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微专题13 利用导数证明不等式讲义
微专题教学内容
1. 基本方法
在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与
、
有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
（3）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
（4）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2. 常见类型
与
有关的常用不等式：
（1）
（
）； （2）
（
）．
与
有关的常用不等式：
（1）
（
）； （2）
（
）；
（3）
（
），
（
）；
（4）
（
），
（
）．
用
取代的位置，相应的可得到与
有关的常用不等式．
典例精讲
【典例1】
证明：当
时，
．
【答案】证明见解析
【分析】方法一：令
，利用导数证明
在
单调递增，原题即得证.
【详解】[方法一]：令
，
则当
时，
所以
在
单调递增，
从而
，即
，结论成立．
所以原题得证.
[方法二]：由泰勒公式得
，
从而得
，结论成立．
会一题通一类
1．证明：
在
上恒成立.
【答案】证明见解析
【分析】令函数
，
，利用导数可得该函数的单调性，从而可证不等式.
【详解】证明：令函数
，
，则
，
当
时，
，则
，
所以
，则函数
在
上单调递增，
所以
，即
在
上恒成立.
2．求证：
，
．
【答案】证明见解析
【分析】令
，利用导数求最值证明不等式即可.
【详解】令
，
令
，得
．
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．
故
．
所以
．
3．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】不等式可化为
，令
，接着利用导数确定函数最值即
可证明.
【详解】证明：
，则
，
设
，
则
．
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，
所以当
时，
，可得下表．
2
－
0
＋
减
最小值
增
则
，即
，
所以
．
4．已知
，证明：
【答案】证明见解析
【分析】构造函数
，求导即可求证
，结合指数函数的单调性可证
.
【详解】令
，
则
，
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，等号仅当
时成立，
即
，
从而
，所以
.
综上，
【典例2】
已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)求证：
．
【答案】(1)极小值
，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）求导可得
，分析
的单调性和符号，进而可得
的单调性和极值；
（2）构造函数
，求导分析单调性和符号，进而分析证明.
【详解】（1）由题意可知：
的定义域为
，
且
，
因为
在定义域
内单调递增，
所以
在
上单调递增，又
，
当
时，
；当
时，
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
所以函数
的极小值为
，无极大值.
（2）
，
令
，
则
在
上恒成立，
可知
为
上的增函数，且
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
．
当
时，
．
综上所述：
，即
．
会一题通一类
已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，证明：当
时，
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导可得
的解析式，分别讨论
、
和
三种情况，根据二次函数的性
质，分析即可得答案.
（2）由（1）可得
的单调性和最大值
，只需证
即可，令
，利用导数判
断
的单调性，分析即可得证.
【详解】（1）由题意
，
①若
时，
恒成立，则
在
上单调递减；
②若
时，此时
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
③若
时，此时
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）若
，由（1）可得，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在区间
上有最大值
，只需证明
即可.
令
，则
，
当
时，
，所以
在区间
上单调递减，
由于
，所以
，即
得证，
所以若
，当
时，
.
【典例3】
已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出
的导数，再按
分类讨论求出单调区间.
（2）把
代入，等价变形不等式，再构造函数并利用导数求出最小值情况即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
求导得
，
①若
，即
，函数
在
上单调递减；
②若
，即
，由
，得
；由
，得
或
，
函数
在
上单调递增，在
，
上单调递减；
③若
，即
，由
，得
；由
，得
或
，
函数
在
上单调递增，在
，
上单调递减，
所以当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，函数
的定义域为
，
不等式
，
设
，求导得
，
函数
在
上单调递增，当
时，
，
当
时，
，
则存在唯一的实数
，使
，即
，
当
时，
；当
时，
，函数
在
上递减，在
上递增，
因此
，
而函数
在
上单调递减，当
时，
，即
，
所以
.
会一题通一类
已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
的最小值；
(3)当
时，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对实数
的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数
的增区间和减
区间；
（2）利用导数分析函数
的单调性，即可求出函数
的最小值；
（3）当
时，将所求不等式变形为
，根据
，结合（1）（2）中的结
论可证得所证不等式成立.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
当
时，由
得
，由
，得
，
此时，函数
的减区间为
，增区间为
；
当
时，由
得
，由
，得
或
，
此时，函数
的减区间为
、
，增区间为
；
当
时，由
得
或
，由
可得
，
此时，函数
的减区间为
，增区间为
、
.
