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第六章《数列》
第01讲 数列的概念与简单表示法
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的通项公式
如果数列{a}的第n项a 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列的
n n
通项公式．
若已知数列{a}的前n项和为S，则a＝
n n n
(3)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推
公式．
2．数列与函数
数列{a}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函
n
数值是数列的第n项a ，记为a ＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，
n n
对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{a}．
n
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a >a
n＋1 n
项与项间的大小
递减数列 a <a 其中n∈N*
n＋1 n
关系
常数列 a ＝a
n＋1 n
4．数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．一．由a 与S 的关系求通项公式
n n
例1．（1）设 是数列 的前 项和，若 ，则 （ ）．
A．4043 B．4042 C．4041 D．2021
【答案】A
【分析】法一：由 可得；
法二：由数列公式 ，先求通项，再代入求出 .
【详解】法一： ；
法二： ， 当 时， ，
当 时， .
当 时，也适合上式， ，则 .
故选：A.
【点睛】（1）设 是数列 的前 项和， 是等差数列.
（2）已知 求 ，应用公式 时，一要注意不要忽略 时的情况，二要注意
时的成立条件.
（2）已知数列 的前n项和 ，则该数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当 时， ，当 时， ，得到答案.【详解】当 时， .
当 时， ，不符合上式；
所以数列的通项公式为 .
故选：D.
（3）数列{a}的前n项和为S，若a＝1，a ＝3S(n≥1)，则a＝( )
n n 1 n＋1 n 6
A．3×44 B．3×44＋1 C．44 D．44＋1
【答案】A
【详解】解：由a =3S ，得到a =3S （n≥2），
n+1 n n n-1
两式相减得：a -a =3（S -S ）=3a ，
n+1 n n n-1 n
则a =4a （n≥2），又a =1，a =3S =3a =3，
n+1 n 1 2 1 1
得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，
所以a =a qn-2=3×4n-2（n≥2）
n 2
则a =3×44，选A
6
（4）若数列{ }的前n项和为 ＝ ， =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，利用 与 的关系求得数列 的通项公式，利用等比数列前 项和公式求解即
可.
【详解】解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，
∴ 是首项为1，公比为-2的等比数列，∴ ，
所以 .故选：B.
（5）已知数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式 _________.
【答案】
【分析】由 先求得 ，再根据 求得 的表达式，验证首项，即可得答
案.
【详解】 ,故当 时， ；
当 时， ，
不适合上式，
，
故答案为： .
（6）已知数列 满足条件 ，则数列 的通项公式为___________.
【答案】
【分析】由 即可求解.
【详解】当 时， ，
因为 ，
所以 ，
当 时，两式相减得： ，化简得： ，不符合 .
所以
故答案为：
【复习指导】：(1)已知S 求a 的常用方法是利用a＝转化为关于a 的关系式，再求通项公式．
n n n n
(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
方向2：利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
(3)由S 求通项公式a 的步骤
n n
①当n＝1时，a＝S.
1 1
②当n≥2时，根据S 写出S ，化简a＝S－S .
n n－1 n n n－1
③如果a 也满足当n≥2时，a＝S－S 的通项公式，那么数列{a}的通项公式为a＝S－S ；
1 n n n－1 n n n n－1
否则数列{a}的通项公式要分段表示为a＝
n n
二．由数列的递推关系式求通项公式
命题点1 累加法
例2．（1）在数列 中， ， ，则 （ ）．
A．659 B．661 C．663 D．665
【答案】D
【分析】由累加法和等差数列的前 项和可求出 ，代入化简即可求出 .
【详解】因为 ，所以 ， ，…，
，
所以 ，故 ．
故选：D.
（2）在数列 中， ， ，则 （ ）A．958 B．967 C．977 D．997
【答案】C
【分析】首先通过累加法求得 ，再利用分组求和的方法求出 ，代入
即可.
【详解】 ， ，则
上述式子累加得
，
，
故选：C.
（3）在数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答.
【详解】因 ，则有 ，
于是得，当 时，
，因此， ，显然， 满足上式，
所以 .
故选：C
（4）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的
高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．
如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二
阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（ ）
A．4862 B．4962 C．4852 D．4952
【答案】D
【分析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23， ，满足： ， ，从而利
用累加法即可求出 ，进一步即可得到 的值．
【详解】2，3，5，8，12，17，23， 后项减前项可得1，2，3，4，5，6，
所以 ，
所以
.
