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第8 题 数阵寻源数列分组问题（解透一题）
【 2025 届浙江省名校协作体T11】
观察下面一组等式：
记
表示第个等式中等号右边第
个数，如
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
本题借助给出的一组等式，要求剖析等式右边数字的规律，进而考查数列的通项公式、数
列求和等方面的知识.例如，需要探寻等式右边每一项数字的通项公式，并依据通项公式开
展相关的计算与判断.同时检验归纳推理能力：需从给定的有限个等式中归纳出一般性规律，
比如，通过观察等式右边数字的起始值、公差等特征，总结出第个等式中右边数字的通
项公式. 另外考查运算求解能力：在获取通项公式后，需要进行一系列运算，如判断某个
数是否处于特定的数列集合中、计算数列的和等，以此考查运算求解能力.
一、问题拆解
观察等式右边的数：第1 个等式右边有1 个数，第2 个等式右边有2 个数，第3 个等式右
边有3 个数，⋯⋯，第n 个等式右边有n 个数.这些数是首项为1，公差为2 的等差数列.
故问题可以看作将首项为1，公差为2 的等差数列
按第1 组1 个，第2 组2 个，……，
第 k 组 k 个的规律分组，得到分组数列：
.从而
转化为分组数列问题研究.
二、详细解析
先分析等式右边数字的起始值规律：
第1 个等式右边第1 个数是1；
第2 个等式右边第1 个数是
；
第3 个等式右边第1 个数是
；
第4 个等式右边第1 个数是
.
由此可归纳出第个等式右边第1 个数
的表达式为
.
再看每个等式右边数字的公差为2，那么第个等式中第
个数
.
现在对选项逐一分析：
选项A 本质考察项2025 是否在第45 组内. 由
，可知
，
，而
，故选项A 正确.
选项B 考察就是
的推导运用，该选项错误 .
选项C 考察
以及数列求和的运用.
由
知
故
(与等差/等比数列相结合，考查通项拆分能力；经放缩后进行裂项，以证明数列不等式)
联想到经典裂项公式
，则
选项D：因为
，则
，
.
同时需要注意
，故
.（易错点：忽略组中元素的个数）
所以
，D 正确．
综上，答案为ACD.
对于给定数列
，将它的各项按一定的规则分组，以所得的组为单位的新数列称为分群
数列.研究分群数列时，要根据分组规则找出分群数列的组数与原数列的项数的内在联系，
从而把分群数列的问题归结为原数列的问题.解题时往往需要求出第n 组数的首项或末项，
然后通过分组规则列出不等式.
高中数学中的分组数列问题，是将原数列按特定规则重新分组形成的新数列，其核心在于
通过分组规律确定原数列中某一项在分组数列中的位置或求和问题.
确定某项在分组中的位置步骤：(1)确定分组规律：计算前 k 组的总元素数.(2)建立不等式：
通过前 k−1 组的总元素数与目标数的关系，确定所在组.(3)计算组内位置：用目标数减去
前k−1 组的总元素数，得到组内序号. 求数列的前 n 项和： 可先确定前 n 项包含了完
整的前 k 组以及第 k+1 组的部分项，分别计算前 k 组的和以及第 k+1 组部分项的和，再
将它们相加.前 k 组的和可根据分组规律分别计算每组的和再相加；第 k+1 组部分项的和
可根据等差数列求和公式计算.
【训练目的：学会将问题转为为分组数列.】（2024 届星云联盟2 月线上调研11）
1．已知数列
：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1 项为1，接下来的2 项
为1，2，接下来的3 项为1，3，5，再接下来的4 项为1，4，7，10，依此类推，则（ ）
A．
B．
C．存在正整数m，使得
，
，
成等比数列
D．有且仅有3 个不同的正整数
，使得
【答案】ABD
【分析】由题意将数列
分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，
第n 组：
.则每组数构成首项为1，公差为
的等差数列，且项
数为n.结合等差数列的通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】将数列
分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，
第n 组：
，
则每组数构成首项为1，公差为
的等差数列，且项数为n.
A：由
，知
为数列
的第六组数中的第5 项，故A 正确；
B：由
，知
为数列
的第n 组数中的第n 项，
此时该组数据是以1 为首项，
为公差的等差数列，
所以
，故B 正确；
C：
为数列
中的连续3 项：
①若
为数列
中第
组的连续3 项，当
成等比数列
时，
为常数列，不符合题意，所以
成等差数列；
若
为数列
中第
组和第
组的3 项，
②当
在第
组，
在第
组，此时
，
不成等差和等比数列；
③当
在第
组，
在第
组，此时
，
不成等差和等比数列，
综上，
不成等比数列，故C 错误；
D：由选项C 的分析知，当
为情况①中的3 项，设为第
组的
项，
则
，解得
，不符合题意；
当
为情况②中的3 项，则
在第
组，
在第
组，
此时
，
，所以
，
解得
，又
，所以k 无解，不符合题意；
当
为情况③中的3 项，则
在第
组，
在第
组时，
，
得
，解得
，符合题意.
