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专题06 三角函数的概念与公式
（十六大题型三大易错题）
【题型1 终边相同的角的表示】
1．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是（ ）
A．{α | 5π
6 +2k π≤α ≤(2k +1)π,k ∈Z}
B．
{α | 5π
6 + k π≤α ≤(k +1)π,k ∈Z}
C．{α |−7π
6 +2k π≤α ≤(2k −1)π,k ∈Z}
D．
{α |−π
6 +2k π≤α ≤2k π,k ∈Z}
2．与2021°终边相同的最小正角是 .
3．写出两个与−11
3 π终边相同的角 ．
【题型2 根据已知角确定某角的范围】
4．若α是第二象限角，则下列不等式正确的是（ ）
A．cos(−α )>0
B．tan α
2 >0
C．sin 2α >0
D．sin (−α )>0
5．已知点P(2cos10
∘,2sin10
∘)，Q(2cos130
∘,2sin130
∘)，则直线PQ的倾斜角为
1
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．
【题型3 等分角与倍角的象限问题】
6．已知角α第二象限角，且|cos α
2|=cos α
2
，则角α
2
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【题型4 扇形弧长与面积公式】
7．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2 的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（
）
A．13π
B．52
81 π
C．√15
50 π
D．3
5 π
8．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展
而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大
主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用
到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环
ABCD，如图（2），砖雕厚度为6cm，AD =80cm，´
CD =3 ´AB，´
CD所对的圆心角为直
角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：cm
2）（ ）
A．3200π
B．480π+960
C．6880π+960
D．3680π+960
9．最美数学老师手表上的时针长度是1 厘米，则时针4h（时）转出的扇形面积是
平方厘米．
10．用一个圆心角为120°，面积为3 π的扇形OMN（O为圆心）用成一个圆锥（点M , N
恰好重合），该圆锥顶点为P，底面圆的直径为AB，则cos∠APB的值为 ．
11．已知圆锥的底面半径为1，体积为2√2π
3
，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心
角为 ．
2
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【题型5 三角函数的定义及应用】
12．在平面直角坐标系xOy中，质点P在圆心为O半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位
置为P0(√2,−√2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知α ∈(0,2π)，且α终边上有点(cos 5π
7 ,−sin 5π
7 )
，则α =（ ）
A．2π
7
B．5π
7
C．9π
7
D．12π
7
【题型6 判断三角函数的符号】
14．已知α ∈(0, 7π
12 )
，且sin2α =−1
8
，则cos(α +π
4 )=（ ）
A．−3
4
B．3
4
C．9
16
D．−9
16
15．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在第三象限.则（ ）
A．sin α −cosα ≤tan α
B．sin α −cosα ≥tan α
C．sin α ⋅cosα <tan α
D．sin α ⋅cosα >tan α
16．若θ为第四象限角，则复数z =cosθ+isinθ（i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
17．已知角α (0°<α <360°)终边上A点坐标为(sin310° ,cos310°)，则α =（ ）
A．130°
B．140°
C．220°
D．230°
3
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【题型7 sina、cosa、tana 知一求】
18．已知sin(
3 π
2 +α)= √3
2
且π
2 <α <π，则tan α =（ ）
A．−√3
B．−√3
3
C．√3
3
D．3
19．若α为锐角，sinα = 4
5 ，则sin(α +π
3 )=（ ）
A．4 +3√3
10
B．4−3√3
10
C．3+ 4√3
10
D．3−4√3
10
【题型8 sina 与cosa 齐次式化弦为切】
20．已知tanα = 1
2
，则sin(α +π
2 )−cos(
3π
2 −α)
cos(−α )−sin(π−α )
=
（ ）
A．−1
B．1
C．−3
D．3
21．若tanα =2，则sin2α
cos2α −sin
2α
的值为（ ）
A．−4
7
B．2
3
C．4
9
D．4
7
22．已知tan(
5π
4 −α)=−1
3
，则sin2α =（ ）
A．4
5
B．−4
5
C．3
5
D．−3
5
23．已知tanθ =2，则sin2θ+
√2cos(θ−π
4 )
sinθ
=
（ ）
A．7
10
B．23
10
C．11
5
D．19
5
24．已知θ∈(0,π
2 )，tan(θ+π
4 )=−2
3 tanθ，
cos(θ+π
2 )cos2θ
√2sin(θ+π
4 )
=（ ）
4
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A．−1
2
B．−3
5
C．3
D．3
5
【题型9 sina±cosa、sinacosa 知一求】
25．已知a∈(0,π)，且sina+cosa= 1
5
，则tan2a=（ ）
A．12
7
B．−12
7
C．24
7
D．−24
7
【题型10 利用诱导公式进行化简求值】
26．已知cos(
π
4 −α)=3cos(α +π
4 )，则tan α =（ ）
A．2
B．1
2
C．3
D．1
3
27．计算：sin50
∘sin80
∘+cos50
∘sin170
∘=（ ）
A．√3
2
B．−√3
2
C．1
2
D．−1
2
28．已知cos(140°−α )=cos(200°+α )+sin (130°−α )，求tan α =（ ）
A．√3
3
B．−√3
3
C．√3
D．−√3
29．已知2cos(2 x +π
12)cos(x−π
12)−cos3 x = 1
4 ，则sin(
π
6 −2 x)=（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．7
8
D．−7
8
30．已知α是第四象限角，且sin2α =−2
3
，则cosα −sinα =（ ）
A．√21
7
B．√15
3
C．√2
D．−√7
3
【题型11 两角和与差的三角函数应用】
31．已知sinα +cosα = √6
3
，0<α <π，则sinα −cosα =（ ）
A．−2√3
3
B．2√3
3
C．−√3
3
D．√3
3
32．已知sin(α −β)=2cos(α + β),tan(α −β)= 1
2
，则tanα −tan β =（ ）
5
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A．3
5
B．5
3
C．4
5
D．6
5
33．已知cos(10°−α )=cos(50°−α )+cos(50°+α )，则tan α =（ ）
A．√3
3
B．−√3
3
C．√3
D．−√3
34．已知cos β −2sin β =2,sin α =2sin(α + β)，则tan(α + β)=（ ）
A．1
3
B．1
2
C．√5−1
2
D．√5+1
2
35．已知α ∈(0,π
2 ),cos(α +π
3 )=−5
13，则sinα =（ ）
A．12+5√3
26
B．12−5√3
26
C．12√3+5
26
D．12√3−5
26
36．已知cos(α +π
4 )= 3
5，且α ∈(0,π
4 )，则cos(
π
2 −α)= .