综上，当
时，函数
的减区间为
，增区间为
；
当
时，函数
的减区间为
、
，增区间为
；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
、
.
（2）函数
的定义域为
，
，
由
，得
，由
，得
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取得最小值
．
（3）当
时，
等价于
，
即
，即
，
即
，即
，
，
只需证明
，
当
，
时，
，
只需证明
，
由（1）知
，
时，
在
处取得最小值
，
综上所述，原不等式成立．
【典例4】
已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：若
，则
存在唯一的极小值
，且
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数分
和
两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间；
（2）由题设
，
，并用导数研究
的单调性和极值，即可证.
【详解】（1）因为
，其中
，
.
①当
时，
恒成立，
的增区间为
，无减区间；
②当
时，令
，得
，
由
可得
；由
可得
.
此时，函数
的减区间为
，增区间为
.
综上所述：当
时，
的增区间为
，无减区间；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
.
（2）当
时，
，
，
令
，
，则
在
上恒成立，
∴
在
上单调递增，
又∵
，
，则方程
只有一解，设为
，
∴存在唯一的
，使得
，即
，
当
时，
，当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
即
.
会一题通一类
已知函数
，
．
(1)若
在
上单调递增，
，求实数
的值；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意
在区间
上恒成立，参变分离可得
在区间
上恒成立，
构造函数并判断函数的单调性，求出
的范围，再由
构造函数，利用导数求出函数的最小值，即
可得解；
（2）依题意需证
成立，令
，利用导数
说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
在区间
上单调递增，所以
在区间
上恒成立，
即
，即
在区间
上恒成立，
设
，
，因为
与
在区间
上单调递减，
所以
在区间
上单调递减，
所以
，则
，
由
可得
，
令
，则
，
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
所以
的最小值为
，则
，
综上可得
．
（2）证明：要证
成立，需证
成立，
令
，则
，
再令
，显然
在
上是增函数，
当
时，
，当
时，
，
所以
，即
，即
，
当
时，
，
，当
，
．
所以
，得证．
【典例5】
已知函数
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围；
(3)证明：
，
.
【答案】(1)函数
的递增区间为
，递减区间为
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接利用函数
的导数判断函数的单调区间；
（2）将不等式转化为
恒成立，进而再构造函数
，故只需求出
的最大值，
即可得所求值的范围；
（3）先证明不等式
，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式.
【详解】（1）因为函数
，函数的定义域为
，
.
当
时，
，因为
，所以
，
.
故函数在
上单调递减，在
上单调递增.
故函数
的递增区间为
，递减区间为
.
（2）由
，即
，得
在
上恒成立；
令
，
.
由
得
，即
，所以当
，
.
所以
在
上单调递增，在
单调递减，所以
.
所以
，故a 的取值范围为
（3）先证明不等式
，令
，
.
所以
在
单调递减，所以
，即不等式
成立.
令
，即
，所以
.
所以
，
，
，
.
上述n 个式子相加得
.
故
，
成立.
会一题通一类
函数
，
.
(1)方程
有两解
，
，求证：
；
(2)证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数解释式求导，分情况可求得
恒成立，整理不等式，构造函数，利用导数
研究函数的单调性，求得最值，可得答案；
（2）由（1）所得不等式，利用累加法以及裂项相消，可得答案.
【详解】（1）证明：
，定义域为
，则
因为方程
有两解
，
，所以
，不妨设
.
要证
，即证
，
①若
，则
.
②若
，由
知，
当
时，
，当
时，
.
在
上单调递减，在
上单调递增，有
.
综合①②知，
，所以只需证
（*）.
又
，
，
两式相减，整理得
，代入（*）式，得
，
化简得
，令
，则只需证
，
令
，则需证当
时，
.
因为
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，所以当
时，
，所以
成立.
（2）由（1）知
，故
，
取
，
，
，
，则
，
所以
.
学后测评
1．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在
上单调递减，求
的取值范围；
(3)若
，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由
，得
，求导，根据导数的几何意义即可得；
（2）对函数求导得
，令
，则
，再根据函数单调性与导数
的关系可得；
（3）由
，可得
，切线放缩后即可利用导数证明.