即
分别为第十组的第9、第10 项，即
，
有
，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律，
进而分组.本题将数列分组后，每组数构成首项为1，公差为
的等差数列，且项数为
n，利用等差数列的通项公式计算是解题的关键.
【整理证明典例，寻求解透基础】
2．设
为等差数列，
是公差.把它按照“第n 组含有n 个数”的规则分组：
求证：
(1)第n 组的首项为
.
(2)第n 组中n 个数的和为
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）
为等差数列，则要求第n 组的首项，需要确定第n 组的首项是数列
中的第几项，根据构成特征确定项数，用等差数列的通项公式可证明；
（2）确定了第n 组中的首项，且项数为n，公差为
，则应用前n 项和公式可证.
【详解】（1）题目的分组规则为第一组有1 个数，第二组有2 个数，第三组有3 个数，以
此类推，第n 组有n 个数.
这意味着，第n 组的首项是整个数列中的第
个数，即第
个
数.
根据等差数列的通项公式，第n 组的首项为
（2）第n 组的n 个数分别是
.根据等差数列的求和公式
，
我们可以将第n 组的和表示为
.
将
代入，得到
.
【高考寻源2008·江苏·高考真题】
3．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第
行
从左向右的第3 个数为 ．
【答案】
【分析】利用等差数列求和公式求出前
行共用了几个数，结合题意，即可求得答案.
【详解】前
行共用了
个数，
因此第
行
从左向右的第3 个数是全体正整数中的第
个，
即为
．
故答案为：
【高考寻源2008·山东·高考】
4．将数列
中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表：
……
记表中的第一列数
、
、
、
……构成的数列为
，
，
为数列
的前
项和，且满足
（I）证明数列
成等差数列，并求数列
的通项公式；
（II）上表中，若从第三行起，每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为
同一个正数，当
时，求上表中第
行所有项的和
【答案】（I）
（II）
【详解】（I）证明：当
时，
又
，所以数列
是首项为1，公差为
的等差数列．
所以
时
因此
（II）设上表中从第三行起，每行的公比都为
，且
表中到12 行尾共含数列
的前78 项，
是表中第13 行第三列，
，
记表中第
行所有项的和为，则
（2024 届山东枣庄二模）
5．将数列
中的所有项排成如下数阵：
从第2 行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2 为公比的等比数列；第1 列
数
成等差数列．若
，则（ ）
A．
B．
C．
位于第45 行第88 列
D．2024 在数阵中出现两次
【答案】ACD
【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项
公式，对各个选项分析，即可求解.
【详解】由第1 列数
成等差数列，设公差为
，
又由
，可得
，解得
，
则第一列的通项公式为
，
又从第2 行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2 为公比的等比数列，
可得
，所以A 正确,B 错误；
又因为每一行的最后一个数为
，
且
，可得
是
的前一个数，且
在第45 行，
因为这一行共有
个数，则
在第45 行的第88 列，所以C 正确；
由题设可知第行第
个数的大小为
，
令
，若
，则
即
；
若
，则
即
；若
，则
，无整数解.
故D 正确.
故答案为：ACD.
（2022 届武汉市高三质量检测）
6．数列
依次为：1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，其中第一项为，接下来三项均为
，再接下来五项均为
，依此类推.记
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．存在正整数
，使得
C．
D．数列
是递减数列
【答案】ACD
【分析】根据数列的规律即可求出
，即可判断A 选项；求出数列的通项公式，做差法
推出矛盾即可说明B 选项；求出数列的前n 项和公式，做差法即可说明C 选项；根据数列
单调性的概念，比较
即可判断D 选项.
【详解】A：由数列可知
占了数列的
项，且相对应的
项的和为1，
，
，所以
，故
，故A 正确；
B：若
，则
，故
，即
，与
矛盾， 故B 错误；
C： 若
，则
，
而
，
若
，则
，故
；
若
，则
，
故
，
即
，因为
，故
，即
，即
，综上：
，故C 正确；
D：因为
，则
，
所以
，
则
，
所以
，故数列
是递减数列，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和，或者奇偶项通项公式不
同的数列，或者周期性数列．
（4）裂项相消.
