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2024 届大题强化训练及变式训练（10）
1．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）点D在边 上， ，若 ， ，求a．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据余弦定理求出 ，再利用正弦定理求出 ；
（2）在 ， 中分别利用余弦定理列式可得 ，再由条件 切
化弦，根据正、余弦定理化简得 ，运算求得 .
【解析】（1）在 中， ， ，
由余弦定理得 ，即 ，所以 ．
，
由正弦定理 ，得 ，所以 ．
（2）因为 ， ，所以 ， ．
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，即 ①
因为 ，所以 ．又 ，由正弦定理得 ，
，即 ，则 ②
联立①②可得 ，所以 ．
变式：蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色
彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿
马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边
BC上靠近B点的三等分点， ， ．（1）若 ，求三角形手巾的面积；
（2）当 取最小值时，请帮设计师计算BD的长．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由正弦定理求得 的长，即可得 的长，由三角形面积公式即可求得答案.
（2）设 ，利用余弦定理表示出 ，即可得 的表达式，结合基
本不等式确定其最小值，即可求得答案.
【解析】（1）在 中， ， ，故 ， ，
由正弦定理得 ，即 ，
而 ，
故 ，
故 ,
故三角形手巾的面积为
（2）设 ，则 ，
则在 中， ，
在 中， ，
故
，
由于 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，
即 取到最小值即 取最小值时， ，即此时 .
2．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 为等边三角形，点
M，N分别为AB，PC的中点．
（1）证明：直线 平面PAD；
（2）当二面角 为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行；
（2）作出辅助线，得到 ，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平
面的法向量，利用线面角的向量公式求出答案.
【解析】（1）取PD中点E，连接AE，NE，
∵N为PC中点，
∴ 且 ，
又∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 平面PAD， 平面PAD，
∴ 平面PAD．
（2）连接 ，取AD中点F，连接 ，
因为底面 是菱形， ，所以 为等边三角形，
故 ⊥ ，
因为 为等边三角形，所以 ⊥ ，
故 为二面角 的平面角，
因为二面角 为 ，故 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，垂直于平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，则 ， ，∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
， ， ，
设平面PCD的一个法向量 ，
故 ，
令 得 ，故 ，
设MN与平面PCD所成角为 ，
∴ ．
变式：在如图所示的三棱锥 中， 分别是线段 的中
点，且 .
（1）证明：直线 平面 ;
（2）若二面角 的大小为 ，求直线 和平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）【分析】（1）由中位线得到线线平行，结合直角三角形的性质和勾股定理逆定理得到线线垂直，从而
求出线面垂直；
（2）在（1）的基础上得到线线垂直，结合二面角得到 ，求出其他边的长度，进而证明
出 ⊥平面 ，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面的法向量，求出线面角的正弦
值，进而得到余弦值.
【解析】（1）因为 ⊥ ， 为 的中点， ，
所以 ，
又 为 的中点，
所以 ，且 ，
因为 ，所以 ，
即 ⊥ ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
（2）因为 ⊥平面 ， ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ⊥ ，
故二面角 的平面角为 ，
所以 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，以平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标
系，
则 ，
，则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
解得 ，令 ，则 ，故 ，
又 ，
设直线 和平面 所成角大小为 ，
则 ，
则 ，
故直线 和平面 所成角的余弦值为 .
3．已知函数 ， ， .
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 的最小值；
（3）设 ，讨论函数 的零点个数.
【答案】（1） （2）（3）当 时，函数 有一个零点，当 时，函数 有两个零点，当 时，函数
无零点
【分析】（1）求导后令 ，计算即可得；
（2）求导后，令 ，再次求导后可得 的单调性，无法直接求出使
的解，因此虚设零点，借助零点的存在性定理，得到 ，使 ，再
借助对数变形，得到 ，从而构造函数 ，结合函数单调性，得到
，代入 中，即可得解.
（3）变形后可得函数 的零点个数即为 的实数根的个数，结合 的单调性讨论即
可得.
【解析】（1） ，令 ，可得 ，
故 的单调递增区间为 ；
（2） ，
令 ，
则 ，
由 ，故 恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ， ，
故存在 ，使 ，即 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
由 ，则 ，
令 ，则有 ，
，当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，故 ，即 ，
则 ，
即 的最小值为 ；
（3）令 ，
即有 ，
即函数 的零点个数为 的实数根的个数，
由（2）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
又当 时， ，当 时， ，
故当 ，即 时， 有唯一实数根，
当 ，即 时， 有两实数根，
当 ，即 时， 无实数根，
即当 时，函数 有一个零点，
当 时，函数 有两个零点，
当 时，函数 无零点.
变式：已函数 ，其图象的对称中心为 .
（1）求 的值；
（2）判断函数 的零点个数.
【答案】（1） （2）当 时，函数 有三个零点；当 时，函数 有两个零
点；当 时，函数 有一个零点.如果是保留参数b，则答案为：
当 时，函数 有一个零点；当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 有
三个零点.
【解析】（1）图为函教 的图象关于点 中心付称，故 为夺函数，
从而有 ，即 .
，
.
所以 解得 故 ；
（2）法一：由（1）可知， ，
当 时， 为单调增函教， ，，
函数 有且仅有一个零点；
当 时， 有两个正根 ，满足 ，且
，
数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
函数 有且仅有一个零点；
当 时， 有两个零点
当 时， 有两个根 ，满足 ，
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
函致 有且仅有三个零点；
综上，当 时，函数 有三个零点；当 时，函数 有两个零点；当 时，函数
有一个零点
法二：由（1）可知， ，今 ，则
可以转化为 与 两个这数图象交点的个数，
今 ，则 ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增在区间 上单调递增，
当 单调递增 时， 趁于 ；
当x趋于1且比1小时， 趋于+∞：当x趋于1且比1大时， 趋于 ：
当 单调递增 时， 趋于 .所以，当 时，有三个交点；当 时，有两个交点；当 时，有一个交点.
