2025二轮复习专项训练19
空间向量与空间角
[考情分析] 高考必考内容，常以空间几何体为载体考查空间角，是高考命题的重点，常
与空间线、面关系的证明相结合，热点为平面与平面的夹角的求解，均以解答题的形式进
行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．题目难度为中档题．
【练前疑难讲解】
一、异面直线所成的角
(1)设直线l，m的方向向量分别为a＝(a ，b ，c)，b＝(a ，b ，c)，设l，m的夹角为θ，
1 1 1 2 2 2
则cos θ＝＝.
(2)异面直线所成的角的范围为.
二、直线与平面所成的角
(1)设直线l的方向向量为a＝(a ，b ，c)，平面α的法向量为μ＝(a ，b ，c)，设直线l与
1 1 1 2 2 2
平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝.
(2)线面角的范围为.
三、平面与平面的夹角
(1)设平面α，β的法向量分别为μ＝(a，b，c)，v＝(a，b，c)，且平面α与平面β的夹
3 3 3 4 4 4
角为θ，
则cos θ＝|cos〈μ，v〉|＝.
(2)平面与平面的夹角的取值范围为.
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形 ， ，将 沿对角线 折
起，使以 四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线 与 所成角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭
建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市
民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.
已知 和 是圆 的两条互相垂直的直径，将平面 沿 翻折至平面 ，使得
平面 平面 （如图2）此时直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形AEFC中， ，EF=4，B为EF中点，现分
别沿AB、BC将 ABE、 BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-
ABC，则（ ）△ △
A．三棱锥 的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥 外接球的半径为
4．（22-23高二上·山东德州·期中）如图，已知正方体 的棱长为 ，点
分别为棱 的中点， ，则（ ）A．无论 取何值，三棱锥 的体积始终为
B．若 ，则
C．点 到平面 的距离为
D．若异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．则
三、填空题
5．（2024·上海·高考真题）已知四棱柱 底面ABCD为平行四边形，
且 ，则异面直线 与BD的夹角余弦值为 .
6．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体 中，动点 ， 分别在
棱 ， 上，且满足 ，当 的体积最小时， 与平面 所成角的
正弦值是 ．四、解答题
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
， ， ， ，点 ， 分别为 和 的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
8．（2021·全国·高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C B BD AB1．C
【分析】当三棱锥 的体积最大时，平面 平面 ，以E为原点，
分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量 的坐标，根据
向量夹角的坐标表示可解.
【详解】记 的 中点分别为 ，因为 ，所以 ，
同理， ，记 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
易知，当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，此时 ，
以E为原点， 分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
所以 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：C
2．B
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.
【详解】依题意， ，而平面 平面 ，平面 平面
，又 平面 平面 ，则 平面 ， ，
因此直线 两两垂直，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间
直角坐标系，
令圆半径 ，则 ，
，设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：B
3．BD
【分析】证明 平面 ，再根据 即可判断A；先利用余弦定理求出
，将 用 表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点 到
平面 的距离 ，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 即可判断C；利用正
弦定理求出 的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.
【详解】由题意可得 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，在 中， ， 边上的高为 ，
所以 ，故A错误；
对于B，在 中， ，
⃗PA⋅⃗BC ⃗PA⋅(⃗PC-⃗PB) ⃗PA⋅⃗PC-⃗PA⋅⃗PB
cos⟨⃗PA,⃗BC⟩= = =
|⃗PA||⃗BC| 2❑√3×4 8❑√3
1
2❑√3×2❑√3×
3 ❑√3，
= =
8❑√3 6
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为 ，故B正确；
对于C， ，
设点 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 ，故C错误；
由B选项知， ，则 ，
所以 的外接圆的半径 ，
设三棱锥 外接球的半径为 ，
又因为 平面 ，
则 ，所以 ，即三棱锥 外接球的半径为 ，故D正确.
故选：BD.
