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2024 届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（5）
1．某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现
场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且
．
（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每
个人摸奖相互独立，设恰好有 个人摸到一等奖的概率为 ，求当 取得最大值
时 的值．
附：若 ，则 ．
【答案】（1）159 （2） 取得最大值时n的值为8
【分析】（1）利用正态分布的对称性可求 ，故可估算年龄不低于60岁的人数.
（2）利用不等式组 可求 取得最大值时 的值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则 ，
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为 (人)．
（2）依题意可得， ，
设 ，
所以 ，
所以
所以 ，因 为整数，所以 ，
所以当 取得最大值时 的值为8．
变式：已知某客运轮渡最大载客质量为 ，且乘客的体重（单位： ）服从正态分布
．
（1）记 为任意两名乘客中体重超过 的人数，求 的分布列及数学期望（所有结果均精确到
0.001）；
（2）设随机变量 相互独立，且服从正态分布 ，记 ，则当时，可认为 服从标准正态分布 ．若保证该轮渡不超载的概率不低于 ，求最多
可运载多少名乘客．
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ；若 服从标准正态
分 布 ， 则 ； ， ，
．
【答案】（1）分布列见解析，期望值为 ； （2）
【分析】（1）首先求得乘客体重大于 的概率为 ，再利用二项分布可求得概率得分布列
和期望值；
（2）根据 可得保证该轮渡不超载的概率不低于 等价于
，解不等式可得 .
【解析】（1）由乘客的体重（单位： ）服从正态分布 可得 ，
则可得 ，
即任意一名乘客体重大于 的概率为 ，
则 的所有可能取值为 ，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
期望值为
（2）设 为第 位乘客的体重，则 ，其中 ，
所以 ，
由 可得 ，
即 ，可得 ，即 ， .
所以保证该轮渡不超载的概率不低于 ，最多可运载64名乘客.
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， 底面ABCD， ，E为线段PB的
中点，F为线段BC上的动点．（1）证明：平面 平面PBC；
（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为 ，求点P到平面AEF的距离．
【答案】（1）证明见解析 （2） ．
【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明；
(2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解.
【解析】（1）方法一：
因 为底面ABCD， 平面ABCD，
所以 ．
因为ABCD为正方形，所以 ，
又因为 ， 平面PAB， 平面PAB，
所以 平面PAB．
因为 平面PAB，所以 ．
因为 ，E为线段PB的中点，
所以 ，
又因为 ， 平面PBC， 平面PBC，
所以 平面PBC．
又因为 平面AEF，
所以平面 平面PBC．
方法二：
因为 底面ABCD， 平面PAB，所以平面 底面ABCD
又平面 底面 ， ， 平面ABCD，
所以 平面PAB．
因为 平面PAB，所以 ．
因为 ，E为线段PB的中点，所以 ．
因为 ， 平面PBC， 平面PBC，
所以 平面PBC，
又因为 平面AEF，
所以平面 平面PBC
解法三：因为 底面ABCD， ，
以A为坐标原点，以 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ， ， ， ，
设 为平面AEF的法向量，
则 所以 取 ，则 ， ，
则 ，
设 为平面PBC的法向量，
则 所以 取 ，则 ， ，则
因为 ，所以 ,
所以平面 平面PBC.
（2）（基于（1）解法一、二）
因为 底面ABCD， ，以A为坐标原点，以 的方向分别为x轴，y轴，z轴的
正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则 ，
易知 是平面PAB的法向量
设 ，则 ，所以 ， ，
所以
即 ，得 ，所以 ，
设 为平面AEF的法向量，则
所以平面AEF的法向量 ，
又因为
所以点P到平面AEF的距离为 ，
所以点P到平面AEF的距离为 ．
（另解）由（1）可知， 是直线AF与平面PAB所成的角，
所以
解得 ，故F是BC的中点．所以 ， ，
的面积为
因为 ， 的面积为
设点P到平面AEF的距离为h，则有
解得
所以点P到平面AEF的距离为 ．
（基于（1）解法三）
易知 是平面PAB的法向量
所以 ，
即 ，解得
所以 ，
又因为
所以点P到平面AEF的距离为 ，
所以点P到平面AEF的距离为 ．
变式：如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥 与一个三棱锥 拼接而成，正四棱
锥A-BCDE的所有棱长均为 .
