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2024 届大题强化训练及变式训练（6）
1．如图，在四棱台 中，下底面 是平行四边形， ，
， ， ， ， 为 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析； （2） .
【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出 ，进而证得 ，再利用线面垂直、
面面垂直的判定推理即得.
（2）由已知证得 平面 ，再以 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求
解即得.
【解析】（1） 在中，由 ，得 ，而 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
则 ，即 ，又 ， ，
平面 ，因此 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）在四棱台 中，由 ，得 ，有 ，
在梯形 中， ，过 作 交 于点 ，
则 ，又 ，显然 ，则 ，即 ，
又 平面 ，于是 平面 ，
以 为坐标原点，以 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，， ，
设 平 面 的 法 向 量 为 ， 则 ， 令 ， 得
，
而 ，设 与平面 所成角大小为 ，
因此 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
变式：如图，圆台上底面圆 半径为1，下底面圆 半径为 为圆台下底面的一条直径，圆
上点 满足 是圆台上底面的一条半径，点 在平面 的同侧，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若圆台的高为2，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）取 中点 ，四边形 为平行四边形，从而得到 ，根据
平面 可得 平面 ，从而得到需求证的面面垂直.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出 及平面 的法向量后可求线面角的正弦值.
【解析】（1）取 中点 ，由题意， ，
又 ，故 .
又 ，故 ，
所以四边形 为平行四边形，则 .
由 平面 ，故 平面 ，
又 面 ，故平面 平面 .（2）以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系.则有： ，
故
设平面 的法向量
而 ，
故 ，令 ，得
设所求角的大小为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
2．已知数列 满足， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对任意 ，求 的最小整数值．
【答案】（1） （2）1
【分析】（1）作差法，计算得到 ，验证 是否成立，进而得到数列 的通项公式；
（2）令 ，利用错位相减法得到 ，即可求得 的最小整数值．
【解析】（1）因为 ，①当 时， ，②
①-②得 ，
即 ．
当 时， 也符合上式，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
令 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，故 的最小整数值为1．
变式：已知数列 前n项和为 ， ，且 ．
的
(1)求数列 的通项；
(2)设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求
的范围．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)当 时， ， ，
当 时，由 ①，得 ②，① ②得
，又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
(2)由 ，得 ，所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 ．
3． 某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个
标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的
谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，
且取到异号球的概率为 ．
（1）求盒中2号球的个数；
（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺
序（猜对谜语的概率相互独立）
球号 1号球 3号球
答对概率 0.8 0.5
奖金 100 500
【答案】（1）4个 （2）推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语
【分析】（1）由取到异号球的概率为 ，设1，2，3号球的个数分别为n， ，n，列方程求解；
（2）分先回答1号球中的谜语和先回答3号球中的谜语两种情况，分别计算奖金的数学期望，比较后
得结论.【解析】（1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n， ，n，
则取到异号球的概率 ，
，即 ．解得 ．
所以盒中2号球的个数为4个．
（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，
因为猜对谜语的概率相互独立，记 为甲获得的奖金总额，
则 可能的取值为0元，100元，600元，
，
，
．
X的分布列为
X 0 100 600
P 0.2 0.4 0.4
的均值为 ，
若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，
记Y为甲获得的奖金总额，则Y可能的取值为0元，500元，600元，
．
Y的分布列为
Y 0 500 600
P 0.5 0.1 0.4
的均值为 ，
因为 ，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语．
变式：某公司生产某种出口商品，为严把质量关，对每件商品请3位专家进行质量把关，质量把关程
序如下：（i）若一件商品 位专家都认为质量过关，则该商品质量为 级；（ii）若仅有 位专家认
为质量不过关，再由另外 位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这 位专家都认为质量过
关，则该商品质量为 级，若第二次质量把关这 位专家中有 位或 位认为质量不过关，则该商品质
量为 级；（iii）若有 位或 位专家认为质量不过关，则该商品质量为 级．已知每一次质量把关
中一件商品被 位专家认为质量不过关的概率为 ，各商品质量是否过关相互独立．
（1）对两件商品进行质量把关，求两件商品质量均为 级的概率；
（2）若一件商品质量为 级，则该商品可出口外销，且利润分别为 元， 元， 元，
若一件商品质量为 级，则不能出口外销，利润记为 元．记 件商品的利润为 元，求 的分布列与数学期望．
【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得所求概率.
（2）根据（1）求得 的分布列，进而求得数学期望.
【解析】（1）由题意，对一件商品进行质量把关，其质量为 级的概率为 ，
质量为 级的概率为 ，
质量为 级的概率为 ，
质量为 级的概率为 ．
对两件商品进行质量把关，两件商品质量均为 级的概率 ．
（1）X的分布列为：
1000 500 200 10
数学期望为 ．
4．已知矩形 中， 分别是矩形四条边的中点，以矩形中心
为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线
上的动点 满足 .
（1）求直线 与直线 交点 的轨迹方程；
（2）当 时，过点 的直线 （与 轴不重合）和点 轨迹交于 两点，过点 作直
线 的垂线，垂足为点 .设直线 与 轴交于点 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） 不含点 ； （2） .
【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用 表示点 ，再求出直线 的方程，联立消去
参数 即得.（2）设出直线 的方程，与点 的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点 坐标，再建立三角形面积
的函数关系，并求出最大值即得.