所以 .
故选：D
（5）已知数列 满足 则求 ___________
【答案】
【分析】利用递推关系，累加求和计算即可.
【详解】∵
∴∴ ,
,
,
…
，
将以上99个式子都加起来可得 ，
.
故答案为： .
（6）数列 中， 且 ，则 _________.
【答案】100
【分析】先裂项，然后由累加法可得.
【详解】∵ ，∴
∵ =9，即 =9，解得n=100
故答案为：100
【复习指导】：根据形如a ＝a ＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求
n＋1 n
出a－a 与n的关系式，进而得到a 的通项公式．
n 1 n
命题点2 累乘法
例3．（1）若数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【答案】D【分析】由已知条件变形可得 ，然后累乘法可得 ，即可求出
【详解】由 得 ，
，
.
故选：D
（2）已知 ， ，则数列 的通项公式是 （ ）
A． B． C． D．n
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，再利用累乘法计算可得；
【详解】由 ，得 ，
即 ，
则 ， ， ，…， ，
由累乘法可得 ，所以 ，
又 ，符合上式，所以 .
故选：D．
（3）已知数列 满足 ， ( ， )，则数列 的通项 （ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】解：数列 满足 ， ，
整理得 ， ， ， ，
所有的项相乘得： ，
整理得： ，
故选： ．
（4）若数列 的首项 ，且 ，则数列 的通项公式为_______.
【答案】
【分析】依题意可得 ，利用累乘法计算可得；
【详解】解： 数列 中， ， ，
，
．
故答案为： ．
（5）数列 满足： ， ，则数列 的通项 ________________.
【答案】
【分析】根据 ， ，得到 ，然后利用累加法求解.【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ，
，
，
当 时， ，适合上式，
所以数列 的通项 ，
故答案为：
（6）数列 满足： ， ，则 的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】先由条件得 ，再结合累乘法求得 的通项公式即可.
【详解】由 得， ，
则 ，
即 ，又 ，所以 .故答案为： .
【复习指导】：根据形如a ＝a·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求
n＋1 n
出与n的关系式，进而得到a 的通项公式．
n
命题点3 构造法
例4．（1）已知数列 中， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析得到数列 是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列 的通项即得
解.
【详解】
所以 所以数列 是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以 .
故选：C
（2）已知数列 满足 ， ，则 =（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【答案】C
【分析】根据 ，可得 ，从而可证得数列 是等差数列，
从而可求得数列 的通项，即可得解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，即 ，等式两边开方可得： ，即 ，
所以数列 是以首项为 ，公差为1的等差数列，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C．
（3）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为 ______．
【答案】
【分析】利用取倒数及等差数列通项公式即可求解.
【详解】由 两边取倒数可得 ，即 ．
1
所以数列 a 是首项为2，公差为3等差数列.
n
所以 ，所以 ．
故答案为： .
（4）数列{a}满足 ， ，则数列{a}的通项公式为___________.
n n
【答案】 ．
【分析】已知式两边同除以 ，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵ ，所以 ，即 ，
∴ 是等差数列，而 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
（5）已知在数列 中， ， ，则 ______．
【答案】
【分析】由构造法可得 ，所以数列 是以 为首项，
为公比的等比数列，即可求出数列 的通项公式.
【详解】因为 ， ，所以 ，
整理得 ，所以数列 是以 为首项，
为公比的等比数列，所以 ，解得 ．
故答案为： .
（6）已知数列 满足 ， ，则 _______.
【答案】50
【分析】令 ，则 是常数列，进而求出 ，故可求得 ，代入即可求得 .
【详解】根据题意，令 ，得
因为 ，所以 ，又 ，
所以 是首项为 的常数列，故 ，即 ，故 ，
所以 .
故答案为：50.【复习指导】：给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常
见的递推关系和变形方法如下：
（1） ，取倒数变形为 ；
（2） ，变形为 ，也可以变形为
；
三．数列的性质
命题点1 数列的单调性
例5．（1）已知数列 的通项公式为 ，且数列 是递增数列，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用递增数列的定义即可.
