【微专题07：数列求和的常用方法】
【高考定位】
1.考查频率数列求和是高考数列板块的核心考点，全国卷与新高考卷每年必考，多以解答题第或选择题、
填空题形式出现
2.考查难度中档为主，偶尔结合函数、不等式、数学归纳法提升难度，区分度较强
3.核心考向①等差、等比数列求和公式的直接应用②非等差等比数列的转化求和（裂项相消、错位相减为
高频）③与通项公式结合的综合求和
【真题体验】
1．（2021·新高考全国
卷
Ⅰ
·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对
称轴把纸对折，规格为20dm ×12dm的长方形纸，对折1 次共可以得到10dm ×12dm，20dm ×6dm两种规
格的图形，它们的面积之和S1=240dm
2，对折2 次共可以得到5dm ×12dm，10dm ×6dm，20dm ×3dm三
种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm
2，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为
；如果对折n次，那么∑
k =1
n
Sk = dm
2.
2．（2012·新课标卷·高考真题）数列{a }
n
❑满足an+1+(−1)
nan=2n−1，则{a }
n
❑的前60项和为
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列{an)中，a1=3，an+1
n = an
n+1 +
1
n(n+1)
.
(1)证明：数列{nan)是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f ( x)=a1 x +a2 x
2+⋯+am x
m，求f
′(−2)．
4．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知{an)为等差数列，bn={
an−6,n 为奇数
2an,n 为偶数)，记Sn，T n分别为数列
{an)，{bn)的前n 项和，S4=32，T 3=16．
(1)求{an)的通项公式；
(2)证明：当n>5时，T n>Sn．
5．（2022·新高考全国
卷
Ⅰ
·高考真题）记Sn为数列{an)的前n 项和，已知a1=1,{
Sn
an)是公差为1
3的等差数
列．
(1)求{an)的通项公式；
(2)证明：1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
<2．
6．（2014·广东·高考真题）已知各项均为正数的数列{an)的前n 项和为Sn，且满足
Sn
2−(n
2+n−3)Sn−3(n
2+n)=0,n∈N
∗，
（1）求a1的值；
（2）求数列{an)的通项公式；
（3）证明：对一切的正整数n都有
1
a1(a1+1) +
1
a2(a2+1) +⋯+
1
an(an+1) < 1
3
【热点题型1:分组求和与并项求和】
【核心归纳】
分组求和本质是“化整为零”的转化思想适用于通项公式可拆分为多个等差等比数列或常见可求和数列和
差形式的数列并项求和则针对通项含正负交替项相邻项合并后可化为定值或易求和形式的数列核心是通过
合并项简化求和过程常与数列的奇偶性分析结合考查是教材中分组转化思想的延伸应用
（2025·新疆·模拟预测）已知正项数列{an)满足a1=2，2an+1=an+an+2(n∈N
∗)，且
a2−2，a4，2a7−3成等比数列.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)若数列{an)中第2 项，第4 项，···，第2
n项构成新数列{bn)，记{bn)的前n项和为Sn，求Sn.
【规律方法总结】
1 分组求和法
适用条件数列通项可表示为
其中
分别为等差等比数列或其他可直接求和的数列
核心步骤①拆分通项将
拆分为若干个易求和数列的项的和或差②分别对拆分后的每个数列进行求和运用
对应数列的求和公式③将各部分求和结果相加或相减得到原数列的前
项和
核心公式若
则
其中
为等差数列前
项和
为等比数
列前
项和
等差数列前
项和
（
为等差数列首项
为公差）
等比数列前
项和当
时
当
时
（
为等比数列首项
为公
比）
关键提醒拆分时需保证项数一致符号准确等比数列求和务必分公比
与
讨论贴合教材基础公式的
严谨性要求
2 并项求和法
适用条件数列通项含
或类似正负交替结构相邻两项或多项合并后可得到常数等差/等比项或可求和形
式如
且
为定值或易求和式
核心步骤①观察数列项的符号规律与数值特征确定合并的项数（通常为两项一组特殊情况为三项一组）②
对每组项进行合并化简得到新的易求和数列③分数列项数为奇数偶数两种情况讨论求和避免遗漏末尾单独
项
关键提醒合并项时需准确判断符号变化规律项数奇偶性对结果影响较大需重点关注这是高考命题中常见的
易错点
（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列{an)的前n项和为Sn，且S2= 4，S4=16；数
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
例题
小试牛刀1
列{bn)满足2
nb1+2
n−1b2+⋅⋅⋅+2bn=(n+1)2
n+1−2，n∈N
∗.