4．AB
【分析】对于A，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；
对于B，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求解；
对于C，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面 的法向量，
再利用点到平面的距离公式即可求解；
对于D，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线 与 的方向
向量，再利用向量的夹角与线线角的关系即可求解；
【详解】对于A，因为正方体 的棱长为 ，点 分别为棱 的中
点,
所以 ,
在正方体 中， 平面 ，
由等体积法知， = = ，
三棱锥 三棱锥
所以无论 取何值，三棱锥 的体积始终为 ，故A正确；
对于B,由题意可知，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示
因为正方体 的棱长为 ，
所以 ， ， ， ， ,由 ，得 ，设 ，则
所以 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，由B选项建立的空间直角坐标系知， ， ， ，
设 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
,即 ，令 则 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
由于 无法确定，所以点 到平面 的距离无法确定，故C错误；对于D,由B选项建立的空间直角坐标系知， ， ， , ，
， ,
设 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
因为异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，则
，即 ，解得 或 （舍），
故D错误.
故选：AB.
5．
【分析】将 用不共面的向量 表示出来，从而得到
，然后由公式计算夹角余弦值即可.
【详解】 ，
，
，
底面ABCD为平行四边形，所以 ，
所以 ，
.所以 ，
故异面直线 与BD的夹角的余弦值为: ，
故答案为：
6．
【分析】设 ，结合等积法，可求出当 的体积最小时， ， 分别
是所在棱的中点；法一，根据 ，可求出点 到平面 的距离为 ，结
合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.
【详解】设 ，则
．
由等体积法，得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以当 的体积最小时， ， 分别是所在棱的中点．
方法一 易知 ， ， ．由余弦定理，得
，所以 ，
所以 ．
设点 到平面 的距离为 ．根据 ，
得 ，解得 ．所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
方法二 以点 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ．
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 即 令 ，得 ， ，
则 ．设 与平面 所成的角为 ，
则 ．
故答案为：
7．(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，通过证明 平面 ，再由线面垂直的性质定理即
可得到结果.
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ,
由 ，易知 为等腰直角三角形，
此时 ，又 ，所以 .
因为 ,所以 ，由 ，即 ，所以 ，
此时， ,有 四点共面， ,
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
（2）由 且 ,所以 平面 .
由 ，得 为等边三角形，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴，过 且与平面 垂直的直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
,
设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)
由 ,即 ，取 ， ，
又 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
8．（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证 平面 ，从而得到面
面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，建如图所示的空间坐
标系，求出平面 、平面 的法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】
（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ， ，则 ，
而 ，故 .
在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，
结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.则 ，故 .
设平面 的法向量 ，
则 即 ，取 ，则 ，
故 .
而平面 的法向量为 ，故 .
二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .
【基础保分训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·山东枣庄·期末）如图，直四棱柱 的底面为平行四边形，
分别为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)若底面 为矩形， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求
到平面 的距离.
2．（2024·天津·二模）如图， 平面 ， ， ， ，
， 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)设 是棱 上的点，若 与 所成角的余弦值为 ，求 的长．
3．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，
是侧棱 的中点，侧面 为正三角形，侧面 底面 ．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
4．（2024·天津河东·一模）在正方体 中（如图所示），边长为2，连接(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)底面正方形 的内切圆上是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ，
若存在求 长度，若不存在说明理由．
5．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱 中，
为 的中点，点 分别在棱 和棱 上，且
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；(3)求点 到平面 的距离．
6．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ，点 在棱 上，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)当二面角 为 时，求 .
7．（2024·天津河西·一模）已知三棱锥 中， 平面 ， ，
， 为 上一点且满足 ， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
(3)求点 到平面 的距离．
8．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形
是矩形， ，过棱 的中点E作 于点 ，连接 ．(1)证明： ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成角的正弦值．
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）通过证明 平行于面 内的一条直线，即可证明 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，设出 的长并表达出各点坐标，利用异面直线 与 所
成角的余弦值得出 ，求出平面 的一个法向量，即可得出 到平面 的距
离.