【解析】（1）依题意， ，
设点 ，由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
当 时，直线 ，直线 ，
联立消去参数 得 ，即 ，
当 时，得交点 ，满足上述方程，
所以直线 与直线 交点 的轨迹方程: 不含点 .
（2）当 时，点 ，过点 的直线 可设为 ，
由 消去x得： ，即 ，
设 ，则 ，
依题意， ，直线 ，
令 ，得点 横坐标 ，又 ，
则 ，
因此直线 过定点 ，显然 ，
而 ，
令 ， ，
当且仅当 ，即 取等号，此时 ，
所以 面积的最大值为 .变式：已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，且 垂直于
轴．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 斜率存在，交椭圆 于 两点， 三点不共线，且直线 和直线 关于
对称．
（ⅰ）证明：直线 过定点；
（ⅱ）求 面积的最大值．
【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）由焦点坐标和椭圆上的点，求椭圆 的方程；
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由 ，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所
过定点，利用面积公式表示出 的面积，由基本不等式求最大值.
【解析】（1）点 在椭圆 上，且 垂直于 轴，则有
设椭圆 的焦距为 ，则 ，
点 代入椭圆方程，有 ，
解得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（1）（ⅰ）设直线l的方程为 ，由 ，
消去y，整理得 ，
因为l交椭圆C于 两点，所以 ，设 ，所以 ，
因为直线 和直线 关于 对称，
所以
所以
所以
解得 .
所以直线l的方程为 ，
所以直线l过定点 .
（ⅱ）设直线l的方程为 ，由 ，
消去 ，整理得 ，
因为l交椭圆C于 两点，所以 ，
解得 ，
，
所以 ，
所以
令
则 ，当且仅当 时取等号，所以 面积的最大值为 .
5．已知函数 ．
（1）若函数 有3个不同的零点，求a的取值范围；
（2）已知 为函数 的导函数， 在 上有极小值0，对于某点 ，
在P点的切线方程为 ，若对于 ，都有 ，则称P为好
点．
①求a的值；
②求所有的好点．
【答案】（1） （2）① ；②
【分析】（1）首先讨论当 时，有1个零点，当 时，参变分离为 存在两个根，再利用
导数分析函数 的图象，即可求解 的取值范围；
（2）①利用二次导数求函数 的极小值，根据极小值为0，即可求解 的值；
②首先求函数在点 处的切线方程，再根据好点的定义，讨论 和 两种情况，求好点.
【解析】（1）当 ， 单调递增，
且 ，当 时， ，因此 在区间 上存在唯一零点，
当 时，只要 存在两个根即可，即 存在两个根，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
由 ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时，在区间 有2个零点，
因此 得到取值范围是 ；
（2）① ， ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，得 ，
②设 为好点，对于任意 ，都有 ，
当 时， 成立，
当 时，即为当 时， ，
当 时， 成立，
因为 在 点的切线方程为 ，
所以 ，
设 ，即 ，
，
又因为 在 上单调递减， 上单调递增，故分情况讨论，
（1）当 时，因为 为好点，所以 恒成立，
若 ， 在 上单调递增， ， ，
所以 在 时单调递增， ，满足条件，故 时成立；
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ， ，
所以 在 时单调递减， ，矛盾，不满足条件；
（2）当 时，因为 为好点，所以 恒成立，
若 ， 在上单调递减， ， ，
所以 在 时单调递增， ，满足条件，故 时成立；
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ， ，
所以 在 时单调递减， ，矛盾，不满足条件；
综上可知，由（1）（2）可得， 且 ，即 ，所以只有一个好点 .
变式：帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数
m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
， ， ，…， ．（注：， ， ， ，…； 为
的导数）已知 在 处的 阶帕德近似为 ．
（1）求实数a，b的值；
（2）比较 与 的大小；
（3）若 在 上存在极值，求 的取值范围．
【答案】（1） ， ； （2）答案见解析； （3） ．
【分析】（1）由 ， ，列方程组求实数a，b的值；
（2）令 利用导数研究单调性，又 ，可比较 与
的大小；
（3）由 在 上存在极值，所以 在 上存在变号零点，通过构造函数分类讨论，
对 的零点进行分析．
【解析】（1）由 ， ，有 ，
可知 ， ， ， ，
由题意， ， ，所以 ，所以 ， ．
（2）由（1）知， ，令 ，
则 ，
所以 在其定义域 内为增函数，又 ，
时， ； 时， ；
所以 时， ； 时， ．
（3）由 ，
．
由 在 上存在极值，所以 在 上存在变号零点．
令 ，则 ，
．① 时， ， 为减函数， ， 在 上为减函数，
，无零点，不满足条件．
②当 ，即 时， ， 为增函数， ， 在 上为增
函数， ，无零点，不满足条件．
③当 ，即 时，令 即 ， ．
当 时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数，
；
令 ， ， ， 在 时恒成立，
在 上单调递增， ， 恒成立；
， ， ，则 ，
，
；
，
令 ，
令 ， ，
则 在 是单调递减， ，所以 ，
，
令 ，则 ， ，
．
，即 ．
由零点存在定理可知， 在 上存在唯一零点 ，又由③知，当 时， ， 为减函数， ，
所以此时， ，在 内无零点，
在 上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为 ．