（1）在棱DE上找一点G，使得面 面AFG，并给出证明;（2）当 时，求点F到面ADE的距离;
（3）若 ，求直线DF与面ABC所成角的正弦值.
【答案】（1）当点 为 中点时，证明见解析 （2） （3）
【分析】（1）当点 为 中点时，面 面 ，利用面面垂直的判定即可证明；
（2）首先证明 面 ，再利用等体积法即可；
（3）建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.
【解析】（1）当点 为 中点时，面 面 ，
证明如下：因为四棱锥 是正四棱锥，所以 .
在正方形 中， ，所以 ，
在正方形 中， ，因为 ，所以 ，
因为 面 ，
所以 面 ，
因为 面 ，所以面 面 .
（2）连接 ， 交于点 ，连接 ， ，则 ，
又因为四棱锥 是正四棱锥，所以 面 ，
所以四边形 为矩形，
，又 ， 面 ， 面 ，
又 ，
设点 到面 的距离为 ，即 ，
，所以，点 到面 的距离为 .
（3）因为四棱锥 是正四棱锥，所以 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则有
取 ，则 ，故 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .3．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围；
（3）当 时，试判断函数 的零点个数，并给出证明．
【答案】（1）答案见解析 （2） （3）有且仅有2个零点，证明见解析
【分析】（1）对 求导，再分 与 两种情况分类讨论 的单调性即可求解；
（2）根据条件，分离常量得到 ，构造 ，将问题转化成求 的
最大值，即可解决问题；
（3）构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理即可求解．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时，令 ，
解得 （舍去负根），
令 ，得 ；令 ，得 ．
综上所述，
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由 恒成立，得 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立．令 ，
则 ．
令 ，
易知 在 上单调递减．
又 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，也 是最大值，
即 ，
所以 ，即 的取值范围为 ．
（3）当 时， ，
则 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减．
又 ，
所以 在 上存在唯一 的零点．
设 在 上的零点为 ，
可得当 时， ， 单调递增；
当 时， 单调递减，
解法一： ，
因为 ，所以 ，
故 ．又 ，所以 ．又 ，
所以 在 上有一个零点．
又 ，
所以 在 上有一个零点．
当 时， ，
所以 在 上没有零点．
当 时，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，
而 ，所以 ，
故 在 上没有零点．
综上所述， 在定义域 上有且仅有2个零点．
解法二：因为 ， ，
所以 在 上有一个零点．
又 ，
所以 上有一个零点，
在
当 时， ，
易证 ，所以 ，
从而 在 上恒成立，
故 在 上没有零点．
当 时， ，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递减．
又 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
故 在 上没有零点．
综上所述， 在定义域 上有且仅有2个零点．
变式：已知函数
（1）讨论函数 在区间 上的单调性;
（2）证明函数 在区间 上有且仅有两个零点.
【答案】（1）单调递增； （2）证明见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，再判断导函数值的正负即得.
（2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可.
【解析】（1）函数 ，当 时， ，
所以 在 上的单调递增.
（2）由（1）知， ，当 时， ，函数 在 上单调
递增，
， ，因此函数 在 上有唯一零点；
当 时，令 ，求导得 ， 在 上单调递增，
，则存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 ，即 单调递减，
当 时， ，函数 ，即 单调递增，
又 ， ，则存在 ，使得 ，当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递
减，
而 ， ，因此函数 上有唯一零点，
所以函数 在区间 上有且仅有两个零点.
