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进阶篇 不等式恒(能)成立问题
解决不等式恒(能)成立问题，常用的方法有：
(1)参数全分离
将原含参不等式等价变形成a≤f(x)这类形式，进而转化为求f(x)的最值问题.当参变分离后的函数f(x)不复
杂，容易求最值时，可采用此法.
(2)参数半分离
将原含参不等式等价变形成f(x)≤g(a，x)这类形式，画图分析参数a 如何取值才能满足该不等式，这种方
法往往需要关注切线、端点等临界状态.
注：g(a，x)表示g(x)这个函数表达式中既有a 也有x，a 在不等式左右两边都可以.
(3)参数不分离(隐零点、端点效应).
(4)特殊的方法(同构等).
进阶1 参数全分离
题型一 参数全分离
例1 不等式ln x－ax＋1≤0 恒成立，求实数a 的取值范围.
解 不等式ln x－ax＋1≤0 恒成立，
即ax≥ln x＋1 恒成立，x>0，
即a≥ln x＋1
x
恒成立，
设g(x)＝ln x＋1
x
，x>0，
则g'(x)＝－ln x
x
2 ，
易知函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
g(x)max＝g(1)＝1，
所以a≥1.
思维升华 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
跟踪训练1 (2024·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax－ex，a>0.
(1)若a＝1，求函数f(x)在x＝1 处的切线方程；
(2)若x>0，f(x)≤a－x2恒成立，求实数a 的取值范围.
解 (1)当a＝1 时，f(x)＝x－ex，f(1)＝1－e，
f'(x)＝1－ex，所以f'(1)＝1－e，
所以f(x)在x＝1 处的切线方程为y－(1－e)＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x.
(2)当x>0 时，ax－ex≤a－x2恒成立，
即a(x－1)≤ex－x2恒成立.
①当0<x≤1 时，x－1≤0，ex>1，x2≤1，
又a>0，所以a(x－1)≤0，ex－x2>0，
所以a(x－1)≤ex－x2恒成立.
②当x>1 时，x－1>0，
原不等式等价于a≤e
x - x
2
x -1 恒成立，
即a≤(
e
x - x
2
x -1 )min
，
令g(x)＝e
x - x
2
x -1 ，
则g'(x)＝(e
x - x)( x -2)
( x -1)
2
，
令h(x)＝ex－x，
则h'(x)＝ex－1，当x>0 时，h'(x)>0，
则h(x)＝ex－x 在(0，＋∞)上单调递增，
h(x)>h(0)＝1，
所以当x>1 时，ex－x>0.
则当1<x<2 时，g'(x)<0，
当x>2 时，g'(x)>0，
所以g(x)＝e
x - x
2
x -1 在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以a≤(
e
x - x
2
x -1 )min
＝g(2)＝e2－4，
所以0<a≤e2－4，
综上，实数a 的取值范围是(0，e2－4].
题型二 换元后参数分离
例2 已知函数f(x)＝x(e
x
a - 2
a -2)＋a.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间和极值点；
(2)若a>0，且当x>0 时，f(x)>－1 恒成立，求实数a 的取值范围.
解 (1)当a＝－1 时，f(x)＝xe－x－1，f'(x)＝e－x－xe－x，
令f'(x)＝0，得x＝1，
所以当x<1 时，f'(x)>0；
当x>1 时，f'(x)<0.
所以f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)，极大值点为x＝1，无极小值点.
(2)方法一 f(x)>－1⇔x(e
x
a - 2
a -2)＋a>－1，
即x(e
x
a - 2
a -2)＋a＋1>0.
令x
a＝t，t>0，则x＝at，
atet－(2a＋2)t＋a＋1>0 对于t>0 恒成立，
即a(tet－2t＋1)>2t－1，
(*)
易证当t>0 时，et>t＋1，
则tet－2t＋1>t(t＋1)－2t＋1>(t－1)2≥0，
即tet－2t＋1>0，
于是，由(*)可得a>
2t -1
t e
t -2t ＋1
，
令g(t)＝
2t -1
t e
t -2t ＋1(t>0)，
则g'(t)＝-(2t ＋1)(t -1)
(t e
t -2t ＋1)
2 et(t>0).
当t∈(0，1)时，g'(t)>0；
当t∈(1，＋∞)时，g'(t)<0，
所以g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(t)max＝g(1)＝1
e -1 ，
所以a> 1
e -1 ，
故实数a 的取值范围是(
1
e -1 ，＋∞).
方法二 f(x)>－1⇔x(e
x
a - 2
a -2)＋a>－1，
即x(e
x
a - 2
a -2)＋a＋1>0.
令x
a＝t，t>0，
则x＝at，atet－(2a＋2)t＋a＋1>0 对于t>0 恒成立，
即
a
a＋1>2t -1
t e
t 对于t>0 恒成立.