(1)求数列{an)和{bn)的通项公式；
(2)cn=anbn，求数列{cn)的前n项和T n；
(3)将数列{(−1)
nan)和数列{bn)各取前100项，按从小到大排成一个新的数列{dn)，其中重复的数按照出现
的个数重复排列，求{dn)的前106项和
（2025·浙江金华·一模）已知数列{an)，{bn)满足{
an+1= 1
2 an+ 3
2 bn
bn+1= 1
2 bn+ 3
2 an)
(n∈N+)，且
b1=3a1= 3
2．
(1)证明：数列{an+bn)与{an−bn)均为等比数列；
(2)求数列{[an))的前25 项和S25．(其中[ x ]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1)
（2025·广东·模拟预测）记Sn为数列{an)的前n项和．已知
a1=2,a2=3,Sn+ Sn−2=2Sn−1+1(n≥3)．
(1)求{an)的通项公式；
(2)记bm为{an)在区间(0,2
m](m∈N +)上的项的个数，求数列{bm)的前m项和T m．
【热点题型2：裂项相消求和】
【核心归纳】
裂项相消求和是高考高频考点核心是将数列通项拆分为两个项的差的形式通过累加使中间项相互抵消仅保
留首尾有限项求和该方法适用于通项为分式根式阶乘二次式对数或三角函数形式的数列本质是“化繁为
简”的转化思想教材中分式数列求和问题多以此为核心方法高考常结合通项推导不等式证明综合考查
（2026·四川攀枝花·一模）已知数列{an)的前n 项和为Sn，an>0(n∈N
∗)，且4，
an+1，Sn成等比数列．
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)若bn=(−1)
n+1⋅
4 n
anan+1
，记数列{bn)的前2n项和为T 2n，证明：4
5 ≤T 2n<1．
【规律方法总结】
适用条件通项
可转化为
的形式且累加后中间项能完全抵消或部分抵消
核心步骤①裂项转化根据通项特征选择对应裂项模型将
拆分为两项之差拆分后需验证等式成立（避免裂
项错误）②累加求和写出前
项和的展开式标注可抵消的中间项③化简结果保留首尾剩余项整理得到
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
例题
核心结论裂项相消后剩余项具有固定规律若裂项形式为
则累加后剩余前
项的前
半部分和后
项的后半部分系数
需严格匹配不可遗漏
常见裂项模型
1 基础分式裂项
（
为非零常数）当
时
当
时
2 二次分式裂项
3 根式裂项
（
为正常数）核心是分母有理化转化特例
4 阶乘裂项
（
）利用阶乘的运算性质拆分
（2025·广东汕尾·一模）记Sn为递增数列{an)的前n项和，an
2+ 4 n= 4 Sn.
(1)求{an)的通项公式；
(2)求数列{an⋅a2
n)的前n项和；
(3)记bn=
4
a2n⋅a2n+1
,{bn)的前n项和为T n，证明：T n< 1
2.
（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知Sn是数列{an)的前n项和，且满足a1=1，
Sn−(2n−1)Sn−1=n
2an(n≥2)，数列{cn)满足c1=2，cn+1
2
= 4 cn(cn+1−cn)
(1)求Sn和cn；
(2)若数列{bn)满足，bn⋅cn=(n+2)Sn，求{bn)的前n项和T n.
（2025·广东广州·模拟预测）已知数列{an)中，a1=1，an+1
n+1 = an
n +
1
n(n+1)．
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)给定正整数m，设函数f ( x)=(a1+1)x +(a2+1)x
2+⋅⋅⋅+(am+1)x
m，求f
′(2)．
【热点题型3：错位相减求和】
【核心归纳】
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
错位相减求和是针对“等差×等比”型数列求和的唯一核心方法即数列通项可表示为一个等差数列与一个
等比数列对应项的乘积记为
（
为常数
为等比数列公比）该题型是高考解答题的高
频考点教材中等比数列求和公式推导思路为其方法基础核心是通过“乘公比→作差→化简”消去中间项掌
握大招公式可直接秒杀大幅提升解题效率
（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn，且2an= Sn+2，各项均为
正数的递增数列{bn)满足(bn+1+bn−1)
2= 4 bn+1bn，b1=1.
(1)求{an)的通项公式；
(2)求{bn)的通项公式；
(3)记数列{
bn
an)的前n项和为T n，求T n.
