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2024 届大题强化训练及变式训练（7）
1．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 的平分线交 于 ，且 ，求 的最小值.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）借助降幂公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得.
（2）借助等面积法及基本不等式即可得.
【解析】（1） ，则 ，
由正弦定理可知： ，
又 ，化简得 ，
即 ，
所以， ，
即 ，因为 ，所以 ，从而 ；
（2）由题意可得： ，
且 ，即 ，
化简得 ，即 ，
因为 ，所以
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为9.
变式：在△ABC中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 边上的一点， ，且__________，求△ABC的面积．
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
① 是 的平分线；
② 为线段 的中点.
【答案】（1） （2） ;【解析】（1）由倍角公式得：
（2）若选①：由 平分 得： ，
，
即 .
在∆ABC中，由余弦定理得 ，
，
联立 ，得 ，
解得 ，
若选②：得 ，
，
得 ，
在∆ABC中，由余弦定理得 ，
，
联立 ，得 ，
2．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 分别为 的中点， 为线段
上一点，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 平面 ，且 ，求二面角 的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，设 ，连接 ，利用相似比证明
，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
设 ，连接 ，则 为 的中点，
因为 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，所有 且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
不妨设 ，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 ．变式：如图，四棱锥 中，底面 是边长为2 菱形， ，已知 为棱
的
的中点， 在底面的投影 为线段 的中点， 是棱 上一点.
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若 ，确定点 的位置，并求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2） 为 中点， .
【分析】（1）根据角平分线性质定理得 ，由平行线分线段成比例定理得 ，
再由线面平行的判定可证；
（2）利用线面垂直可得 ，进而得 平面 ，由线面垂直得 ，然后根据
等边三角形三线重合即得 为 中点，以 为原点，分别以 为 轴，以过 点且与平面
垂直的直线为 轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用公式
求解即可
【解析】（1）设 ，因为底面 是边长为2的菱形，
所以 ，对角线BD平分 ，
又 为棱 的中点，所以 ,
在 中，根据角平分线性质定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
， 平面 ，且 平面 平面 .
（2） 平面 ，且 平面 ， ，
因为 ，所以 ，
在 中， ， ，所以 是等边三角形，
又 为棱 的中点，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面ABCD， 平面 ，
又 平面 ， ，
又 ， 平面 ，平面 ，且 平面 ， .
因为P在底面的投影H为线段EC的中点，所以 ，又
所以 为等边三角形，故 为 中点，
所以 在底面 上的投影为 的中点.
在 中， ，
，
以 为原点，分别以 为 轴，
以过 点且与平面 垂直的直线为 轴建立空间直角坐标系，
所以 ，
，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，即 ，
平面 ， 是平面 的一个法向量，
，
因为二面角 是一个锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
3．为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们
期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图①为学生期中考试数
学成绩的频率分布直方图，图②为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在
110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不
经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占 ．（1）根据图①、图②中的数据，画出 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析数
学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？
（2）用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题与不经常整理错题进行分层随机抽样，随机抽
取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀
的人数X的分布列和数学期望．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）表见解析；认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联
（2）分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为 得到方程，求出 的值，从而得到列
联表，再计算卡方，即可判断；
（2）依题意可得 的可能取值为 ， ， ，再求出其所对应的概率，从而得到分布列与数学期望.
【解析】（1）由题意可得 ，
解得 ．
所以数学成绩优秀的有 人，
则成绩不优秀的有 人，
经常整理错题的有 人，则不经常整理错题的有 人，
所以经常整理错题且成绩优秀的有 人，
则 列联表如下：
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为 ：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得 ，根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于 ．
（2）由分层随机抽样知随机抽取的 名学生中，
则经常整理错题的有 人，不经常整理错题的有 人，
所以 的可能取值为 ， ， ，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到 人记为事件 ，
则 ．
由（1）知经常整理数学错题的学生中数学成绩优秀的学生占 ，数学成绩不优秀的学生占
，
参与座谈的 名学生中，经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到 人记为事件 ，
则 ， ， ，
， ， ．
所以
，
，
，
故 的分布列为
X 0 1 2
P
则数学期 ．
变式：人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解
人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的
方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行
调查，其数据的统计结果如下表所示：ChatGPT应 服务业就业人数的
用的广泛 合计
性 减少 增加
广泛应用 60 10 70
没广泛应
40 20 60
用
合计 100 30 130
（1）根据小概率值 的独立性检验，是否有 的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业
就业人数的增减有关？
（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机
抽取3人，记抽取的3人中有 人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求 的分布列和均值.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，
【分析】（1）根据题意求 ，并与临界值对比判断；
（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望.
【解析】（1）零假设为 ：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.
根据表中数据得 ，
所以根据小概率值 的独立性检验，
没有充分证据推断 不成立，因此可以认为无关.
（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，
有 人认为人工智能会在服务业中广泛应用，
有 人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，
则 的可能取值为 ，
又 ，
所以 的分布列为
1 2 3所以 .
