文档文本内容
专题一 数列（解答题11种考向）考向一 等差数列和等比数列
【例1-1】（2025·河南·模拟预测）已知项数为 的数列 满足： 且
．
(1)若 为等比数列，求 的值；
(2)若 是等差数列，求公差 的值．【例1-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列 为等差数列， ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【例1-3】（2025·广东惠州·模拟预测）记 为等差数列 的前 项和， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ，并比较 与 的大小.【例1-4】（2024·湖北黄冈·一模）设 为数列 的前 项和，满足 ．
(1)求证： ；
(2)记 ，求 ．
考向二 数列中求通项、求和的方法
【例2-1】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 .【例2-2】（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列 的首项为 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前 项和为 ；
(3)求数列 的前 项和.
【例2-3】（2021·天津和平·二模）已知等比数列 是递减数列， 的前n项和为 ，且 ， ， 成
等差数列， .数列 的前n项和为 ，满足 ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，求【例2-4】（2024·广东）在数列 中，已知 ， ，记 ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记______，数列 的前n项和为 ，求 ．
在① ；② ；③ 三个条件中选择一个补充在第（2）
问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考向三 数列与三角函数的综合
【例3-1】（2024海南）已知函数 的最小正周期为6．
(1)已知△ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求数列 的前2022项和 ．【例3-2】（2025云南）已知函数 ，
(1)求 的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若 在区间 上的根按从小到大的顺序依次记为 求数列 的通项公式及其前n项
和 ．
【例3-3】（2024宁夏）已知 的三个内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，内角 、 、 成等差数
列， ，数列 是等比数列，且首项、公比均为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．考向四 数列与统计概率综合
【例4-1】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教
练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为 ，抽到乙练习的概率为
，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为 ，抽到丙练习的概率为 ，每次丙练习后，系统抽到甲练习的
概率为 ，抽到乙练习的概率为 ，直到这天练习结束，一共练习了n（ ， ）轮，已知练习从甲开
始.
(1)当 时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望；
(2)求第n轮为甲练习的概率.【例4-2】（2025·安徽·模拟预测）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，
4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为 ，求随机变量 的分布列与期望；
(2)设最终得分为 的概率为 ，证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式.
（提示：请结合数列的递推关系求解）
【例4-3】（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，
若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，
C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：
(1)试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率.
(2)试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值.
【例4-4】（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进
行了问卷调查，据统计，其中 的人计划只参观黄鹤楼，另外 的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计
划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人 ，记这n人的合计得分恰为 分的概率为 ，求 ；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为 ，求数列 的通项公式．
考向五 数列与导数综合
【例5-1】（2024·浙江·一模）已知数列 的首项是1，其前 项和是 ，且 ， .
(1)求 ， 的值及数列 的通项公式；
(2)若存在实数 ，使得关于 的不等式 ， 有解，求实数 取到最大值时 的值.
【例5-2】（24-25高三上·山西吕梁·期末）如图，在横坐标为 的点处作 的切线，该切线与 轴的交点为；在横坐标为 的点处作 的切线，该切线与 轴的交点为 ；一直继续下去，得到数列 ．
(1)求证： ；
(2)若函数 ，记 ．
（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【例5-3】（24-25高三上·浙江金华·期末）已知数列 是等比数列，满足 ，且 ， ， 成等差
数列，数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，
(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和；
(3)记 ，若 恒成立，求 的值.【例5-4】（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数 ，点 均为曲线 图象上的
点，且 ， ， .
(1)当 时，证明： 是等比数列；
(2)求 的取值范围；
(3)证明：直线 的斜率随 的增大而增大.
考向六 数列与解析几何的综合
【例6-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正项数列 的前 项之和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若点列 是曲线 在第一象限上的点，点 的横坐标为 ，点 到原点的距离为 ，求数列的通项公式，并证明： .
【例6-2】（2025·浙江温州·模拟预测）已知双曲线 过点 ，其渐近线的方程为
．按照如下方式依次构造点 ；过右支上点 作斜率为1的直线与C的左支交于点 ，
过 再作斜率为 的直线与C的右支交于点 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)用 表示点 的坐标；
(3)求证：数列 是等比数列．
【例6-3】（2025·福建·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合）， ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点 ，按照如下方式构造点 ，设直线 为抛物线C在点 处的切线，过点
作 的垂线交抛物线C于另一点 ，记 的坐标为 ．
（ⅰ）证明：当 时， ；
（ⅱ）设 的面积为 ，证明： ．
【例6-4】（2025·陕西渭南·一模）已知双曲线 ．点 在 上．按如下方式构造点 ．
过点 作斜率为 的直线与 的下支交于点 ．点 关于 轴的对称点为 ．记点 的坐标为
(1)求 的值：
(2)记 ．证明：数列 为等比数列；
(3)记 的面积为 ．证明： 是定值．考向七 插项数列
【例7-1】（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列 的前n项和为 ，
(1)求数列 的通项公式;
(2)在数列 的相邻项 与 之间插入k个相同的数 ，使其与原数列构成新数列 ，设 为
数列 的前n项和，求
.
