期末复习(五) 不等式与不等式组
考点一 一元一次不等式的解法
【例1】解不等式
-
≤1,并把它的解集在数轴上表示出来.
【分析】解不等式一般会涉及去括号和去分母,去括号时应注意去括号法则的正确使用,去分
母时应注意每一项都要乘最简公分母.
【解答】去分母，得2(2x-1)-3(5x+1)≤6.
去括号，得4x-2-15x-3≤6.
移项，合并同类项得-11x≤11.
系数化为1，得x≥-1.
这个不等式的解集在数轴上表示为：
【方法归纳】直接按一元一次不等式的解法步骤先解出其解集,然后将解集在数轴上表示出来.
同时,要注意在数轴上表示不等式的解集时区分实心点与空心圆圈.
1.在数轴上表示不等式x+5≥1 的解集，正确的是( )
2.解不等式1-
≥
，并把它的解集在数轴上表示出来.
考点二 一元一次不等式组的解法
【例2】求不等式组：
的整数解.
【分析】先分别解不等式组里的每一个不等式,再取各解集的公共部分,然后取整数解.
【解答】解不等式①,得x＜5.
解不等式②,得x≥-2.
原不等式组的解集为-2≤x＜5.
因此,原不等式组的整数解为：-2,-1,0,1,2,3,4.
【方法归纳】不等式(组)的特殊解在某些范围内是有限的,如整数解、非负整数解等,要求这些
特殊解,要先确定不等式(组)的解集.
3.解不等式组
并写出它的所有的整数解.
考点三 由不等式(组)解的情况，求不等式(组)中字母的取值范围
【例3】(1)若不等式组
无解，则m 的取值范围是__________.
(2)已知关于x 的不等式组
的整数解共有6 个，则a 的取值范围是__________.
【分析】(1)由不等式组的解集，来确定字母m 的取值范围.因为原不等式组无解，所以可得到：
m+1≤2m-1，解这个关于m 的不等式即可；
(2)由已知结论探求字母的取值范围，要先求出不等式组的解集，再来确定字母a 的取值范
围.不等式组的解集为
a＜x＜
，则6 个整数解为：1，0，-1，-2，-3，-4，故-5≤a＜-4.
【解答】(1)m≥2；(2)-5≤a＜-4.
【方法归纳】解决这类问题的思路一般是逆用不等式(组)的解集，借助不等式(组)解集的特点，
构造出不等式(组)来求出字母的取值范围.
4.若关于x 的不等式组
有解，则实数a 的取值范围是__________.
5.已知关于x 的不等式组
只有四个整数解,则实数a 的取值范围是__________.
考点四 不等式的实际应用
【例4】小宏准备用50 元钱买甲、乙两种饮料共10 瓶，已知甲饮料每瓶7 元，乙饮料每瓶4 元，
则小宏最多能买多少瓶甲饮料？
【分析】先设小宏买了x 瓶甲饮料，则买了（10-x）瓶乙饮料，由买甲饮料的总费用+买乙饮料
的总费用小于或等于50 元列不等式求解，x 取最大整数即满足题意.
【解答】设小宏买了x 瓶甲饮料，则买了（10-x）瓶乙饮料，根据题意，得
7x+4(10-x)≤50.解得x≤
.
由于饮料的瓶数必须为整数，所以x 的最大值为3.
答：小宏最多能买3 瓶甲饮料.
【方法归纳】列不等式解决实际问题时，解法与列一元一次方程解决实际问题的步骤相同，在
列不等式解决实际问题时，设未知数时不能出现“至多、最少、最低”等表示不等关系的词
语，但在问题的答中要出现这些表示不等关系的词语.
6.天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办
法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10 000 元，再对每户收费500 元.某小区住户按这
种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1 000 元，则这个小区的住户至少有多少
户？
复习测试
一、选择题(每小题3 分,共30 分)
1.如果不等式ax＜b 的解集是x＜
，那么a 的取值范围是( )
A.a≥0 B.a≤0 C.a＞0 D.a＜0
2.若0<a<1，则下列四个不等式中正确的是( )
A.a<1<
B.a<
<1 C.