综上，当 时，函数 有三个零点；当 时，函数 有两个零点；当 时，函数
有一个零点.
注意，如果是保留参数b，则答案为：
当 时，函数 有一个零点；当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 有
三个零点.
4．已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试
验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者
在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不
同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为
随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2）若规定试验者乙至多可进行 轮试验（若第 轮不成功，也停止试验），记乙在第
轮使得试验成功的概率为 ，则乙能试验成功的概率为 ，证明：
.
【答案】（1）分布列见解析， （2）证明见解析
【分析】（1）由条件确定的 取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；
（2）由（1）中的结论及结合题意写出每一轮的概率，结合概率乘法公式从而求解.
【解析】（1）由题意得， 的可能取值为 ，
在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为 ，
，
依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为 ，
，
易知 ，
的分布列为：1 2 3
的数学期望 .
（2）证明：当 时，不难知道 ，
，
，
由（1）可知 ，又 ，
，
.
即 .
变式：某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学
每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 ，若前一天选择冰糖雪
梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 ，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百
合汤的概率为 ，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤 的概率．
（2）记该同学第 天中午选择冰糖雪梨汤的概率为 ，证明： 为等比数列．
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
【答案】（1） ； （2）证明见解析；
（3）同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤 概的率大于苹果百合汤的概率.
【分析】（1）利用条件概率公式计算即得.（2）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得.
（3）由（2）求出数列的通项公式，再分奇偶解不等式得解.
【解析】（1）设 表示第一天中午选择冰糖雪梨汤， 表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则 表示
第一天中午选择苹果百合汤.
根据题意得 ，
.
（2）设 表示第 天中午选择冰糖雪梨汤，则 ，
根据题意得 ，
由全概率公式得
，即 ，
不妨设 ，即 ，
所以 ，解得 ，
则 ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（3）由（2）得， .
由题意，只需 ，即 ，
则 ，即 .
显然 必为奇数，偶数不成立.
当 时，有 .
当 时，显然成立.
当 时， ，所以当 时不成立.
因为 单调递减，所以 也不成立.
综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.5．已知椭圆 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，经过点
且倾斜角为 的直线 与椭圆交于 、 两点（其中点 在 轴上方）， 的周
长为8．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面（平面 ）与 轴负半
轴和 轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直．
①若 ，求异面直线 和 所成角的余弦值；
②是否存在 ，使得折叠后 的周长为 ？若存在，求 的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） ；（2）① ；②存在； ．
【分析】（1）由 的周长可求出 的值，从而由离心率的值可求得 ，进而由椭圆中
的关系求出 的值，即可得椭圆的标准方程.
（2）①直线l的方程为 ，与椭圆方程联立求出点 的坐标，再建立空间直角坐标
系，求出点 的坐标，从而可得 ，再利用空间向量的夹角公式即可求解.
②由 8，可得 ，设折叠前
，直线 的方程 与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可
求出 的值，从而可得直线l的斜率，进而可得tan 的值.
【解析】（1）由椭圆的定义知： ，所以 的周长 ，所以 ，
又椭圆离心率为 ，所以 ，所以 ， ，
由题意，椭圆的焦点在 轴上，
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）①由直线 ： 与 ，
联立求得 ，（因为点 在 轴上方）以及 ，
再以 为坐标原点，折叠后原 轴负半轴，原 轴，原 轴正半轴所在直线为 ， ， 轴建立空间直
角坐标系，则
， ， ， ，
， ．
记异面直线 和 所成角为 ，则 ；
②设折叠前 ， ，折叠后 ， 在新图形中对应点记为 ， ， ，
，
由 ， ，故 ，
将直线 方程与椭圆方程联立 ，得 ，
， ，在折叠后 的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原 轴仍然为 轴，原 轴正半轴为 轴，原 轴
负半轴为 轴）；
， ，
所以 ，（i）
又 ，
所以 ，（ii）
由（i）（ii）可得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
变式：直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点 的直线，直线的包
络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都
是该直线族中的某条直线.
（1）若圆 是直线族 的包络曲线，求 满足的关系式；
（2）若点 不在线族： 的任意一条直线上，求 的取值范和直线族 的包络曲线 ；
（3）在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点 ，
若 三点不共线，探究 是否成立？请说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；直线族 的包络曲线 为 ．（3）成立,过程
见解析
【解析】（1）由定义可知， 与 相切，则圆 的圆心 到直线
的距离等于1，则 ，叔 .
（2）点 不在直线族 的任意一条直线上，所以无论
取何值时， 无解.
将 整理成关于 的一元二次方程；
.
若该方程无解，则 ，即 .
证明：在 上任取一点 在该点处的切线斜率为 ，于是可以得到
在 点处的切线方程为： ，即 .
今直线族 中 ，则直线为 ，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意 那是抛物线在点 处的切线.
所以直线族 的包络曲线 为 .
（3）法一：已知 ，设 ，则 .
.
由（2）知， 在点 处的切线方程为 ；同理 在点 处的切
线方程为 .，所以 .
因此 ，
同理： .
所以 ，
即 ，所以 成立.
法二：过 分别作准线的垂线 ，连接 .
因为 .
显然 .
又由抛物线定义得： ，故 为线段 的中垂线，得到 ，即
.
同理可知 ，
所以 ，即 .
则 .
所以 成立.
