北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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9.5 圆锥曲线的综合问题
考法1 求轨迹方程
1.(2023新课标Ⅰ,22,12分,难)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点
( 1)的距离,记动点P的轨迹为W.
0,
2
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3√3.
解析 (1)设P(x,y),由题意可得√ (x−0) 2+ ( y− 1) 2 =|y|,整理得x2-y+1=0,因此W的方
2 4
1
程为y=x2+ .
4
(2)证明:不妨设A,B,C三点在W上,如图所示.
设 B(
x ,x2+
1),A(
x ,x2+
1),C(
x ,x2+
1),AB 的斜率为 k,则直线 BC 的斜率为-1
0 0 4 1 1 4 2 2 4 k
(k≠0),
直线AB,BC的方程分别为y-(
x2+
1)=k(x-x
0
),y-(
x2+
1)=-1(x-x
0
),即直线AB,BC的方
0 4 0 4 k
1 x x 1
程分别为y=kx-kx +x2+ ,y=- + 0+x2+ ,
0 0 4 k k 0 4
1
{ y=x2+ ,
联立直线AB与抛物线W的方程可得 4 消去y得x2-kx+kx - =0,
0 x2
1 0
y=kx−kx +x2+ ,
0 0 4北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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则Δ=k2-4kx +4 =(k-2x )2>0,k≠2x .
0 x2 0 0
0
由根与系数的关系得x +x =k,x ·x =kx - ,
0 1 0 1 0 x2
0
∴|AB|= ·|x -x |= · = |k-2x |.
√1+k2 1 0 √1+k2 √(x +x ) 2−4x x √1+k2 0
0 1 0 1
同理,联立直线BC与抛物线W的方程,并消去y得x2+1x-1x 0 - x2=0,且|BC|=√ 1+ ( − 1) 2
k k 0 k
·|x 2 -x 0 |=√ 1+ ( − 1) 2·| − 1 −2x |=√ 1+ 1 |1 +2x |,
k k 0 k2 k 0
∴|AB|+|BC|= |k-2x |+√ 1 |1 |.
√1+k2 0 1+ +2x
k2 k 0
由对称性不妨设0<|k|≤1,
则√ 1 =√1+k2 ≥ (当|k|=1时取“=”),
1+ √1+k2
k2 |k|
∴ |AB|+|BC|≥√1+k2 (
|k−2x |+
|1
+2x
|)>√1+k2 |
k+
1|=√(k2+1) 3 , 令 t=k2, 则
0 k 0 k k2
t∈(0,1],
则√(k2+1) 3 =√(t+1) 3,令g(t)=(t+1) 3 ,t∈(0,1],
k2 t t
则g'(t)=3(t+1) 2t−(t+1) 3 =(t+1) 2·(2t−1),
t2 t2
1 1
当0<t< 时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当 <t≤1时,g'(t)>0,g(t)单调递增,
2 2
∴g(t)在t=1处取得极小值,即最小值,为g(1)=27,
2 2 4北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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∴|AB|+|BC|> ≥√ (1)=3√3.
√g(t) g
2 2
∴矩形的周长=2(|AB|+|BC|)>3√3.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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2.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F(-√17,0),F(√17,0),点M满足|MF|-|
1 2 1
MF|=2.记M的轨迹为C.
2
(1)求C的方程;
1
(2)设点T在直线x= 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线
2
AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解析 √17 √17
(1)由题意知|FF|=2 ,因为|MF|-|MF|=2<|FF|=2 ,所以结合双曲线定义知,点M的轨迹
1 2 1 2 1 2
C是以F、F 为焦点的双曲线的右支.
1 2
设其方程为x2 y2
=1(a>0,b>0,x≥a),则2a=2,2c=2 ,
− √17
a2 b2
解得a=1,c=√17,则b2=c2-a2=(√17)2-12=16,
y2
所以M的轨迹C的方程为x2- =1(x≥1).
16
{ ( 1)
y=k x− +m,
(2)如图,设T(1 ,m ),直线AB的方程为y-m=k 1 ( x− 1),由 1 2 得(16-k2)x2+( k2
2 2 y2 1 1
x2− =1(x≥1),
16
1
-2km)x- k2 +km-m2-16=0,
1 4 1 1
设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
1
则x 1 +x 2 = k 1 2−2k 1 m,x 1 x 2 = 4 k 1 2+m2−k 1 m+16 ,
k2−16
1 k2−16
1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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则|TA|= √1+k2(
x −
1),|TB|= √1+k2(
x −
1),
1 1 2 1 2 2
所以|TA|·|TB|=(1+ k2 ) ( x − 1)( x − 1) =
(m2+12)(1+k
1
2
) .
