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专题04 圆锥曲线大题综合（天津专用）
一、解答题
1．（2023·天津河东·统考二模）设椭圆
的一个顶点与抛物线
的焦点重合，
，
分别是椭圆的左、右焦点，离心率
，过椭圆右焦
点
的直线与椭圆
交于
，
两点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
，求直线的方程；
(3)已知直线斜率存在，若
是椭圆
经过原点
的弦，且
，求证：
为定
值．
2．（2023·天津和平·统考三模）在平面直角坐标系
中，椭圆
的上，下焦点分别为
，椭圆上的任意一点到下焦点
的
最大距离为3，最小距离为1.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设过点
的直线与椭圆
相交于点
，垂直于的直线与交于点
，与
轴
交于点
，且
，求直线的方程.
3．（2023·天津滨海新·统考三模）已知椭圆
：
的离心率为
，
左，右焦点分别为
，
，过点
的直线与椭圆相交于点
，
，且
的周长为
8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆
的左，右顶点分别为
，
，上顶点为
，若过
且斜率为
的直线与椭
1
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圆
在第一象限相交于点
，与直线
相交于点
，与
轴相交于点
，且满足
，求直线的方程．
4．（2023·天津红桥·统考一模）设椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率
，长轴为4，且过椭圆右焦点
的直线与椭圆
交于
两
点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若
，其中
为坐标原点，求直线的斜率；
(3)若
是椭圆
经过原点
的弦，且
，判断
是否为定值？若是定值，
请求出，若不是定值，请说明理由．
5．（2023·天津南开·统考一模）已知
是椭圆
的两个焦点，
过
的直线交
于
两点，当垂直于
轴时，且
的面积是
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设椭圆
的左顶点为
，当不与
轴重合时，直线
交直线
于点
，若
直线
上存在另一点
，使
，求证：
三点共线.
6．（2023·天津·统考二模）已知椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，
离心率为
，且
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点
作斜率为
的直线与椭圆交于另一点
，
是
轴上一点，且满足
，若直线
的斜率为
，求直线
的方程.
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7．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知椭圆
的离心率
，短轴长为
，椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，点
在椭圆位
于
轴上方的部分．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线
与
轴交于点
，点
是
轴上一点，且满足
，直线
与椭
圆
交于点
．是否存在直线
，使得
的面积为
，若存在，求出直线
的
斜率，若不存在，说明理由．
8．（2023·天津南开·统考二模）已知椭圆
的离心率为
，左、
右顶点分别为A，
，上顶点为
，坐标原点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A 点作两条互相垂直的直线
，
与椭圆交于
，
两点，求
面积的最
大值.
9．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）在平面直角坐标系中，已知
，
分别是椭
圆C：
的左焦点和右焦点.
(1)设T 是椭圆C 上的任意一点，求
取值范围；
(2)设
，直线l 与椭圆C 交于B，D 两点，若
是以A 为直角顶点的等腰直
角三角形，求直线l 的方程.
10．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知椭圆
上右顶点到右焦点的距离为
，且右焦点到直线
的
距离等于短半轴的长.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设P（4，0），AB 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆
3
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C 于另一点E，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q；
(3)在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M、N 两点，求
的取值范
围.
11．（2023·天津·校联考模拟预测）已知椭圆
的右顶点为A，上顶
点为B，O 为坐标原点，椭圆内一点M 满足
，
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)椭圆上一点P 在第一象限，且满
，
与椭圆交于点Q，直线
交
的延长线于点D．若
的面积为
，求椭圆的标准方程．
12．（2023·天津河西·统考二模）已知椭圆
过点
，且离
心率为
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若直线l 与椭圆E 相切，过点
作直线l 的垂线，垂足为N，O 为坐标原点，证
明：
为定值.
13．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知椭圆
的左顶点
，且点
在椭圆上，
分别是椭圆的
左､右焦点.过点
作斜率为
的直线交椭圆
于另一点
，直线
交椭圆
于
点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
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(2)若
，求
的值.
14．（2023·天津·大港一中校联考一模）已知椭圆
的离心率为
，直线
与椭圆
相交于两点
、
，且
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，
、
为左、右焦点，连接
、
，
设
的角平分线
交椭圆
的长轴于点
，求
的取值范围．
15．（2023·天津·校联考一模）已知椭圆
：
的右焦点为点
，
、
分别为椭圆
的上、下顶点，若椭圆中心到直线
的距离为其短轴长的
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点
且斜率为
（
）的直线交椭圆
于另一点
（异于椭圆的右顶点），
交
轴于点
，直线
与直线
相交于点
，过点
且与
平行的直线截椭圆所
得弦长为
，求椭圆
的标准方程．
16．（2023·天津河西·天津实验中学校考模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为
、
，点
、
为椭圆上异于
、
的两点，
面积的最大值为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线
、
的斜率分别为
、
，且
．
①求证：直线
经过定点．
②设
和
的面积分别为
、
，求
的最大值．
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17．（2023·天津和平·统考二模）在平面直角坐标系
中，椭圆
的左、右焦点分别为
、
，椭圆与
轴正半轴的交点为点
，
且
为等腰直角三角形．
(1)求椭圆
的离心率；
(2)已知斜率为的直线与椭圆
相切于点
，点
在第二象限，过椭圆的右焦点
作
直线的垂线，垂足为点
，若
，求椭圆
的方程．
18．（2023·天津·校联考二模）已知椭圆
右焦点为
，已知椭圆
短轴长为4，离心率为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线
与椭圆相交于M、N 两点，线段MN 垂直平分线与直线及
轴和y 轴相交于点D、E、G，直线GF 与直线
相交于点
，记三角形EFG 与三
角形GDH 的面积分别为
，
，求
的值.
19．（2023·天津·校联考一模）已知椭圆
，若椭圆的短轴长为
且经过点
，过点
的直线交椭圆于P，Q 两点.
(1)求椭圆方程；
(2)求
面积的最大值，并求此时直线
的方程；
(3)若直线
与x 轴不垂直，在x 轴上是否存在点
使得
恒成立？
若存在，求出s 的值；若不存在，说明理由.
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20．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系
中，
已知椭圆
的长轴为4，过坐标原点的直线交
于
两点，若
分别为椭圆
的左右顶点，且直线
､
与直线
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点
在第一象限，
轴，垂足为
，连
并延长交
于点
，
（i）证明：
为直角三角形；
（ii）若
的面积为
，求直线
的斜率.
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