【详解】由 ，
∴ ，即是 小于2n+1的最小值，∴ ，
故选：C
（2）在数列 中， ， ，则（ ）
A．数列 单调递减 B．数列 单调递增
C．数列 先递减后递增 D．数列 先递增后递减
【答案】A
【分析】由数列递推式求出 ，可判断 ，将 两边平方得，判断 与 同号,结合 ，可判断 ，即得答案.
【详解】由 ， ，得 ， ，且可知 ．
再由 ，两边平方得 ①，
则 ②，
②﹣①得： ，∴ ，
∵ ，∴ 与 同号,
由 ，可知， ，即 ，
可知数列 单调递减．
故选：A．
（3）已知数列 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是
【答案】B
【分析】令 ，则 ， ，然后利用函数的知识可得答案.
【详解】令 ，则 ，
当 时，
当 时， ，由双勾函数的知识可得 在 上单调递增，在 上单调递减
所以当 即 时， 取得最大值，所以此数列的最大项是 ，最小项为
故选：B．
（4）已知函数 的定义域为 ，数列 满足 ，则“数列 为递增数列”是“函数
为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用特例法、函数的单调性、数列的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若数列 为递增数列，取 ，即 ，
则 对任意的 恒成立，
所以数列 为单调递增数列，但函数 在 上不单调，
即“数列 为递增数列” “函数 为增函数”；
若函数 在 上为增函数，对任意的 ，则 ，即 ，
故数列 为递增数列，
即“数列 为递增数列” “函数 为增函数”.
因此，“数列 为递增数列”是“函数 为增函数”的必要不充分条件.
故选：B.
（5）已知数列 的通项公式为 ，则 取最大值时， ___________.
【答案】 或 .
【分析】判断 取最大值时，一定有 ，由此设 为数列 的最大项，列出不等式组 ，求得n的取值范围，可得答案.
【详解】由 可得当 时， ，当 时， ，
当 时， ，故 取最大值时，一定有 ，
设 为数列 的最大项，
则 ，即 ，解得 ，
则 或 ，此时 ，
故答案为： 或 .
【复习指导】：解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)用作商比较法，根据(a>0或a<0)与1的大小关系进行判断．
n n
(3)函数法．
命题点2 数列的周期性
例6．（1）数列 满足 ， ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ，…，
所以数列 是周期数列，周期为3，所以 ，所以 .
故选：A.
（2）数列 满足 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】B
【分析】计算数列的前几项，归纳出数列的周期性，从而易得结论．
【详解】由已知 ， ， ， ， ，
， ，
因此数列 是周期数列，周期是6，
所以 ．
故选：B．
（3）已知数列 满足 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.
【详解】由 得
，
所以数列 的周期为3，所以 ．
故选：B
（4）若数列 满足 ， ，则该数列的前2021项的乘积是（ ）A． B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】先由数列 满足 ， ，计算出前5项，可得 ，且 ，
再利用周期性即可得到答案.
【详解】因为数列 满足 ， ，
所以 ，同理可得 ，…
所以数列 每四项重复出现，即 ，且 ，
而 ，
所以该数列的前2021项的乘积是 .
故选：C.
（5）若 ， ， （ 是正整数），写出数列的前几项后猜测 ______．
【答案】3
【分析】计算出前几项，得出 是周期为6的数列，即可根据周期得出答案.
【详解】 ， ，
则 ，
，
，
，
，
，即 ， ，所以 是周期为6的数列，
，
，
故答案为：3.
【复习指导】：解决数列周期性问题
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
命题点3 数列的最值
例7．（1）已知数列 满足 ， 为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出数列 的前5项，再由对勾函数的性质可得 ， 的单调性，从而即可得最大
值.
【详解】解：由 ，得 ， ， ， ， ．
又 ， ，
又因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ．
故选：B．
（2）已知数列 满足 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
【答案】A
【分析】根据已知条件得出最小项为 ，利用迭代的思想即可求得 .【详解】∵ ，∴当 时， ，当 时， ，∴
，显然 的最小值是 .
又 ，∴
，即 的最小值是 .
故选：A
（3）等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据等差中项的知识列方程，求得 ，结合数列的单调性求得 的最小值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由于 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ，
也即 ，解得 ，
所以 ，所以 .
，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
所以 的最小值为 .故选：D
（4）已知数列 满足 ，则当 取得最大值时 的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】利用作商法可得 ，讨论n的取值判断 与1的大小关系，即可得 最大时
的值.