【规律方法总结】
核心大招公式（直接套用型）
设等差数列
通项为
（公差
）等比数列
通项为
（公比
首项
）则数列
前
项和
其中系数计算公式
传统核心步骤（推导验证用）
①写出前
项和
②乘公比两边同乘等比数列
的公比
得
③作差用
得到
④化简中间项为等比数列求和代入等比数列求和公式整理得到
⑤验证代入
或
验证结果正确
性排除计算错误
关键提醒作差时需注意最后一项的符号中间等比数列的项数为
项避免项数计数错误公比
时需单
独讨论直接转化为等差数列求和大招公式需牢记系数推导逻辑避免死记硬背计算过程中注意通分与因式分
解减少运算失误
（24-25 高三下·安徽安庆·月考）已知数列{an)的前n项和为
Sn,a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N
*)
(1)求数列{an)的通项公式
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列.设
T n= 1
d1
+ 1
d2
+ 1
d3
+⋯+ 1
dn
(n∈N
*)，求T n；
（2024·福建·模拟预测）已知各项均为正数的数列{an}满足an+1
2
−an
2=8n，且a1=1.
经典例题
例题
小试牛刀1
小试牛刀2
(1)写出a2，a3，并求{an}的通项公式；
(2)记bn={
an,n 为奇数,
2
an+1
4 ,n 为偶数,)求b1b2+b3b4+b5b6+⋯+b15b16.
（2024·福建龙岩·一模）设等差数列{an)的公差为d(d >1)，令bn= 2(n
2+n)
an
，记
Sn,T n分别为数列{an),{bn)的前n项和.
(1)若4 a2= 4 a1+a3,S2+T 2=13，求数列{an)的通项公式；
(2)若数列{cn)是公比为正数的等比数列，a1=c1=2,a2=2c1−1，c3=2a2+2，求数列{
bn
cn)的前n项和An.
【热点题型4：插项，公共项，并项求和】
【核心归纳】
该题型属于数列求和的综合应用核心围绕数列的项的构造与筛选展开插项求和是通过添加辅助项转化为已
知求和模型公共项求和是筛选两个或多个数列的公共项构成新数列后求和并项求和侧重特殊结构项的合并
（与题型1 并项求和互补含周期数列并项）均体现“转化与化归”思想是教材中数列性质与求和方法的综
合延伸高考中多以中档压轴题形式出现
（2025·福建福州·模拟预测）已知数列{an)是等差数列，其前n和为Sn，a2=2，S9= 45，
数列{bn)满足a1b1+a2b2+⋯+anbn=(n−1)⋅2
n+1.
(1)求数列{an)，{bn)的通项公式；
(2)若对数列{an)，{bn)，在ak与ak +1之间插入bk个1（k ∈N
∗），组成一个新数列{dn)，求数列{dn)的前75
项的和T 75.
【规律方法总结】
1 插项求和
适用条件数列通项不直接符合常见求和模型通过添加或删除若干项（插项）转化为等差等比数列或可裂项
错位相减的数列
核心方法①分析通项特征确定插项目标（转化为已知模型）②合理插项保证插项后新数列的求和可运用已
有方法③对新数列求和后扣除或补充插项的数值得到原数列的和
关键提醒插项需遵循“等价转化”原则插项的数值与项数需准确计算避免破坏原数列的项数对应关系
2 公共项求和
适用条件已知两个或多个数列（通常为等差等比数列）求其公共项构成的新数列的前
项和
核心方法①判断公共项构成的新数列类型若原数列均为等差数列公共项构成的新数列仍为等差数列（无公
共项除外）若原数列为等差与等比数列通过通项等式求解公共项②求新数列的首项与公差（或公比）联立
原数列通项公式
求解正整数解确定首项与递推关系③运用对应求和公式求新数列的和
关键提醒需验证公共项的周期性与唯一性避免遗漏或重复计数联立方程求解时需结合正整数条件筛选解确
保新数列的项均为原数列的公共项
3 特殊并项求和（补充题型1）
适用条件数列含周期结构或相邻多项合并为定值（非仅两项）如周期为3 的数列含
（
小试牛刀3
经典例题
例题
为常数）的数列
核心方法①确定数列周期
计算一个周期内各项的和
②计算前
项包含的完整周期数
与剩余
项数
③总求和
（
为剩余
项的和）
（2023·福建福州·模拟预测）已知数列{an)的首项a1= 4
5 ，an+1=
4 an
3an+1，n∈N
*.
(1)设bn=
an
1−an
，求数列{bn)的通项公式；
(2)在bk与bk +1（其中k ∈N
*）之间插入2
k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{cn).记Sn为数列
{cn)的前n 项和，求S36.
（2023·湖北武汉·一模）记数列{an}的前n 项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝
nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak 和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}
的前40 项和.
（2025·天津·二模）数列{an)的项是由1 或2 构成，且首项为1，在第k个1 和第
k +1个1 之间有2k −1个2，即数列{an)为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,⋯.记数列{an)的前n项和为Sn，则
S20= ：S2025= .
