北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.5 抛物线
基础篇
【基础集训】
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,若F到直线y=√3x的距离为√3,则p为 ( )
A.2 B.4 C.2√3 D.4√3
答案 B
2.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d,则d+d 的最小值为 (
1 2 1 2
)
A.3 B.4 C.√5 D.√7
答案 A
3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,△ABC三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若
BC边所在直线的方程为x+4y-20=0,则抛物线的方程为( )
A.y2=16x B.y2=8x
C.x2=16y D.x2=8y
答案 C
4.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4√3,则抛
物线方程为 ( )
15
A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2= x
2
答案 B
5.已知抛物线C:y=mx2(m∈R,m≠0)过点P(-1,4),则抛物线C的准线方程为 .
1
答案 y=-
16
6.抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为
.
答案 13
7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,若△FPM是边长为6
的等边三角形,则此抛物线的方程为 .
答案 y2=6x
考点二 抛物线的几何性质
8.已知点F是抛物线y2=2x的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=4,则线段MN中点的横坐标为 (
)
3 5
A. B.2 C. D.3
2 2
答案 A
9.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4√2x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4√2,则△POF的面积为 ( )
A.2 B.2√2 C.2√3 D.4
答案 C
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5
10.抛物线x2=y的焦点F的坐标为 ,若该抛物线上有一点P满足|PF|= ,且P在第一象限,则点P的
4
坐标为 .
答案 ( 1);(1,1)
0,
4
考点三 直线与抛物线的位置关系
11.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则
直线BF的斜率为 ( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 3
答案 D
12.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,⃗OA·⃗OB=2(其中O为坐标原点),则
△ABO与△AFO面积之和的最小值是 ( )
17√2
A.2 B.3 C. D.√10
8
答案 B
13.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点
P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .
答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.(2017辽宁鞍山铁东四模,7)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横
坐标为3,|PQ|=10,则抛物线的方程是 ( )
A.y2=4x B.y2=2x C.y2=8x D.y2=6x
答案 C 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x,y),Q(x,y),
1 1 2 2
p p
∴|PQ|=|PF|+|QF|=x+ +x+ =x+x+p,
1 2 1 2
2 2
∵线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,
∴10=6+p,得p=4,
∴抛物线方程为y2=8x,故选C.
2.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p
的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D 抛物线C:y2=2px的焦点为F(p ,0 ),设M( y 1 2 ,y ),由中点坐标公式可知 p + y 1 2
2 2p 1 2 2p
=2×2,y=2×2,解得p=4,故选D.
1
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x2 y2
3.(2018江苏南京、盐城高三一模,6)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线 - =1的右焦点重合,则实数p
4 5
的值为 .
答案 6
p
解析 c2=4+5=9,故双曲线的右焦点为(3,0),所以 =3,解得p=6.
2
考点二 抛物线的几何性质
1.(2019云南曲靖一中1月月考,10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,
O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
3√3 9√3 63 9
A. B. C. D.
4 8 32 4
p2 3 9
答案 D 解法一:由公式得S = ,其中θ=30°,p= ,所以S = ,选D.
△AOB 2sinθ 2 △AOB 4
解法二:易知直线AB的方程为y=√3(
x-
3),与y2=3x联立并消去x得4y2-12
√3
y-9=0.设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
3 4
9 1 1 3 9
y+y=3√3,yy=- .S = |OF|·|y-y|= × √(y + y )2-4 y y = .故选D.
1 2 1 2 4 △OAB 2 1 2 2 4 1 2 1 2 4
2.(2019广东佛山一中高三期中,5)已知正六边形ABCDEF的边长是2,一条抛物线恰好经过该正六边形相邻
的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 ( )
√3 √3
A. B. C.√3 D.2√3
4 2
答案 B 如图所示,
x轴过正六边形的中心O',且平分其一组对边,
设B(x,1),则A(x+√3,2),
0 0
{ 1=2px ,
设抛物线方程为y2=2px,p>0,则 0
4=2p(x +√3),
0
√3 √3
解得p= ,因此焦点到准线距离为 ,故选B.
2 2
3.(2020北师大附中期中,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上一点,且
满足|MN|=2|NF|,则∠NMF= .