【详解】∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴根据选项，当 时， 取得最大值.
故选：A．
（5）若 ，则数列 的最大项是第______项．
【答案】7
【分析】 ，对应的二次函数为 ，对称轴为 ，找到离对称轴最近
的整数即可．
【详解】 ，其对应的二次函数为 ，
对称轴为 ，但 为正整数，所以离 最近的整数为7，
所以 在第7项取最大值．
故答案为：7.
（6）知数列 的通项公式为 ，则数列 的最大项为第______项．
【答案】4
【分析】利用作差法比较判断数列的单调性，再找出其最大项即可.【详解】解法一：∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，
即 ，故数列 的最大项为第4项．
解法二：设数列 中的最大项为 ，则
即 解得 ．
∵ ，∴ ．故数列 的最大项为第4项．
【点睛】思路点睛：（1）利用数列的单调性求最大项或最小项；
（2）求数列 中的最大项，只需满足 求数列 中的最小项，只需满足
【复习指导】：求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：若有a －a ＝f(n＋1)－f(n)>0，则a >a ，则数列{a}是递增数列，所以数列{a}的最小项为
n＋1 n n＋1 n n n
a；若有a －a＝f(n＋1)－f(n)<0，则a <a，则数列{a}是递减数列，所以数列{a}的最大项为a.
1 n＋1 n n＋1 n n n 1
1．已知数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 之间的关系式得到 ，得到数列 是从第二项开始的等比数列，从而求出通项公式 ，求出答案.
【详解】当 时，由 ①，可得： ②，两式相减得： ，
所以 ， ，
当 时， ，
故数列 是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以 ，
所以
故选：C
2．设 是数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A．4045 B．4043 C．4041 D．2021
【答案】A
【分析】根据 计算可得；
【详解】解：因为 ，
所以 ；
故选：A
3．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．30 B．31 C．22 D．23
【答案】B
【分析】根据题意利用累加法求解即可
【详解】因为数列 满足 ， ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
4．已知数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用累加法可求得 ，代入 即可求得 .
【详解】由 得： ，
， ， ，…， ，
各式作和得： ，
， .
故选：C.
5．在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.
【详解】因为 ，则 ，
当 时，
，显然 满足上式，即有 ，
所以 ．故选：A
6．若数列 满足 且 ，则数列 的第100项为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】直接用累加法求解即可．
【详解】解：由题意，因为 ，
所以 ，
，
，
以上99个式子累加得 ，
．
故选：B．
7．在数列 中， 且 ，则它的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用累乘法求出数列 的通项公式，然后利用裂项相消法可求得 的值.
【详解】 ， ， ，
因此， .
故选：A.
【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
8．数列 中， ， ，则 （ ）
A．32 B．62 C．63 D．64
【答案】C
【分析】把 化成 ，故可得 为等比数列，从而得到 的值.
【详解】数列 中， ，故 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 ，所以 为等比数列，公比为 ，首项为 .
所以 即 ，故 ，故选C.
9．在数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题干条件构造等比数列，进行求解.【详解】令 ，则 ，
又 ，所以 是以3为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，得 ．
故选：C．
10．已知 为递增数列，前n项和 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意先算 ，再利用 ，求出 时的通项公式，再利用数列的单调性，即可
解决问题
【详解】当 时， ，
当 时， ，
由 为递增数列，只需满足 ，即8>4+λ，解得 ，
则实数 的取值范围是 ，
故选：D.
11．设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数列， 则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列 是单调递增数列，可得 ，从而有 恒成立，由 ，可求得 的
取值范围.
【详解】解：由题意得：由数列 是单调递增数列，所以 ，
即 ，即 （ ）恒成立，
又因为数列 是单调递减数列
所以当 时， 取得最大值 ，所以 .
故选：C.
12．在数列 中， ， ，则 的值为（ ）
A．5 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.
【详解】 ， ，
，
，
，
数列 是以3为周期的数列，
，
故选：C．
13．已知数列 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】列举法观察规律，可以归纳出结果.
【详解】已知 ， ， ， ， ， ，……，∴观
察可得该数列是周期数列且周期为3，∴ ．
故选：C．
14．数列 满足 ，且 则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到 ，即可求解.