4．己知椭圆 的离心率是 ，过点 的动直线 与椭圆相交于 ，
两点，当直线 与 轴垂直时，直线 被椭圆 截得的线段长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在与点 不同 定点 ，使得 恒成立?若存在，求出点 的坐标；若不存
的
在，请说明理由.
【答案】（1） （2）存在定点 ，使得 恒成立
【分析】（1）由离心率及过点 列方程组求解 .
（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出 ，设点 关于 轴的对称点 ，证得 三点共
线得到 成立.
【解析】（1）依题意可得点 在椭圆上，
所以 ，解得 ，所以椭圆的方程为 .
（2）当 垂直于 轴时，设直线 与椭圆相交于 ， 两点，如果存在点 满足条件，
则有 ，即 ，所以点 在 轴上，设 ，
当 与 轴重合时，设直线 与椭圆相交于 ， 两点，不妨设 ， ，
则由 ，即 ，解得 或 ，
所以若存在不同于点 的定点 满足条件，则点 的坐标为 ；
下面证明：对任意的直线 ，均有 ，当 不平行于 轴且不垂直于 轴时，设直线 方程为 ， ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
因为直线 恒过椭圆内定点 ，故 恒成立，
所以 ， ，
所以 ，
易知点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，
又 ， ，
所以 ，则 三点共线，所以 ；
综上：存在与点 不同的定点 ，使 恒成立.
变式：已知抛物线 的焦点和椭圆 的右焦点相同，点 的坐标分别为
是抛物线上的点，设直线 与抛物线的另一交点分别为 ．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：当点 在抛物线上变动时（只要点 存在，且点 与点 不重合），直线 恒过定
点，并求出定点坐标．
【答案】（1） （2）证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）由已知求得椭圆右焦点坐标及抛物线焦点坐标，进而可求得结果.（2）设出 ， ， 坐标，由 ， ， 三点共线可得 ，进而可得 ，同
理可得 ，分别写出 与 时直线EP的方程即可求得定点.
【解析】（1）由题意知， ， ，则 ，
所以椭圆的右焦点为 ，又抛物线 焦点为 ，所以 ，即 ，
所以抛物线的标准方程为 ．
（2）证明：如图所示，
设 ， ， ，
则 ， ．
由 ， ， 三点共线可得 ，即 ，
化简，得 ．
所以 ．
同理：由 ， ， 三点共线可得 ．
①当 ，即 时，直线EP的斜率存在，
此时 ，
所以直线EP的方程为 ，
即 ，整理得 ．
所以直线EP恒过定点，定点坐标为 ．
②当 ，即 时，直线EP的斜率不存在，此时 ，
所以直线EP的方程为 ，过定点 ．
综上所述，直线EP恒过定点，定点坐标为 ．
5．小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
（1）若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中 次，第二组投篮2次，投中 次，求
；
（3）记 表示小明投篮 次，恰有2次投中的概率，记 表示小明在
投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中
的次数不足2次也不再继续投），证明： .
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【分析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案；
（2）方法1：得到 的可能取值及相应的概率，求出期望值；
方法2：得到 ， ，得到 ， ，由 ， 互相独立，求出
，得到答案；
（3）先计算出 ，再求出 ， ，利用互斥事件求概率公式和错
位相减法得到 ，计算出 ，作商比较出
，从而证明出结论.
【解析】（1）设事件 表示共有 次投中，事件B表示第二次没投中，
则 表示一共投中2次，且第二次没投中，则从剩余的三次选择两次投中，
故 ，
表示一共投中2次，故 ，
则 ；
（2）方法1：根据题意有 可得取值为 ， 的可能取值为 ，故 的可能取值为 ，
则 ，
，
，
，
，
.
所以 .
方法2：因为 ， ，
所以 ， .
又因为 ， 互相独立，
所以 .
（3）根据题意可知 .
， ，
，
记 ①，
②，两式相减得 ，
故 ，
故 .
所以
，
又因为 ，且当 时， ，
所以 .
变式： “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应
“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．
他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为 ，乙每天选择“共享单车”的
概率为 ，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为 ，从第二天起，若前一天选择“共享单
车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为 ，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”
的概率为 ，如此往复．
（1）若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
（2）记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
（3）求丙在3月份第 天选择“共享单车”的概率 ，并帮丙确定在3月份中选择
“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．
【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为
（3） ；2天
【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式与条件概率公式进行求解即可；
（2）依题意得到 的所有可能取值及对应的概率，从而求得分布列及数学期望；（3）由题意，求得 与 的关系，通过构造等比数列求出 ，再由 求出对应的 ，即可求
解．
【解析】（1）记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单车”出行分别为事件 ，
记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
即若3月1日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为 ．
（2）由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
故 ，
即 的数学期望为 ．
（3）由题意得 ，
则 ，
所以 ，所以 ．
又因为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
经检验当 时，上式也成立，
所以 ．
由题意知，3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足 ，即 ，
则 ，
即 ，
当 为偶数时， 显然不成立，
当 为奇数时，不等式可变为 ，
当 时， 成立；
当 时， 成立；
当 时， ，
则 时， 不成立．
又因为函数 单调递减，
所以当 时， 不成立，所以只有在第1天和第3天时， ，
所以丙在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有2天．
