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第六章《数列》
第01讲 数列的概念与简单表示法
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的通项公式
如果数列{a}的第n项a 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列的
n n
通项公式．
若已知数列{a}的前n项和为S，则a＝
n n n
(3)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推
公式．
2．数列与函数
数列{a}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函
n
数值是数列的第n项a ，记为a ＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，
n n
对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{a}．
n
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a >a
n＋1 n
项与项间的大小
递减数列 a <a 其中n∈N*
n＋1 n
关系
常数列 a ＝a
n＋1 n
4．数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．一．由a 与S 的关系求通项公式
n n
例1．（1）设 是数列 的前 项和，若 ，则 （ ）．
A．4043 B．4042 C．4041 D．2021
（2）已知数列 的前n项和 ，则该数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
（3）数列{a}的前n项和为S，若a＝1，a ＝3S(n≥1)，则a＝( )
n n 1 n＋1 n 6
A．3×44 B．3×44＋1 C．44 D．44＋1
（4）若数列{ }的前n项和为 ＝ ， =（ ）
A． B． C． D．
（5）已知数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式 _________.
（6）已知数列 满足条件 ，则数列 的通项公式为___________.
【复习指导】：(1)已知S 求a 的常用方法是利用a＝转化为关于a 的关系式，再求通项公式．
n n n n
(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
方向2：利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1(3)由S 求通项公式a 的步骤
n n
①当n＝1时，a＝S.
1 1
②当n≥2时，根据S 写出S ，化简a＝S－S .
n n－1 n n n－1
③如果a 也满足当n≥2时，a＝S－S 的通项公式，那么数列{a}的通项公式为a＝S－S ；
1 n n n－1 n n n n－1
否则数列{a}的通项公式要分段表示为a＝
n n
二．由数列的递推关系式求通项公式
命题点1 累加法
例2．（1）在数列 中， ， ，则 （ ）．
A．659 B．661 C．663 D．665
（2）在数列 中， ， ，则 （ ）
A．958 B．967 C．977 D．997
（3）在数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
（4）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的
高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．
如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二
阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（ ）
A．4862 B．4962 C．4852 D．4952
（5）已知数列 满足 则求 ___________
（6）数列 中， 且 ，则 _________.【复习指导】：根据形如a ＝a ＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求
n＋1 n
出a－a 与n的关系式，进而得到a 的通项公式．
n 1 n
命题点2 累乘法
例3．（1）若数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
（2）已知 ， ，则数列 的通项公式是 （ ）
A． B． C． D．n
（3）已知数列 满足 ， ( ， )，则数列 的通项 （ ）
A． B．
C． D．
（4）若数列 的首项 ，且 ，则数列 的通项公式为_______.
（5）数列 满足： ， ，则数列 的通项 ________________.
（6）数列 满足： ， ，则 的通项公式为_____________.【复习指导】：根据形如a ＝a·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求
n＋1 n
出与n的关系式，进而得到a 的通项公式．
n
命题点3 构造法
例4．（1）已知数列 中， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
（2）已知数列 满足 ， ，则 =（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
（3）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为 ______．
（4）数列{a}满足 ， ，则数列{a}的通项公式为___________.
n n
（5）已知在数列 中， ， ，则 ______．
（6）已知数列 满足 ， ，则 _______.
【复习指导】：给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常
见的递推关系和变形方法如下：
（1） ，取倒数变形为 ；（2） ，变形为 ，也可以变形为
．
三．数列的性质
命题点1 数列的单调性
例5．（1）已知数列 的通项公式为 ，且数列 是递增数列，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）在数列 中， ， ，则（ ）
A．数列 单调递减 B．数列 单调递增
C．数列 先递减后递增 D．数列 先递增后递减
（3）已知数列 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是
（4）已知函数 的定义域为 ，数列 满足 ，则“数列 为递增数列”是“函数
为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（5）已知数列 的通项公式为 ，则 取最大值时， ___________.
【复习指导】：解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)用作商比较法，根据(a>0或a<0)与1的大小关系进行判断．
n n
(3)函数法．
命题点2 数列的周期性
例6．（1）数列 满足 ， ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．
（2）数列 满足 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
（3）已知数列 满足 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
（4）若数列 满足 ， ，则该数列的前2021项的乘积是（ ）
A． B． C．2 D．1（5）若 ， ， （ 是正整数），写出数列的前几项后猜测 ______．
【复习指导】：解决数列周期性问题
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
命题点3 数列的最值
例7．（1）已知数列 满足 ， 为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知数列 满足 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
（3）等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
（4）已知数列 满足 ，则当 取得最大值时 的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2022 D．2023
（5）若 ，则数列 的最大项是第______项．
（6）知数列 的通项公式为 ，则数列 的最大项为第______项．
【复习指导】：求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法，利用函数求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：若有a －a ＝f(n＋1)－f(n)>0，则a >a ，则数列{a}是递增数列，所以数列{a}的最小项为
n＋1 n n＋1 n n n
a；若有a －a＝f(n＋1)－f(n)<0，则a <a，则数列{a}是递减数列，所以数列{a}的最大项为a.
1 n＋1 n n＋1 n n n 1
1．已知数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 是数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A．4045 B．4043 C．4041 D．2021
3．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．30 B．31 C．22 D．23
4．已知数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若数列 满足 且 ，则数列 的第100项为（ ）
A．2 B．3 C． D．7．在数列 中， 且 ，则它的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
8．数列 中， ， ，则 （ ）
A．32 B．62 C．63 D．64
9．在数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．已知 为递增数列，前n项和 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数列， 则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．在数列 中， ， ，则 的值为（ ）
A．5 B． C． D．以上都不对13．已知数列 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．数列 满足 ，且 则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
15．已知数列 的首项 ，且满足 ，则 的最小的一项是（
）
A． B． C． D．
16．已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则数列 的最大项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
17．已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则 取得最小值时， 的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
18．已知数列 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7
19．在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
20．在数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
21．设数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
22．已知数列 的前 项和 ，则这个数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
24．已知数列 满足： ，点 在函数 的图象上，记 为 的前n项和，
则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．625．数列 满足 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
26．若数列 满足 ，若 恒成立，则 的最大值（ ）
A． B． C． D．3
27．已知数列 满足 且 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
28．数列 满足 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
29．已知数列 满足 ，若对任意的正整数 恒成立，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．30．记数列 前 项和为 ，且数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
31．已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ， ，数列 是等差数列，若
， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
32．已知数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
33．已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足 ．若对任意的 ，都有
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． C． ， D．
34．已知数列{ }的通项为 ，则“ ”是“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
35．（多选）数列{a}的前n项和为S， ，则有（ ）
n nA．S＝3n－1 B．{S}为等比数列
n n
C．a＝2·3n－1 D．
n
36．（多选）数列 的前n项和为 ，已知 ，则（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值
37．（多选）已知数列 满足 ， ，数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
38．（多选）下列数列 中，单调递增的数列是（ ）
A． B．
C． D．
39．（多选）数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值40．（多选）已知数列{ }的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． 是递增数列 B． 是递减数列
C． D．数列 的最大项为 和
41．（多选）已知数列 的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 ，或17时， 取得最大值 D．
42．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 __________．
43．已知数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ______．
44．数列 满足 ， ，则 ______．
45．数列 满足： ， ，则数列 的通项公式 ___________.
46．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为______．47．已知数列 满足 ，则数列 的前 项和为______．
48．在数列 中， ，则数列 中的最大项的 ________ .
49．已知数列 满足 ， ，则 的值为______．
50．已知数列 的通项公式为 ，则数列 最大项的值为______．