【详解】由题意，数列 满足 ，且 ，
可得 ，
可得数列 是以 三项为周期的周期数列，
所以 .
故选：C.
15．已知数列 的首项 ，且满足 ，则 的最小的一项是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为 ，即证得 为首项为 ，公差为的等差数列，由此求得 的表达式，进而求得 的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当 时
有最小值.
【详解】由已知得 ， ，所以数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，
，则 ，其对称轴 .所以 的最小的一项是第 项.
故选A.
【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.
16．已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则数列 的最大项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】D
【分析】由 先求出 ，从而得出 ，由 讨论出其单调性，从而得
出答案.
【详解】当 时， ；
由 ，当 时， ，
两式相减，可得 ，
解得 ，当 时，也符合该式，故 ．
所以
由 ，解得 ；又 ，所以 ，所以 ，当 时，，故 ，因此最大项为 ，
故选：D．
17．已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则 取得最小值时， 的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
【答案】C
【分析】求出数列在n的不同取值范围的正负，判断出 的单调性，分析即可求出.
【详解】令 ，解得 或 ，
当 时， ，故 当 时递增，且
当 时， ， 当 时递减，
当 时， ， 当 时递增，
且
故
所以 取得最小值时 的值为8.
故选：C.
18．已知数列 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7
【答案】A
【分析】由所给表达式 ，结合累加法可求得 的通项公式；
进而求得 的表达式，因为 取正整数，利用最低点附近的 求 的最小值．
【详解】因为 ，所以由递推公式可得当 时，等式两边分别相加，得
，
因为 ，则 ，而 满足上式，
所以 ，
即 , ，
函数 在 上单调递减,在 上单调递增,又因为 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
所以 的最小值为 ，
故选: .
19．在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大
项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属
于中等题.
20．在数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由递推公式 取倒数得到 是等差数列，先求 ，再求 .【详解】∵ ，∴ ，即
∴ 是以 公差 的等差数列.
∴ ，∴
故选:B
【点睛】求数列通项公式的方法：
（1）公式法；（2）累加（乘）法；（3）由递推公式求通项公式；（4）由 求 .
21．设数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据通项与 的关系可得递推公式 ，再构造等比数列求 的通项公式，进而代入
求得 得到 即可
【详解】当 时， ，解得 .
当 时， ，
所 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则 ，
从而 ，故 .
故选：C
22．已知数列 的前 项和 ，则这个数列的通项公式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】已知和求通项公式： 进行计算.
【详解】当 时，
当 时，
故选：C
23．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 与 的关系可得 ，再利用累乘法即可得 ，进而利用裂项相消法
求和即可.
【详解】当 时，
则
且 ，即 ，所以 .
两式作差得 ，
即 ，即 ，
所以 ，即 .则 .
所以 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：求数列的通项公式的常用方法.
（1）由 与 的关系求解.
（2）累加法.
（3）累乘法.
（4）构造法.
24．已知数列 满足： ，点 在函数 的图象上，记 为 的前n项和，
则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由 以及解析式求出 ，再由 得出答案.
【详解】由题得 ，解得 ，故 ，所以
故选：A．
25．数列 满足 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到 ，（ ），与条件两式作差，得到 ，（
），再验证 满足 ，得到 ，进而可求出结果.【详解】因为数列 满足 ，
，（ ）
则 ，则 ，（ ），
又 满足 ，所以 ，
因此 .
故选：A
26．若数列 满足 ，若 恒成立，则 的最大值（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由已知数列的递推式，可得 ，将 换为 ，两式相减求得 ，再由数列的单调性和不等式恒
成立思想，可得所求最大值.
【详解】解：由于 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，
又 ，
以上两式相减可得 ，得 ，上式对 也成立，
所以 恒成立即为 恒成立，
由 为递增数列，得 的最小值为 ，所以 ，即 的最大值为 .
故选：C.
27．已知数列 满足 且 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列 C． 是等比数列D． 是等比数列
【答案】D
【分析】由 ，化简得 ，结合等比数列、等差数列的定义可求解.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，
又由 ， ，
所以 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ， ， ，
，所以 不是等差数列；
不等于常数，所以 不是等比数列.
故选：D.