π
答案
3
解析 本题考查抛物线的定义,考查学生运用数形结合的思想方法分析问题与解决问题的能力,体现直观想
象与数学运算的核心素养.
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过点N作NH⊥准线l,垂足为H,由抛物线的定义可得|NF|=|NH|,在直角三角形NMH中,由|MN|=2|NH|,可得
|NH| 1 π
cos∠MNH= = ,故∠NMF=∠MNH= .
|MN| 2 3
综合篇
【综合集训】
考法一 求与抛物线定义有关问题的方法
1.(2019湖南岳阳二模,4)过抛物线x2=4y的焦点F作直线,交抛物线于P(x,y),P(x,y)两点,若y+y=6,则|PP|
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
=( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案 C
2.(2020山东滨州三模,7)已知抛物线C:y2=4x与圆E:(x-1)2+y2=9相交于A,B两点,点M为劣弧 ⏜ 上不同A,B
AB
的一个动点,平行于x轴的直线MN交抛物线于点N,则△MNE的周长的取值范围为( )
A.(3,5) B.(5,7) C.(6,8) D.(6,8]
答案 C
3.(2019吉林第三次调研测试,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF
上,则△PAF周长取最小值时,线段PF的长为 ( )
13 21
A.1 B. C.5 D.
4 4
答案 B
4.(多选题)(2020山东聊城二模,10)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(1,1),则下列结论正确的是 ( )
3
A.点P到抛物线焦点的距离为
2
5
B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则△OPQ的面积为
32
C.过点P与抛物线相切的直线方程为x-2y+1=0
D.过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M,N点,则直线MN的斜率为定值
答案 BCD
考法二 抛物线焦点弦问题的求解方法
5.(2020山东临沂、枣庄临考演练,6)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F的直线与抛物线交于A,B两点,
AB的中点为C,过C作抛物线准线的垂线,交准线于C,若CC 的中点为M(1,4),则p= ( )
1 1
A.4 B.8 C.4√2 D.8√2
答案 B
6.(多选题)(2020山东威海三模,11)已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x,y),B(1,2),C(x,y),F为抛物线的焦点,则
1 1 2 2
( )
A.抛物线的准线方程为x=-1
B.若 + + =0,则 , , 成等差数列
⃗FA ⃗FB ⃗FC |⃗FA||⃗FB||⃗FC|
C.若A,F,C三点共线,则yy=-1
1 2
D.若|AC|=6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2
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答案 ABD
7.(2020山东仿真联考2,14)已知抛物线y2=2px(p>0)与直线l:4x-3y-2p=0在第一、四象限分别交于A,B两点,F
是抛物线的焦点,若|⃗AF|=λ|⃗FB|,则λ= .
答案 4
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 求与抛物线定义有关问题的方法
1.(2019江苏盐城中学月考)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线与抛物线C:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,C 的焦
1 2 1
点为F,若△FAB的面积等于1,则C 的方程是 .
1
答案 x2=2y
解析 由题意得F(
0,
p),不妨设A(
p,-
p),B(
-p,-
p),所以S
△FAB
=1·2p·p=1,则p=1,即抛物线C
1
的
2 2 2 2
方程是x2=2y.
2.(2016江苏扬州中学月考,12)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,
并且△ABC的重心是抛物线的焦点,BC边所在的直线方程为4x+y-20=0,则抛物线的方程为 .
答案 y2=16x
解析 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由{4x+ y-20=0, 可得2y2+py-20p=0,设B(x,y),C(x,y),则y+y=-
1 1 2 2 1 2
y2=2px
p,故x
1
+x
2
=5-y
1
+5-y
2
=10-1(y
1
+y
2
)=10+p.设A(x
3
,y
3
),由三角形重心为F(p
,0
),可得x
1
+x
2
+x
3
=p,
2 4 4 4 8 2 3 2
y + y + y 11p p
1 2 3=0,所以x= -10,y= ,
3 3 8 3 2
因为A在抛物线上,所以(p) 2 =2p(11 ),从而p=8,所以所求抛物线方程为y2=16x.
p-10
2 8
第5页共5页
