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2024 届大题强化训练及变式训练（11）
1．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，
点 在侧棱 上， .
（1）证明： 是侧棱 的中点；
（2）求二面角 的正弦值.
变式：如图，四棱锥 的底面为正方形，平面 平面 ， 在 上，且
．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， 为 的中点，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
2 ． 在 梯 形 中 ， ， 设 ， ， 已 知.
（1）求 ；
（2）若 ， ， ，求 .
变式：如图，在 中， ， ， ，点 在边 的延长线上.
（1）求 的面积；
（2）若 ， 为线段 上靠近 的三等分点，求 的长.
3．人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性
别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
外向型 内向型男性 45 15
女性 20 10
（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿
者．设这三人中性格外向型的人数为 ，求 的数学期望．
（2）对表格中的数据，依据 的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与
人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性
检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式： ．
0.1 0.05 0.01
2.70 3.84 6.63
6 1 5
变式：2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，
有 ， ， ， ， 共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练
前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图
中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”.
优秀人数 非优秀人数 合计训练前
训练后
合计
（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值 的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与
训练是否有关？并说明原因；
（2）从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是
训练前也为“优秀”的概率；
（3）跳水员 将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规
定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才
记为“优秀”.每轮测试中，跳水员 在每个高度中达到“优秀”的概率均为 ，每个高度互不影响
且每轮测试互不影响.如果跳水员 在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论
上至少要进行多少轮测试？
附： ，其中 .
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
4．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求证： ；
（3）若 且 ，求证： ．变式：已知函数 .
（1）若函数 为增函数，求 的取值范围；
（2）已知 .
（i）证明： ；
（ii）若 ，证明： .
5．已知双曲线 的两条渐近线分别为 上一点 到 的距离之
积为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设双曲线 的左、右两个顶点分别为 为直线 上的动点，且 不在 轴上，直线
与 的另一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，直线
与 的交点为 ，证明 ．变式：如图， 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线于 两点，直线
交抛物线的准线于点 ，设抛物线在 点处的切线为 ．
（1）若直线 与 轴的交点为 ，求证： ；
（2）过点 作 的垂线与直线 交于点 ，求证： ．