<a<1 D.1<
<a
3.(2013·吉林)不等式2x-1>3 的解集是( )
A.x>1 B.x<1 C.x>2 D.x<2
4.(2013·广州)不等式组
的解集是( )
A.-2 ＜x<4 B.x<4 或x≥-2 C.-2≤x<4
D.-2<x≤4
5.不等式组
的解集在数轴上表示为( )
6.已知点M(3a-9，1-a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知x=3 是关于x 的不等式3x-
>
的解，则a 的取值范围( )
A.a<4 B.a<2 C.a>-2
D.a>-4
8.某次知识竞赛共有20 道题，每一题答对得10 分，答错或不答都扣5 分.娜娜得分要超过90
分，设她答对了x 道题，则根据题意可列不等式为( )
A.10x-5(20-x)≥90 B.10x-5(20-x)＞90
C.10x-(20-x)≥90 D.10x-(20-x)＞90
9.适合不等式组
的全部整数解的和是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.若不等式组
无解，则a 的取值范围是( )
A.a≤-1 B.a≥-1 C.a<-1 D.a>-1
二、填空题(每小题4 分,共20 分)
11.请你写出满足不等式3x+1≥-8 的负整数x 的值：__________.
12.一罐饮料净重500 克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少
为__________克.
13.不等式组
的解集是__________.
14.若不等式组
的解集是-1<x<1，则(a+b)2 015=__________.
15.某班级从文化用品市场购买签字笔和圆珠笔共15 支,所付金额不超过27 元.已知签字笔每
支2 元,圆珠笔每支1.5 元,则最多购买签字笔__________支.
三、解答题(共50 分)
16.(10 分)解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1）2x-3<
; （2）
-2x>3.
17.(8 分)解不等式组
并把解集在数轴上表示出来.
18.(8 分)某公园出售的一次性使用门票，每张10 元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个
人年票”的售票活动(从购买日起，可供持票者使用一年).年票分A、B 两类：A 类年票每张
100 元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B 类年票每张50 元，持票者进入公园时需再
购买每次2 元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A 类年票最合算？
19.(12 分)当m 在什么范围内取值时，关于x 的方程（m-2）x+2=1-m(4-x):
(1)有正数解；
(2)有负数解；
（3）有不大于2 的解.
20.(12 分)为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民
“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17 吨及以下
a
0.80
超过17 吨但不超过30 吨的部分
b
0.80
超过30 吨的部分
6.00
0.80
(说明：①每户产生的污水量等于该户用水量;②水费=自来水费用+污水处理费)
已知小王家2012 年4 月份用水20 吨,交水费66 元;5 月份用水25 吨,交水费91 元.
(1)求a,b 的值;
(2)随着夏天的到来,用水量将增加.为了节省开支,小王计划把6 月份的水费控制在不超过
家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9 200 元,则小王家6 月份最多能用水多少吨？
参考答案
变式练习
1.B
2.去分母，得6-2(x-2)≥3(x+1).
去括号，得6-2x+4≥3x+3.
移项，得-2x-3x≥3-6-4.
合并同类项，得-5x≥-7.
化系数为1，得x≤
.
这个不等式的解集在数轴上表示为：
3.解不等式①，得x≥1.
解不等式②，得x＜4.
∴原不等式组的解集是1≤x＜4.
∴原不等式组的所有的整数解是1，2，3.
4.a>4 5.-3<a≤-2
6.设这个小区的住户数为x 户，由题意，得
1 000x>10 000+500x.解得x>20.
由于住户数必须是整数，所以x 的最小值为21.
答：这个小区的住户数至少有21 户.
复习测试
1.C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.B 10.A
11.-1,-2,-3 12.2 13.-5＜x＜-2 14.-1 15.9
16.(1)去分母，得3(2x-3)<x+1.
去括号，得6x-9<x+1.
移项，合并同类项，得5x<10.
系数化为1，得x<2.
其解集在数轴上表示为：
(2)去分母，得5x-1-6x>9.
移项，合并同类项，得-x>10.
系数化为1，得x<-10.
其解集在数轴表示为：
17.解不等式①，得x≤3.
解不等式②，得x>-1.
所以不等式组的解集为-1<x≤3.
将解集在数轴上表示出来为
18.设某游客一年中进入该公园x 次，依题意得不等式组
∴不等式组的解集是x＞25.
答：某游客一年中进入该公园至少要超过25 次时，购买A 类年票最合算.
19.解方程，得x=
.
(1)方程有正数解，则
>0.解得m>-
.
(2)方程有负数解，则
<0.解得m<-
.
(3)方程有不大于2 的解，则
≤2.解得m≤
.
20.(1)由题意,得
解得
答：a 的值为2.2，b 的值为4.2.
(2)当用水量为30 吨时,水费为：17×3+13×5=116(元).
∵9 200×2%=184(元),116<184,
∴小王家6 月份的用水量可以超过30 吨.
设小王家6 月份用水量为x 吨,由题意,得
17×3+13×5+6.8(x-30)≤184.解得x≤40.
答：小王家6 月份最多能用水40 吨.