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
则 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，且 ，因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）由题意（1）及几何知识得，
在直四棱柱 中， ，
两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴､ 轴､ 轴建
立如图所示的空间直角坐标系.
设 ，则 ， ，
.
设异面直线 与 所成角为 ，则
，
解得： ，
故 ，则
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，
到平面 的距离为 .
所以 即 取 ，
得 .
所以 ，
即 到平面 的距离为 .
2．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立坐标系，利用 ，即可证明 ；
（2）分别求得平面 与平面 的法向量，利用法向量即可求解；
（3）设 ，借助 ，求得 值，即可求解.
【详解】（1）证明：因为 平面 ， ，以 为原点， 为 轴， 为
轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由已知可得A(0,0,0)， ， ， ， ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
（2） ， ，
设平面 的法向量 ，则
，即 ，令 得 ，
所以 ．
平面 的法向量 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．（3）设 且 （ ），
，则 ， ， ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ，
化简得 ，
解得 或 （舍），
因为 ，所以 ．
3．(1)
(2) ．
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到 到平面
的距离为 ，进而由锥体体积公式求出答案；
（2）证明出 ，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角
余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.
【详解】（1）如图所示，取 的中点 ，连接 ．
因为 是正三角形，所以 ．
又因为平面 底面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，且 ．又因为 是 的中点， 到平面 的距离为 ，
，
所以三棱锥 的体积为 ．
（2）连接 ，因为 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 ，
所以 ．
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 ，即 ，解得 ，取 ，则 ，
所以 ．
设 与平面 所成角为 ，
则 ．即 与平面 所成角的正弦值为 ．
4．(1)证明见解析；
(2) ；
(3)存在，3.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量 ，结合
，得到平行关系；
（2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值；
（3）设 ，且 ，利用线面角的正弦值得到
方程，求出 或 ，求出 .
【详解】（1）以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间
直角坐标系，
则 ．
平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ，
，平面 ；
（2）平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ，
平面 与平面 夹角为 ，
；
（3）设 ，且 ，
与平面 所成角为 ，
，
即 ，
解得 或 ，故 或 ，
所以 .
5．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取 的中点 ，证明 即可；
（2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值；
（3）向量法求点到平面的距离.【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，则 ，
且 ，∴ 且 ，
则四边形 为平行四边形， ．
又 平面 平面 ，
平面 ．
（2）解：直三棱柱 中， ． 以 为原点，以 的方向为
轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
即令 ，则 ，得到平面 的一个法向量 ．
易知平面 的一个法向量为 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
（3）解： ， ，
点 到平面 的距离 ．
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量
，根据 得到证明；
（2）求出平面 的法向量，根据二面角的大小列出方程，求出 .
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，，建立空间直角坐标系，
设 ，
∵ ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 得 ，故
，
故 平面 ；
（2）平面 的一个法向量 ，
，
.
7．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以 为原点建立空间直角坐标系，计算出 ，即可证明；
（2）求出平面 的法向量 ，利用向量法求出线面角的正弦值，即可求出夹角；
（3）由 计算出点到面的距离.
【详解】（1）因为 平面 ， ，
如图以 为原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，所以 ，
因为 ，
所以 .
（2）设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)， ，
则 ，即 ，取 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，又 ，
所以 ，所以直线 与平面 所成角的大小为 .
（3）设点 到平面 的距离为 ，因为 ，
所以 ，所以点 到平面 的距离为 .
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证 平面 得 ，再证 ，推得 平面 ,得
，推得 平面 ，即得 ；
（2）依题建系，根据（1）的结论，可得平面 与平面 的法向量，利用空间向量的
夹角公式即可求得.【详解】（1）∵四边形 为矩形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ．
∵ ，点E是 的中点，∴ ．
又 ， 平面 ，∴ 平面 ．
平面 ，∴ ．
又 ， , 平面 ，∴ 平面 ，
平面 ，∴ ．
（2）
如图，因 两两垂直，
故可以A为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，P(0,0,1)， ，D(0,1,0)，
∴ ， ．
由（1）可知， 可看成平面 的一个法向量，
可看成平面 的一个法向量．
设平面 与平面 的所成角为 ，
∴ ，∴ ，∴平面 与平面 所成角的正弦值为 ．
【能力提升训练】
一、解答题
1．（22-23高三上·湖北·阶段练习）如图，在几何体 中，底面 为以 为斜边
的等腰直角三角形.已知平面 平面 ，平面 平面 平面
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，设 为棱 的中点，求当几何体 的体积取最大值时 与
所成角的正切值.
