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2024 届大题强化训练及变式训练（14）
1．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号
召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分
钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小
矩形的高度比为3：2：1．
（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据
用该组区间的中点值为代表）；
（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学
生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数
记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望．
变式：某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞机
进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100架新能源无人飞机 单的次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中
点值代表）；
（2）经计算第（1）问中样本标准差 的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无
人飞机的单次最大续航里程 近似地服从正态分布 （用样本平均数 和标准差 分别作为
和 的近似值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程 的概率；
（参考数据：若随机变量 ，则
）
（3）该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A型､卓越 型和卓越
型，统计分析可知卓越A型､卓越 型和卓越 型的分布比例为 ，研发中心在投放市场前决定
分别按卓越A型､卓越 型和卓越 型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3
架进行综合性能测试，记随机变量 是综合性能测试的3架中卓越A型的架数，求随机变量 的分布
列和数学期望.
2．如图，在平面凸四边形 中， .（1）求 ；
（2）若 ， ，求 .
变式：如图，平面四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ，
， .
(1)求 的面积；
(2)求 的值及 的长度.
3．已知函数 ，
（1）若 在定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）当 时，求 的极值点．变式：已知函数 .
（1）讨论 的单调区间；
（2）若 有三个极值点，求正数 的取值范围.
4．已知椭圆 的离心率为 ，左右两顶点分别为 ，过点 作斜
率为 的动直线与椭圆 相交于 两点.当 时，点 到直线 的距离为 .（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 关于原点的对称点为 ，设直线 与直线 相交于点 ，设直线 的斜率为
，试探究 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.
变式：设异面直线 与 所成的角为 ，公垂线段为 ，且 ， 、 分别直线
m、n上的动点，且 ， 为线段 中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点 的轨迹
方程 ．
（1）请根据自己建立的平面直角坐标系求出 ．
（2） 为 的任意内接三角形，点 为 的外心，若直线 的斜率存在，
分别为 ， ， ， ，证明： 为定值．
5．若存在常数 ，使得数列 满足 （ ， ），则称数列 为“
数列”.
（1）判断数列：1，2，3，8，49是否为“ 数列”，并说明理由；
（2）若数列 是首项为 的“ 数列”，数列 是等比数列，且 与 满足
，求 的值和数列 的通项公式；
（3）若数列 是“ 数列”， 为数列 的前 项和， ， ，试比较 与
的大小，并证明 .变式：定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ －数列”.
(1)已知等比数列 满足： ，求证:数列 为“ －数列”；
(2)已知数列{b}满足: ，其中 为数列 的前 项和．
n
①求数列 的通项公式；
②设 为正整数，若存在“ －数列” ，对任意正整数 ，当 时，都有
成立，求 的最大值．