28．数列 满足 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
【答案】D
【分析】推导出数列 是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得 的表达式，可判断C选项；利用等差中项的性质可判断A选项；利用等比数列的定义可判断B选项；计算出 、 的值，可判断
D选项.
【详解】由 ，且 ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
所以， ，所以 ，且 ，
所以，数列 是等差数列，且该数列的首项为 ，公差为 ，
所以， ，则 ，其中 ，C对；
，所以，数列 是等比数列，B对；
由等差中项的性质可得 ，A对；
由上可知 ，则 ， ，
所以， ，D错.
故选：D.
29．已知数列 满足 ，若对任意的正整数 恒成立，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意 ，即可得到 是以 为首项，以 为公比的等比数列，从而求出 ，依题意可得 恒成立，令 ，利用作差法说明 的单调性，即可得到
的最大值，即可得解；
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 是以 为首项，以 为公比的等比
数列，所以 ，所以 ， 恒成立，
的最大值，令 ， ，
所以 时， 单调递增， 时， 单调递减， ， 的最大值
， ；
故选：A．
30．记数列 前 项和为 ，且数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据递推式得到 为下标周期为4的数列，并求得 ，进而求 .
【详解】由题设 ， ， ， ， ，…
所以 是下标周期为4的数列，且 ，
则 .
故选：D
31．已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ， ，数列 是等差数列，若
， ，则 （ ）A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据题意得到函数 的周期为3，且 ，转化为
，结合因为 ，即可求解.
【详解】因为函数 是奇函数且满足 ，可得 ，
则 ，即 ，所以 为周期为3的函数，
又因为数列 是等差数列，且 ， ，
可得 ，解得 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
32．已知数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】当 为奇数时有 ，函数 的周期为 可得 ，
计算出 ， ， 可得答案.
【详解】当 为奇数时有 ，函数 的周期为 ，故有 ， ， ， ， ，按此
规律下去循环重复下去， ，
故有 .
故选：C.
33．已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足 ．若对任意的 ，都有
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． C． ， D．
【答案】D
【分析】由等差数列通项公式得 ，再结合题意得数列 单调递增，且满足 ， ，
即 ，再解不等式即可得答案.
【详解】解：根据题意：数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
所以 ，
由于数列 满足 ，
所以 对任意的 都成立，
故数列 单调递增，且满足 ， ，
所以 ，解得 ．
故选： ．34．已知数列{ }的通项为 ，则“ ”是“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据 ，求得 ，对 恒成立，进而得到 ，结合充分条件、必要
条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，数列 的通项为 ，
则 ，
即 ，对 恒成立，
当 时， 取得最小值 ，所以 ，
所以“ ”是“ ， ”的充分不必要条件.
故选：A.
35．（多选）数列{a}的前n项和为S， ，则有（ ）
n n
A．S＝3n－1 B．{S}为等比数列
n n
C．a＝2·3n－1 D．
n
【答案】ABD
【分析】根据 求得 ，进而求得 以及判断出 是等比数列.
【详解】依题意 ，
当 时， ，当 时， ，
，所以 ，
所以 ，
所以 .
当 时， ；当 时， 符合上式，所以 .
，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
36．（多选）数列 的前n项和为 ，已知 ，则（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值
【答案】BCD
【分析】根据 求出数列的通项公式，即可判断A、B、C，再根据二次函数的性质判断
D；
【详解】解：因为 ，当 时 ，当 时 ，所以
，当 时 也成立，所以 ，
所以 ，即 是递减数列，故A错误； ，故
B正确；令 ，解得 ，故C正确；，所以当 或 时 ，故D正确；
故选：BCD
37．（多选）已知数列 满足 ， ，数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求得数列 的通项公式 和前n项和公式 ，再去验证选项即可解决.
【详解】由 ，
可得： ， ， ， ， ，
则
即 ，则 ，又 时也成立，所以
故选项B判断正确；
由 ，可知选项A判断正确；
令
则2
两式相减得
故选项D判断正确；
由 ，可得选项C判断错误.故选：ABD
38．（多选）下列数列 中，单调递增的数列是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】结合对应函数单调性即可判断各选项.
【详解】对于A，结合对应函数 在 上单调递减，在 上单调递增，可知数列 不
为递增数列；
对于B，结合对应函数 在 上单调递增，可知数列 为递增数列；
对于C，结合对应函数 的单调递增区间为 ， ，可知数列 不为递增数列；
对于D， 由于 ，结合对应函数 在 上单调递增，所以数列
为递增数列.