1 1 2 2 2 k2−16
1
设直线PQ的方程为y-m=k 2(
x−
1),
2
(m2+12)(1+k2
)
同理得|TP|·|TQ|= 2 ,
k2−16
2
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
(m2+12)(1+k2
)
(m2+12)(1+k2
)
所以 1 = 2 ,
k2−16 k2−16
1 2
1+k2 1+k2
所以 1 = 2 ,即 k2=k2,由题意知k 1 ≠k 2 ,所以k 1 +k 2 =0,
k2−16 k2−16 1 2
1 2
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
一题多解 (2)设T(1
,m
),直线AB的倾斜角为θ
1
,直线PQ的倾斜角为θ
2
,由题不妨设
2
⃗AB ⃗AB ,t>0,t>0,
⃗TA=t1· ,⃗TB=t2· 1 2
|⃗AB| |⃗AB|
则|⃗TA|=t,|⃗TB|=t.
1 2
设A(x,y),因为
⃗TA=t1·
⃗AB ,所以(
x−
1
,y−m
)=t
1
(cos θ
1
,sin θ
1
),所以x=1+t
1
cos θ
1
,y=m+t
1
sin
|⃗AB| 2 2
θ,
1
又因为点A在双曲线上,
所以16(1 +t cos θ ) 2 -(m+t 1 sin θ 1 )2=16,即(16cos2θ 1 -sin2θ 1 ) t2 +(16cos θ 1 -2msin θ 1 )t 1 -(m2+12)=0.
2 1 1 1
同理可得(16cos2θ-sin2θ) +(16cos θ-2msin θ)t-(m2+12)=0.
1 1 t2 1 1 2
2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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所以t,t 即为方程(16cos2θ-sin2θ)t2+(16cos θ-2msin θ)t-(m2+12)=0的两个根,
1 2 1 1 1 1
则|TA|·|TB|=tt=
−(m2+12)
,
12
16cos2θ −sin2θ
1 1
同理|TP|·|TQ|=
−(m2+12)
,
16cos2θ −sin2θ
2 2
结合|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得cos2θ=cos2θ,
1 2
又因为AB与PQ是不同直线,
所以cos θ=-cos θ,于是θ+θ=π,则k +k =0,
1 2 1 2 AB PQ
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
易错警示 解答本题第一问时,容易出现所求C的方程为x2-
y2
=1的错误结果,从而致使第二问直接做错.
16
3.(2016课标Ⅲ,理20,文20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l,l 分别交C于
1 2
A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
解析 由题设知F(1
,0
).设l
1
:y=a,l
2
:y=b,则ab≠0,
2
且A(a2 ),B(b2 ),P( 1 ),Q( 1 ),R( 1 a+b).
,a ,b − ,a − ,b − ,
2 2 2 2 2 2
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)
(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k,FQ的斜率为k,则
1 2
a−b a−b 1 −ab
k= = = = =-b=k.
1 1+a2 a2−ab a a 2
所以AR∥FQ.(5分)
(2)设l与x轴的交点为D(x,0),则S =1|b-a||FD|=1|b-a|| 1|,S =|a−b|.
1 △ABF x − △PQF
2 2 1 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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由题设可得2×1|b-a|| 1|=|a−b|,
x −
2 1 2 2
所以x=0(舍去),或x=1.(8分)
1 1
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
2 y
当AB与x轴不垂直时,由k =k 可得 = (x≠1).
AB DE a+b x−1
a+b
而 =y,所以y2=x-1(x≠1).
2
当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)
疑难突破 第(1)问求解关键是把AR∥FQ的证明转化为k =k 的证明;第(2)问需找到AB中点所满足的几
AR FQ
何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.
评析 本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类讨论思想的应用,
考查考生对基础知识和基本技能的应用能力.
4.(2014广东理,20,14分)已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0)的一个焦点为( ,0),离心率为√5.
√5
a2 b2 3
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
0 0
c √5
解析 (1)由题意知c=√5,e= = ,
a 3
∴a=3,b2=a2-c2=4,
x2 y2
故椭圆C的标准方程为 + =1.
9 4
(2)设两切线为l,l,
1 2
①当l⊥x轴或l∥x轴时,l∥x轴或l⊥x轴,可知P(±3,±2).
1 1 2 2
1
②当l 与x轴不垂直且不平行时,x≠±3,设l 的斜率为k,且k≠0,则l 的斜率为- ,l 的方程为y-y=k(x-x),与
1 0 1 2 1 0 0
k
x2 y2
+ =1联立,
9 4
整理得(9k2+4)x2+18(y-kx)kx+9(y-kx)2-36=0,
0 0 0 0
∵直线l 与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y-kx)2k2-(9k2+4)·[(y-kx)2-4]=0,
1 0 0 0 0
∴(
x2
-9)k2-2x
0
y
0
k+
y2
-4=0,
0 0
