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2024 届大题强化训练及变式训练（10）
1．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）点D在边 上， ，若 ， ，求a．
变式：蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色
彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿
马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边
BC上靠近B点的三等分点， ， ．
（1）若 ，求三角形手巾的面积；
（2）当 取最小值时，请帮设计师计算BD的长．
2．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 为等边三角形，点
M，N分别为AB，PC的中点．（1）证明：直线 平面PAD；
（2）当二面角 为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．
变式：在如图所示的三棱锥 中， 分别是线段 的中
点，且 .
（1）证明：直线 平面 ;
（2）若二面角 的大小为 ，求直线 和平面 所成角的余弦值.
3．已知函数 ， ， .
（1）求 的单调递增区间；（2）求 的最小值；
（3）设 ，讨论函数 的零点个数.
变式：已函数 ，其图象的对称中心为 .
（1）求 的值；
（2）判断函数 的零点个数.
4．已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试
验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者
在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不
同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为
随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2）若规定试验者乙至多可进行 轮试验（若第 轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为 ，则乙能试验成功的概率为 ，证明：
.
变式：某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学
每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 ，若前一天选择冰糖雪
梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 ，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百
合汤的概率为 ，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤 的概率．
（2）记该同学第 天中午选择冰糖雪梨汤的概率为 ，证明： 为等比数列．
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
5．已知椭圆 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，经过点
且倾斜角为 的直线 与椭圆交于 、 两点（其中点 在 轴上方）， 的周
长为8．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面（平面 ）与 轴负半
轴和 轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直．①若 ，求异面直线 和 所成角的余弦值；
②是否存在 ，使得折叠后 的周长为 ？若存在，求 的值；若不存在，
请说明理由．
变式：直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点 的直线，直线的包
络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都
是该直线族中的某条直线.
（1）若圆 是直线族 的包络曲线，求 满足的关系式；
（2）若点 不在线族： 的任意一条直线上，求 的
取值范和直线族 的包络曲线 ；
（3）在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点 ，
若 三点不共线，探究 是否成立？请说明理由.