2．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥 中，已知棱 两两垂
直，长度分别为1，2，2，若 ，且向量 与 夹角的余弦值为 .
(1)求实数 值；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.3．（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱 中， 与 的距离为 ，
， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)若点N在棱 上，求直线AN与平面 所成角的正弦值的最大值．
4．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD 为直角梯形，
AB∥CD， ，平面 平面ABCD，F为线
段BC的中点，E为线段PF上一点.
(1)证明： ；
(2)当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为 .
5．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图， 为圆锥顶点， 是圆锥底面圆的圆心， ， 是
长度为 的底面圆的两条直径， ，且 ， 为母线 上一点．
(1)求证：当 为 中点时， 平面 ；
(2)若 ，二面角 的余弦值为 ，试确定P点的位置．
7．（23-24高三上·江苏淮安·期中）如图， 是半球 的直径， 是底面半圆
弧 上的两个三等分点， 是半球面上一点，且 ．
(1)证明： 平面 ：(2)若点 在底面圆内的射影恰在 上，求直线 与平面 所成角的正弦值．
8．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 分别是侧棱
的中点， ， 平面 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)如果 ，且三棱锥 的体积为 ，求二面角 的
余弦值.
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）先做一条辅助线，再通过面面垂直的性质得到 平面 ，再根据
平面 ，可得 ，进而根据线面垂直的判定定理即可证明.
（2）过点 作 交 与点 ,连接 ,通过题目条件和小问1结论证明四边形
为平行四边形，然后把多面体 分为两个三棱锥求体积，令
，把求体积的最大值转化为求关于 的函数的最大值.构造函数 ，通
过导函数判断其单调性，进而得到 的最大值，求出此时的 值.然后以点 为原点建立
空间直角坐标系 ，通过向量法求 与 所成角的正切值.
【详解】（1）过点 作 交 与点 ，
平面 平面 ，且两平面的交线为
平面 又 平面又 且 平面
（2）过点 作 交 与点 ,连接
平面 平面 ，且两平面的交线为
平面 又 平面 到平面 的距离相等
且 ， 平面
又
，令
则 ， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，当且仅当 时取得最大值.
如图所示，以点 为原点建立空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 .
设 与 所成角为 ，则 ，则 ，即当几何体 体积最大时， 与 所成角的正切值为6.
2．(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量夹角余弦值求出 .
（2）由（1）的结论，求出平面 的法向量，利用平面角的向量求法求解即得.
（3）求出平面 的法向量，结合（2）中信息，面面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）依题意，以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系
，
，由 ，得 ，则 ，而
，
而 ，显然 ，解得 .
（2）由（1）得 ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，又 ，
于是 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（2）令平面 的法向量 ，则 ，令 ，得
，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，
根据线面垂直的判定与性质证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.
【详解】（1）取棱 中点D，连接 ，因为 ，所以
因为三棱柱 ，所以 ，
所以 ，所以
因为 ，所以 ， ；
因为 ， ，所以 ，所以 ，
同理 ，
因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）
取 中点O，连接 ，取 中点P，连接 ，则 ，
由（1）知 平面 ，所以 平面
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
因为 ，则
以O为坐标原点， ， ， 所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
可设点 ， ，
， ， ，
设面 的法向量为 ，得 ，
取 ，则 ， ，所以
设直线 与平面 所成角为 ，则
若 ，则 ，
若 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值 .