【详解】（1）由
，得
，则
，则
，
从而曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）由
，得
，
因为
在
上单调递减，所以
在
上恒成立，
令
，则
，
显然
在
上恒成立，则
在
上单调递减，即
在
上单调递减，
则
，解得
，
即
的取值范围为
.
（3）由
，可得
.
令
，则
.
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
则
，即
，当且仅当
时，等号成立.
由
，可得
，则
，当且仅当
时，等号成立.
因为上面两个不等式的取等条件不同，所以
，
从而当
时，
.
2．已知函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
；
(3)当
时，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导数得切线斜率，点斜式可求切线方程；
（2）移项构造新函数，求导判断单调性可求最值，进而可证不等式；
（3）移项作差，构造新函数，利用导数判断单调性，求出最值可证结论.
【详解】（1）依题意，
，则
，
而
，
故
，
故所求切线方程为
.
（2）证明：要证
，即证
，
设
，则
，
令
，则
，
因为
，所以
，因此
单调递减，
又
，所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
故
，
即
，即
得证.
（3）证明：依题意，
,即
，
即
，即
.
令
，则
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
，故
，
令
，则
，
令
，则
，
令
，解得
，
，
所以当
和
时，
，则
单调递增，当
时，
，则
单调递减，
且
，
，
因此当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，即
；
故当
时，
，即
得证.
3．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
对任意
恒成立，求a 的取值范围；
(3)证明：
．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
证明见解析.
【分析】（1）求出
及
，由点斜式求得切线方程；
（2）由
分析
需满足条件，得到
，再说明
时不满足条件；
（3）由（2）得
，令
可得
，累加证明.
【详解】（1）当
时，
，
，即切点坐标为
，
又
可得
，即切线斜率为
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
；
（2）当
时，若
单调递减，则
满足条件，
因此需
在
恒成立，即
在
恒成立，
所以
设
，
则当
时，
恒成立（当且仅当
时取等号），
所以
在
单调递增，所以
，
所以
，得
；
当
时，
，
，
所以存在
，
，
则当
时，
，
单调递增，此时
，不满足条件，
综上可知，实数
的取值范围为
.
（3）由（2）可知，当
时，
在
单调递减，
且
时，
，即
，
令
，则
，所以
，
即
，
所以
.
4．已知函数
.
(1)求
的图象在点
处的切线方程；
(2)求
的零点个数；
(3)证明：
.
【答案】(1)
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求在处的切线方程即可；
（2）解法一：由
，得
，进而构造函数
，利
用导数分析其单调性，进而求解即可；
解法二：由
，得
，令
，
，进而结合导数分析
的
单调性，进而结合特殊值进行比较求解即可；
（3）转化问题为证明
，构造函数
，结合导数分析单
调性，进而求解即可.
【详解】（1）由
，得
，
则
，
故
的图象在点
处的切线方程为
.
（2）解法一：由
，得
，
令
，
则
，
令
，显然
在
上单调递增，
且
，故
，
当
时，
，则
，即
在
上单调递减；
当
时，
，则
，即
在
上单调递增.
因为
，
所以
，从而
的零点个数为2，
即
的零点个数为2.
解法二：由
，得
，
，
令
，
，
则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
显然函数
在
上单调递减，
因为
，所以
，
又
，所以
，
故
的零点个数为2.
（3）证明：要证
，需证
，
令
，则
，
令
，
则
，
则
在
上单调递增，
因为
，所以当
时，
，则
，即
在
上单调递减，
当
时，
，则
，即
在
上单调递增，
从而
，证毕.
5．已知函数
．
(1)当
时，证明：
有且仅有一个零点；
(2)若曲线
与
相切．
（ⅰ）求a；
（ⅱ）当
时，证明：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）根据已知
，根据其单调性结合零点存在性定理，即可证；
（2）（i）利用导数几何意义求切线方程，由切线重合列方程求参数；（ii）设
并应用导
数研究函数值符号，即可证.
【详解】（1）当
时，
，显然
是增函数，
而
，故
在区间
上有零点，
结合
的单调性可知，
在R 上有且仅有一个零点．
（2）（ⅰ）不妨记切点为
，则
，
由
，
故切线方程为
，
即
，
令其与
重合，故
，
则
，
若
，显然有
，这与题设条件矛盾，
若
，由
可知二者不在
处相切，矛盾，
故
，于是
，经验证
符合题意，
综上，
；
（ⅱ）设
，则
，
由
可知
，设
，
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，故
，
于是
．
6．已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)证明：
.