37．已知sin(θ+π
4 )= 1
4 ，θ∈(
π
2 ,π)，则cosθ = ．
【题型12 二倍角公式的简单应用】
38．已知θ∈(0,π )，cosθ =−3
5
，则sin2θ =（ ）
A．−12
25
B．−24
25
C．−4
5
D．4
5
39．已知sinα +cosα = 1
2
，则sin2α =（ ）
A．1
4
B．−1
4
C．3
4
D．−3
4
40．已知α ∈(0,π),sinα −cosα = 1
5
，则tan2α =（ ）
A．−4
3
B．4
3
C．−24
7
D．24
7
41．若sin α −cosα =√2，则tan α =（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．−2
42．已知sin2α =−4
5
，则
tan2α
tan(α +π
4 )
=（ ）
A．4
B．2
C．−2
D．−4
6
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43．已知α ∈(0,π
3 )，且2sin2α = 4cosα −3cos
3α，则cos2α =（ ）
A．2
9
B．1
3
C．7
9
D．2√2
3
【题型13 辅助角公式的基本应用】
44．已知函数f (x)=sinωx −cosωx (ω>0, x∈R)在区间(
π
2 , 3π
2 )
内没有零点，则
f (x)周期的最小值是（ ）
A．12π
B．2π
C．12π
5
D．4π
45．已知函数f (x)=3sin x +cos x的图象向左平移φ个单位长度得到
g(x)=√2sin x +2√2cos x的图象，则cosφ = ．
【题型14 给值求值问题】
46．已知3cosθ =√2sin(θ+π
4 )，则1−2sin
2θ
1−sin 2θ =（ ）
A．−4
B．−1
4
C．−1
3
D．−3
47．若sinα cosα
sinα +cosα +1 =−1
5
，则sin2α =（ ）
A．16
25
B．−16
25
C．9
25
D．−9
25
48．已知sin(α + π
6)= 4
5
，则sin(2α −π
6)=（ ）
A．24
25
B．−24
25
C．7
25
D．−7
25
49．若cos(α −3π
2 )=−2
3
，则sin(−2α −3π
2 )=（ ）
A．−1
9
B．1
9
C．√5
3
D．2
3
7
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50．已知tan(α +π
6 )= 1
2
，则cos(2α −2π
3 )=（ ）
A．−3
5
B．3
4
C．−4
5
D．4
5
51．已知cos(α −π
3 )−cosα = √3
2 ，则sin(2α +π
6 )=（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．−3
4
D．3
4
【题型15 给值求角问题】
52．设tan α，tan β是方程x
2+3√3 x + 4 =0的两根，且α , β ∈(−π
2 ,π
2 )，则α + β =
（ ）．
A．π
3
B．−2π
3
C．π
3
或−2π
3
D．2π
3
【题型16 三角恒等变换化简求值】
53．下列各式中，正确的是（ ）
A．tan22.5
∘
1−tan
222.5
∘=1
B．√1−sin30
∘= 1
2
C．cos15
∘⋅sin15
∘= 1
4
D．sin
275
∘−cos
275
∘= 1
2
54．如图，四边形ABCD中，AB =2 AD = 4，BD = BC，∠DBC =π
2
，∠DAB =θ，
sinθ+cosθ = √7
4
.
(1)求△ABD的面积；
(2)求线段AC的长度.
8
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55．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c sin2B−bsinC =0．
(1)求角B；
(2)若2b
2=2c
2+ac，求a+b
c
的值．
56．在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知(a−b)cosC =sin(C −B)，且
△ABC外接圆的面积为π．
(1)求C．
(2)若A −B =π
2
，求△ABC的面积．
57．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且bsin 2C =c sin B．
(1)求sinC；
(2)若c =2，△ABC的面积为√3，求证：△ABC是正三角形．
58．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且b=3，c =1，a=6cos B.
(1)求a 的值：
(2)求证：A =2B；
(3)cos2(B−π
12)的值
59．已知函数f ( x)=√3sin x +2cos
2 x
2
．在△ABC中，f ( A )= f (B)，且a≠b．
(1)求∠C的大小；
(2)若c =5，且△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．
9
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【易错点1 三角函数值的符号】
1．sin3+cos3 的值所在的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错点2 两角和与差的三角函数】
2．若tan（
）＝﹣
，则cos2α+2sin2α＝（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．求值：tan20°+tan40°+
tan20°tan40°＝ ．
【易错点3 二倍角的三角函数】
4．若sin（
﹣α）＝
，则cos（
+2α）等于（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
5．cos75°•cos15°＝ ．
10