4．已知椭圆 ： （ ）中，点 ， 分别是 的左、上顶点， ，
且 的焦距为 ．
（1）求 的方程和离心率；
（2）过点 且斜率不为零的直线交椭圆于 ， 两点，设直线 ， ， 的斜率分别为 ，
， ，若 ，求 的值．
【答案】（1） ， （2）
【分析】（1）由 的值，可得 ， 的关系，再由焦距可得 的值，又可得 ， 的关系，两式
联立，可得 ， 的值，即求出椭圆的方程；
（2）设直线 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线 ， 的斜率之
和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线 的斜率的大小．
【解析】（1）由题意可得 ， ，
可得 ， ，可得 ，
可得 ， ，
解得 ， ，
所以离心率 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率 ；
（2）由（1）可得 ，
由题意设直线 的方程为 ，则 ，
设 ， ，
联立 ，整理可得 ，
显然 ，且 ， ，
直线 ， 的斜率 ， ，则
，
因为 ，即 ，解得 ，
所以直线 的斜率 ．
即 的值为3．
变式：已知椭圆E： 过点 ，且其离心率为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点 的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直
线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足 ，问 是否为定值，若是，求出该
定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）．
【答案】（1） （2）是定值，定值为
【分析】（1）将点代入椭圆方程，以及联立离心率可求得椭圆方程；
（2）首先设过点 的直线为 ，与椭圆方程联立，利用坐标分别表示直线 和
方程，并求得点 的坐标，利用几何关系，转化 ，即可求解.【解析】（1）由题意可知， ，解得： ， ， ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）设过点 的直线为 ， ， ， ， ，
联立 ，得 ，
， ，
，所以 ，
，联立直线 和 方程，
得 ，
，
所以 ，得 ， ，即
因为点 是 的中点， ，所以 ，
所以 .
所以 是定值，且定值为 .5．对于数列 ，记 ，称数列 为数列 的一阶差分数列；记
，称数列 为数列 的二阶差分数列，…，一般地，对于
，记 ，规定： ，称 为数列
的 阶差分数列．对于数列 ，如果 （ 为常数），则称数列 为 阶等差
数列．
（1）数列 是否为 阶等差数列，如果是，求 值，如果不是，请说明为什么？
（2）请用 表示 ，并归纳出表示 的正确结论（不要求证明）；
（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列 为 阶等差数列，则其前 项和为
；
（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层
有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”
都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
【答案】（1）数列 是二阶等差数列，2
（2） ， ，
（3）证明见详解 （4）22
【分析】（1）由新定义可直接证明数列 是二阶等差数列；
（2）由 的关系，递推可得答案；
（3）首先证明数列 为 阶等差数列，再结合（2）可得
；
（4）由（3）得： ，方法一：结合等差数列的前n项和公式
可得答案；方法二：结合组合数的性质可得答案.
【解析】（1）因为 ，
而 ，
所以 ，数列 是二阶等差数列．
（2）因为数列 为 阶等差数列，则 ，
则 ，
则 ，
，
．归纳得一般结论： ①．
（3）设数列： ，因为 ，
所以数列 为 阶等差数列，
由（2）中①得： ，因为
所以 ．
【小问4详解】
由（1）知数列 为二阶等差数列，
且 ，
则由（3）得：
②．
设共堆积了 层，第 层共有 个球，第1层有1个球，因为每层的“边”比上一层多1个球，所以
第 层的“边”共有 个球，则第 层的球数为 ．
则这 层所有球的个数为 ．
【法一】由②式得：
．
解得： ．
答：这位同学共堆积了22层．
【法二】
．
解得： ．
答：这位同学共堆积了22层．
变式：已知 为正整数，数列 ，记 .对于数列 ，总有
，则称数列 为 项 数列.若数列 ，均
为 项 数列，定义数列 ，其中 .
（1）已知数列 ，求 的值；（2）若数列 均为 项 数列，求证： ；
（3）对于任意给定 的正整数 ，是否存在 项 数列 ，使得
，并说明理由.
【答案】（1）4 （2）证明见解析 （3）答案见解析
【分析】（1）根据数列 的定义分别求出 , ,进一步计算即可得到答案；
（2）记数列 数列 ，分别考虑 ， 两种情
况，从而得出结论；
（3）分别讨论 为奇数和偶数两种情况，根据定义分析运算，从而得到结论.
【解析】（1）根据题中定义知，
数列： ，数列 ，
所以 ,
故 .
（2）对于 数列 ，
记数列 对于 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
故对于数列 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，
所以数列 与数列 是同一数列，
故 .
（3）若 是奇数，则不存在满足条件的 项 数列 ，
证明如下：
对于3个 项 数列 ，
记 ，
则 ，
当 时， ，
当 中有一个不同于其他两个时，
，
所以 是奇数，
则
为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为 ；若 为偶数，即 ,
可构造： ， , ，
此时数列 为 ，数列 相同，
都是 ，
所以有 ，
综上所述，当 为偶数时，
有可能为 ；
当为奇数时，不可能成立.