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递减；当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数
的解析式可知函数
的定义域为
及导函数
，对
分
和
两类讨论即可求解；
（2）由（1）知当
时，
，即
，进而可得
.令
，对函数
求导可知
在
上单调递增，可得
，故
，原不等式得证.
【详解】（1）由题知：
，其定义域为
，
.
当
时，则
，
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
；令
，解得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述，当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）要证
，即证
.
由（1）知：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，即
，
，
.
令
，
，
∴
在
上单调递增，
∴当
时，
，即
，
∴
，即
，
∴原不等式成立.
【点睛】本题考查利用导数讨论含参函数的单调性，证明函数不等式恒成立问题，属于难题.
研究含参函数的单调性常用分类讨论的数学思想；
对于函数不等式的证明，常采用放缩法，如本题中，证明不等式恒成立的问题关键在于不等式
的等价转化.
7．函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的符号，可得函数的单调区间.
（2）分情况讨论，分离参数，可把问题转化为
，
恒成立的问题，设
，
，利用导数求函数
的最小值即可.
（3）问题转化为
，设
，
，只需证
的最小值大于0 即可.
【详解】（1）因为
，所以
.
若
，则
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递增；
若
，由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上：当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
.
当
时，上式恒成立，即
；
当
时，
.
设
，
，
则
.
设
，
，则
在
上恒成立，即
在
上单调递增，
又
，所以
在
上恒成立.
所以由
，由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
所以
.
综上可知：
的取值范围为：
.
（3）
时，要证
，即
.
设
，则
，
.
设
，
，则
在
上恒成立.
所以
在
上单调递增.
又
，
，则方程
只有一解，设为
，且
，
.
当
时
，当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
因为
，所以
，
，
，所以
.
即
.
所以
在
上恒成立.
从而原命题成立.
8．已知
，当
时，
.
(1)求
的值；
(2)证明：实数a 的取值范围为
；
(3)证明：当
时，
.
【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由解析式可直接求解；
（2）通过
，
，求导确定函数单调性，确定最值，即可证;
（3）由（2）得到当
时，
.即可得到
，进而可求证.
【详解】（1）
;
（2）证明：当
时，
.
故
在
上单调递减，故当
时，
，符合题意.
当
时，
，
，存在
使得当
时，
恒成立，则存在
使得
，矛盾.
故实数a 的取值范围为
;
（3）证明：由（2）知，当
时，
.
故
，
故当
时，
.
9．已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)设
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）
在
上单调递增等价于
在
上恒成立，再分离参数，结合不等式求
最值即可；
（2）令
，利用小问（1）可得到：
，再根据此式放缩，累加即得答案.
【详解】（1）
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上恒成立，
所以
恒成立，令
，只需
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
.
由
，得
，即
的取值范围是
.
（2）由（1）知，当
时，
在
上单调递增，
所以当
时，
，即
.
令
，
，所以
，
即
，所以
，
.
当
依次取1，2，…，n 时，
，
，…，
.
上面式子叠加即得
.
10．已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)当
时，设
，证明：
在
上存在唯一的极小值点
且
.
参考数据：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求得
，分
、
两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数
的增区间和减区间；
（2）由已知不等式结合参变分离得出
对任意的
恒成立，利用导数求出函数
在
上的最小值，即可得出实数
的取值范围；
（3）当
时，利用导数分析函数
的单调性，利用极值点与导数的关系结合零点存在定理可证得
在
上存在唯一的极小值点
，并可得出
，再结合二次函数的基本性质可证得
.
【详解】（1）因为
，其中
，
.
①当
时，
恒成立，
的增区间为
，无减区间；
②当
时，令
，得
，
由
可得
；由
可得
.
此时，函数
的减区间为
，增区间为
.
综上所述：当
时，
的增区间为
，无减区间；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
.
（2）当
时，
恒成立，即
恒成立.
令
，则
，其中
，
由
可得
；由
可得
.
所以，函数
的减区间为
，增区间为
.
所以
，即
，故
的取值范围是
.
（3）当
时，
，
，
令
，则
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
又因为
，
且
，
所以存在唯一的
，使得
，即
.①
当
时，
，即
，
单调递减，
当
时，
，即
，
单调递增，
所以
是
在
上唯一的极小值点.
则
，由①可知
.