【例7-2】（2024陕西）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入n个数，使这 个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为 ，求数列 的前
n项和 ．【例7-3】（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足
， ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)对任意的正整数 ，设 ，求 ；
(3)若对于数列 ，在 和 之间插入 个 ，组成一个新的数列 ，记数列 的前 项和为 ，
求 .
【例7-4】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知数列 是公差为1的等差数列，且 ，数列
是等比数列，且 .(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ：
(3)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，若 对 恒成立，求
实数 的取值范围.
考向八 数列中的存在性问题
【例8-1】（2024江西）已知数列 满足： .
(1)当 时，求数列 中的第10项；
(2)是否存在正数 ，使得数列 是等比数列，若存在求出 值并证明；若不存在，请说明理由.
【例8-2】．（24-25高三下·全国·开学考试）记数列 的前n项和为 ，已知 ，
(1)求 的通项公式;(2)是否存在m和k，使得 是 和 的等差中项?若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由.
【例8-3】（2024·广东·二模）在数列 中， ， 都有 ， ， 成等差数列，且公差为 .
(1)求 ， ， ， ；
(2)求数列 的通项公式；
(3)是否存在 ，使得 ， ， ， 成等比数列.若存在，求出 的值；若不存在，说明
理由.【例8-4】（2024·山东·模拟预测）已知数列 ， ， 的首项均为1， 为 ， 的等差中项，且
．
(1)若数列 为单调递增的等比数列，且 ，求 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和 ，数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 使 对 恒成立？
若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由．
考向九 数列与二项式定理的综合
【例9-1】（2023·江苏无锡·校联考三模）记 为数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 除以3的余数.【例9-2】（2024·江苏）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)集合 ，将集合 的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为 ，求 ．
【例9-3】（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 .等差
数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)将数列 满足__________（在①②中任选一个条件）的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数列 ，
求 的前20项和 .① ，② ，其中 .考向十 数列中求参数
【例10-1】（24-25高三上·河北·期末）数列 满足： ， .
(1)求数列 通项；
(2) 恒成立，求m最小值.
【例10-2】（23-24吉林长春·阶段练习）设正项数列 的前 项之和 ，数列 的前 项
之积 ，且 ．
(1)求证： 为等差数列，并分别求 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求正实数 的取值范围．【例10-3】（2024·广东韶关·一模）设数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入1个数 ，使 成等差数列；在 和 之间插入2个数 ，使 成等
差数列；依次类推，在 和 之间插入 个数 ，使 成等差数列.
（i）若 ，求 ；
（ii）对于（i）中的 ，是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出所有的正整数对
；若不存在，说明理由.
【例10-4】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知数列 的首项为1，其前 项和为 ，等比数列 是首项
为1的递增数列，若 ．(1)求数列 和 的通项公式；
(2)证明： ；
(3)求使得 成立的最大整数 ．
考向十一 新定义数列
【例11-1】（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列 满足：对于 ， ，其中A为常数，则
称数列 为“A数列”．
(1)若等比数列 为“A数列”，求 的公比q；
(2)若数列 为“A数列”，且 ， ．
求证： ；
①
若 ，且 是正项数列， ，求满足不等式 的
②
的最小值．【例11-2】（2024·安徽·模拟预测）若数列 满足： ，若存在 ，都有 ，则称这个数列
为下界数列，并把其中最小的值 叫做临界值，记为 .
(1)记数列 前 项和为 ，证明：数列 是下界数列；
(2)记数列 前 项和为 ，判断数列 是否为下界数列，并说明理由；
(3)若数列 是首项及公比均为2的等比数列，记 ，数列 的临界值为 ，证明： ．
【例11-3】（2025·福建厦门·一模）若数列 满足数列 是等差数列，则称 为“绝对等差数列”，
的公差称为 的“绝对公差”．
(1)若“绝对等差数列” 的“绝对公差”为2，且 ，求 的值；
(2)已知“绝对等差数列” 满足 ， ，且 的“绝对公差”为1，记 为 的前n项和．
（ⅰ）若 ，求 ；
（ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在 ，使得 ．【例11-4】（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若数列 满足如下两个条件： 是1，2，3， ，
①
的一个全排列; 或 ，k为常数且 则称数列 为“ 数列”.
②
(1)请写出所有的“ 数列”;
(2)证明：k是奇数;
(3)当 时，求k的最大值，并说明理由.
