， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
故在 上是存在 中点 ，使 平面 成立．