4．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）过 作 ，垂足为 ，分析可知 为等边三角形，可得
，结合面面垂直的性质可得 平面ABCD，即可得结果；
（2）取线段 的中点 ，连接 ，建系，设 ，求平面PAD的法向量，
利用空间向量处理线面夹角的问题.
【详解】（1）过 作 ，垂足为 ，
由题意知： 为矩形，可得 ，
由 ，则 为等边三角形，且F为线段BC的中点，则 ，
又因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，
可得 平面ABCD，且 平面 ，
所以 .
（2）由（1）可知： 平面ABCD，
取线段 的中点 ，连接 ，则 ∥ ， ，
又因为 ，可知 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，
因为E为线段PF上一点，设 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
由题意可得： ，
整理得 ，解得 ，
所以当 ，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为 .
5．（1） ；（2）
【分析】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间
直角坐标系，设 ，由已知条件得出 ，求出 的值，即可得出 的长；
（2）求出平面 、 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可
求得结果.
【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
，则 ，解得 ，故 ；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结 ．因为 底面 ，且 底面 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．从而 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，于是 ．
所以 ．所以 ．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结 交 于点N．
由[方法二]知 ．
在矩形 中，有 ，所以 ，即 ．令 ，因为M为 的中点，则 ， ， ．
由 ，得 ，解得 ，所以
．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
，
所以， ，
因此，二面角 的正弦值为 .
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体 ，联结 ，交点记为H，由于 ，
，所以 平面 ．过H作 的垂线，垂足记为G．联结 ，由三垂线定理可知 ，
故 为二面角 的平面角．
易证四边形 是边长为 的正方形，联结 ， ．
，
由等积法解得 ．
在 中， ，由勾股定理求得 ．
所以， ，即二面角 的正弦值为 ．
【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直
的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何
证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.
（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清
晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注
意进行严格的论证.
6．(1)证明见详解
(2) 是线段 靠近点 的四等分点【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设 ， ，求解平面 和平面 的法向量，
根据二面角 的余弦值为 求 ，即可得P点的位置.
【详解】（1）连接 ，因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 为 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）如图：过点 作 交圆 与 ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，A(1,0,0)，B(-1,0,0)， ， ，
所以 ， ，
设 ， ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，令 ，则 ， ，
即 ，易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，
解得 （负值舍去），所以 是线段 靠近点 的四等分点.
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，可证 为 的中点且 ，可得 ，
又 ，由线面垂直的判定可证；
（2）以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，用
向量法可求解.
【详解】（1）连接 ，因为 是底面半圆弧 上的两个三等分点，
所以有 ，又因为 ，
所以 都为正三角形，
所以 ，四边形 是菱形，
记 与 的交点为 ， 为 和 的中点，
因为 ，
所以三角形 为正三角形，
所以 ，所以 ，
因为 是半球面上一点， 是半球 的直径，所以 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为点 在底面圆内的射影恰在 上，
由（1）知 为 的中点， 为正三角形，所以 ，
所以 底面 ，
因为四边形 是菱形，所以 ，
即 两两互相垂直，
以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，
如图所示，
则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，
设直线 与平面 的所成角为 ，
所以 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
8．(1)证明过程详见解析.
(2)二面角 的余弦值为 .
【分析】（1）易得 ，由线面垂直的性质证明 ，再根据线面垂直的判
定定理证明 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）易得 两两垂直，求出 ，以点C为原点，建立空间直角坐标系，
利用向量法求解即可.
【详解】（1） 分别是侧棱 的中点，
，
，
平面 ， 平面 ，
，
又 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 .
（2） 平面 ， 平面 ，
，，
又由题意得 是等腰直角三角形，
，此时易算三棱锥体积为： ，
故 符合题意.
平面 ， ，
平面 ，
又 平面 ，
，
两两垂直，
如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
故
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
平面 ，
即为平面 的一条法向量，
故 ，
由三棱锥的体积和法向量的方向可知，二面角 为锐二面角，故二面角 的余弦值为 .