故选：BD.
39．（多选）数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值
【答案】CD
【分析】根据 表达式及 时， 的关系，算出数列 通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.
【详解】当 时， ，又 ，所以 ，则 是递减数
列，故A错误；
，故B错误；
当 时， ，故C正确；
因为 的对称轴为 ，开口向下，而 是正整数，且 或 距离对称轴一样远，所以当
或 时， 取得最大值，故D正确.
故选：CD.
40．（多选）已知数列{ }的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． 是递增数列 B． 是递减数列
C． D．数列 的最大项为 和
【答案】BCD
【分析】根据 ，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断
ABC.
【详解】解：因为 ，所以数列 的最大项为 和 ，故D正确；
当 时， ，
当 时，由 ，得 ，
两式相减得： ，
又 ，适合上式，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 是递减数列，故A错误，B正确；
故选：BCD
41．（多选）已知数列 的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 ，或17时， 取得最大值 D．
【答案】BC
【分析】根据 ，利用数列前n项和与通项之间的关系，求得通项公式后，再逐项判
断.
【详解】因为 ，
所以
两式相减得 ，
当 时， 适合上式，
所以 ，
因为 ，所以数列 是递减数列，
由 ，解得 ，且
所以当 或17时， 取得最大值，
所以 ，，
.
故选：BC
42．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 __________．
【答案】
【分析】利用数列的递推式可得 ，构造等比数列，求得 ，从而
，构造等差数列，求得答案.
【详解】由题意得 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，于是 ，
因此数列 是以 为首项、2为公比的等比数列，
故 ，于是 ，
因此数列 是以1为首项、1为公差的等差数列，
故 ，故 ,
故答案为：
43．已知数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ______．
【答案】123
【分析】由已知，根据给的 ，通过 ，计算出 ， 得到 之间的关系，然后构造
等比数列，得到数列 的通项公式，然后求和即可.【详解】由已知， ， ①，
当 时， ，
当 时， ②，
① ②得： ，整理得： ，即 ，
所以数列 是以 为首项，公比为2的等比数列，所以
，
所以 ，
所以 .
故答案为：123.
44．数列 满足 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】利用累乘法求得正确答案.
【详解】
，
也符合上式，
所以 .
故答案为：
45．数列 满足： ， ，则数列 的通项公式 ___________.【答案】
【解析】当 时， ，作差即可得到 ，再利用累乘法求出数列的
通项公式即可；
【详解】解：因为 ①；
当 时， ②；
①减②得 ，即 ，所以 ，所以
，所以
所以 ， ， ，……， ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，当 时
也成立，所以
故答案为：
【点睛】对于递推公式为 ，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为
，一般利用累加法求出数列的通项公式；
46．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为______．
【答案】【分析】对递推数列两边同时去倒数，可得 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数
列，即可求出数列 的通项公式.
【详解】因为 ， ，所以 ，
即 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 ．
故答案为： .
47．已知数列 满足 ，则数列 的前 项和为______．
【答案】
【分析】由递推公式可得 ，即可得到 是以 为首项， 为公差的等差数列，从而求出
的通项公式，则 ，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，则 ，
令数列 的前 项和为 ，则
故答案为：
48．在数列 中， ，则数列 中的最大项的 ________ .
【答案】6或
【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项.
【详解】 ，
令 ，解得 ，
即 时， ，
当 时， ，
所以 或 最大，
所以 或 .
故答案为：6或7.
49．已知数列 满足 ， ，则 的值为______．
【答案】
【分析】根据递推关系得到数列 的周期及一个周期内各项的值，再应用周期性求 .
【详解】由题设 ，则 ，而 ，
所以 ， ， ， ，…
故 是周期为4的数列且 ， ， ， ，
所以 .故答案为：
50．已知数列 的通项公式为 ，则数列 最大项的值为______．
【答案】
【分析】利用函数单调性法或作差法即可得解.
【详解】解法一：由已知得 ．
其对应母函数为对勾型函数，结合函数的单调性可知，
当 时， 取最小值， 取最大值，
．
解法二：令 ，
可得 ，即 ．故 ．
故答案为：