一、填空题
1．（23-24 高二下·四川绵阳·月考）已知数列{an)满足an+1
2
=anan+2(n∈N
*)，a1=2，a4=16，数列{bn)满
足bn=(−1)
nlog2an，则数列{bn)的前1011 项的和S1011= .
2．（2025·云南昆明·模拟预测）在数列{an)中，若n∈[2
k −1,2
k)，则an=2
k，k ∈N
∗，设数列{an)的前n
项和为Sn，则使Sn<2025成立的正整数n的最大值为 .
3．（2023·贵州黔东南·模拟预测）已知数列{an)满足：a2n
2 =a2n−1⋅a2n+1，2a2n+1=a2n+a2n+2，若
a2=2a1=2，则数列{
1
a2n)的前50 项和为 .
4．（2023·河南·模拟预测）已知Sn为数列{an)的前n项和，a1=1,Sn=an+1−2，则an= ；
令bn= (−1)
n(4 an+2)
(2
n+1)(2
n+1+1)
，数列{bn)的前n项和为T n，若存在n∈N
*，使得m≥T n，则实数m的取值范围为
.
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
课后针对训练
5．（23-24 高三上·河南漯河·期末）数列{an)满足an={
1
n
2+2n
,n=2k −1
sin nπ
4 ,n=2k
(k ∈N
∗))
，若Sn为数列{an)的
前n项和，则S2024= .
6．（2024·云南昆明·一模）记Sn为数列{an)的前n项和，已知an={
1
n(n+2) ,n 为奇数,
an−1,n 为偶数, )
则S10= ．
7．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知正项数列{an)的前n项和为Sn，且满足Sn= 1
2(an+ 1
an)，则
[
1
S1
+ 1
S2
+⋯+
1
S2023)= ．（其中[x)表示不超过x的最大整数）
8．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列{an)前n项和为Sn，且a2=8,S3= 42，则数列
{
1
log2an⋅log2an+1)的前10项和为 ．
9．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把
数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数φ(n)就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A
版新教材选择性必修二第8 页指出：欧拉函数φ(n)(n∈N
∗)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互
素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果m,n互素，则
φ(mn)=φ(m)φ(n).请计算数列{
n
φ(6
n))的前n项和Sn= .
10．（24-25 高三上·云南·月考）已知在数列{an)中，a1=2，且对任意的m，n∈N+，都有am+n=aman，
设f (x)=a1 x +a2 x
2+a3 x
3+⋯+an x
n，记函数f (x)在x =1处的导数为f
′ (1)，则使得f
′ (1)>2025成立的n
的最小值为 ．
11．（2025·云南·模拟预测）有一个摸球游戏，一个不透明口袋中装有1 个红球和3 个白球，这些球除颜
色外其他完全相同，为了增加游戏的趣味性，需先抛掷一枚质地均匀的骰子来确定摸球方式.若抛掷骰子得
到的点数大于2，则一次摸出一个球，否则一次摸出2 个球.摸到红球就算中奖，游戏结束.若未中奖，需要
把摸到的球放回口袋，重复上述过程.用随机变量X表示摸球的次数，记Q =∑
k =1
100
kP(X =k )，则大于Q的最
小整数为 .
12．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列{an)的前n项和为Sn，数列{bn)是首项为1、公差为1 的等差数列，
若1+ a1
b1
+ a2
b2
+⋯+
an
bn
=2
n(n∈N
∗)，则S10= .
二、解答题
13．（2025·浙江·一模）已知渐近线为y =±
❑√2
2 x的双曲线C过点A (1,0)，过点A且斜率为n的直线交双曲
线C于异于A的点Bn，记△A Bn Bn+1的面积为Sn.
(1)求双曲线C的方程；
(2)求S1；
(3)证明：S1+ S2+⋯+ Sn< 13
42 (n∈N
*).
14．（2025·江苏·模拟预测）已知数列{an)的首项a1= 3
2，且满足1+anan+1=2an.
(1)证明：{
1
an−1)是等差数列；
(2)记[x]表示不超过x的最大整数，Sn,T n分别为{an)和{
1
an)的前n项和，求[Sn+T n).
15．（2026·河北沧州·一模）记Sn,T n分别为数列{an),{bn)的前n项和，其中{an)满足
2an+1=an+an+2,bn=¿，且S4=24 ,T 3=14．
(1)求an及Sn；
(2)当n为正奇数时，比较Sn与T n的大小．
16．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列{an)满足a1= 1
2，a2= 3
2，an+2+3an= 4 an+1.
(1)证明：数列{an+1−an)为等比数列；
(2)求{an)的通项公式；
(3)记bn=2an+1，数列{
an
bnbn+1)的前n项和为Sn，证明：1
16 ≤Sn< 1
8.