设h(t)＝2t -1
t e
t ，t>0，则h'(t)＝-(2t ＋1)(t -1)
t
2e
t
，
当t∈(0，1)时，h'(t)>0；
当t∈(1，＋∞)时，h'(t)<0.
可得h(t)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以h(t)max＝h(1)＝1
e ，
则
a
a＋1>1
e ，解得a> 1
e -1 ，
故实数a 的取值范围是(
1
e -1 ，＋∞).
思维升华 在有些题目中不能直接利用分离参数法，有时为了简化函数，常进行换元，如本题令t＝x
a就可
轻松分离参数.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝[ln(1＋x)]2－
x
2
1＋x .
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式(1＋1
n)
n＋a
≤e 对任意的n∈N*都成立(其中e 是自然对数的底数)，求a 的最大值.
解 (1)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f'(x)＝2ln(1＋x)
1＋x
- x
2＋2 x
(1＋x)
2
＝2(1＋x)ln(1＋x)- x
2-2 x
(1＋x)
2
，
设g(x)＝2(1＋x)ln(1＋x)－x2－2x，
则g'(x)＝2ln(1＋x)－2x，
令h(x)＝2ln(1＋x)－2x，
则h'(x)＝
2
1＋x －2＝-2 x
1＋x .
当－1<x<0 时，h'(x)>0，
故h(x)在(－1，0)上单调递增；
当x>0 时，h'(x)<0，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)在x＝0 处取得极大值，而h(0)＝0，
所以g'(x)≤0，
所以函数g(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
于是当－1<x<0 时，g(x)>g(0)＝0；
当x>0 时，g(x)<g(0)＝0，
所以当－1<x<0 时，f'(x)>0，f(x)在(－1，0)上单调递增；
当x>0 时，f'(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
故函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)，单调递减区间为(0，＋∞).
(2)不等式(1＋1
n)
n＋a
≤e 等价于不等式(n＋a)ln(1＋1
n)≤1，
由1＋1
n>1 知，a≤
1
ln(1＋1
n)
－n，
设φ(x)＝
1
ln(1＋x) - 1
x ，x∈(0，1]，
则φ'(x)＝－
1
(1＋x)[ ln(1＋x)]
2 ＋1
x
2
＝(1＋x)[ ln(1＋x)]
2- x
2
x
2(1＋x)[ ln(1＋x)]
2 .
由(1)知，[ln(1＋x)]2－
x
2
1＋x ≤0，
即(1＋x)[ln(1＋x)]2－x2≤0，
当且仅当x＝0 时等号成立，
所以φ'(x)<0，x∈(0，1]，
于是φ(x)在(0，1]上单调递减，
故函数φ(x)在(0，1]上的最小值为φ(1)＝1
ln 2－1，
所以a 的最大值为1
ln 2－1.
课时精练
[分值：34 分]
1.(17 分)(2025·兰州模拟)已知函数f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)在区间[1，2]上的单调性；(8 分)
(2)若当x∈(0，e]时，不等式f(x)≤3 有解，求a 的取值范围.(9 分)
解 (1)函数f(x)＝ax－ln x，求导得f'(x)＝a－1
x ，
由x∈[1，2]，得1
x ∈[
1
2 ，1]，
当a≤1
2时，f'(x)≤0，
当且仅当a＝1
2 ，x＝2 时取等号，
函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当a≥1 时，f'(x)≥0，当且仅当a＝1，x＝1 时取等号，函数f(x)在[1，2]上单调递增；
当1
2<a<1 时，由f'(x)<0，得1≤x<1
a ，
由f'(x)>0，得1
a<x≤2，
因此函数f(x)在[1，1
a)上单调递减，在(
1
a ，2]上单调递增，
综上，当a≤1
2时，函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当1
2<a<1 时，函数f(x)在[1，1
a)上单调递减，在(
1
a ，2]上单调递增；
当a≥1 时，函数f(x)在[1，2]上单调递增.
(2)依题意，不等式ax－ln x≤3 在x∈(0，e]时有解，
即a≤3
x ＋ln x
x 在x∈(0，e]时有解，
令g(x)＝3
x ＋ln x
x ，x∈(0，e]，
求导得g'(x)＝－3
x
2 ＋1- ln x
x
2
＝－2＋ln x
x
2
，
由g'(x)>0，得0<x< 1
e
2；
由g'(x)<0，得1
e
2<x≤e，
所以函数g(x)在(0，1
e
2)上单调递增，在(
1
e
2 ，e]上单调递减，
当x＝1
e
2时，函数g(x)取得最大值g(
1
e
2)＝e2，因此a≤e2，
所以实数a 的取值范围是(－∞，e2].
2.(17 分)已知函数f(x)＝x3eax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；(8 分)
(2)若a＝2，不等式f(x)≥mx＋3ln x 对x∈(0，＋∞)恒成立，求m 的取值范围.(9 分)
解 (1)f'(x)＝3x2eax＋ax3eax＝x2eax(ax＋3).
①当a＝0 时，f'(x)≥0 恒成立，
所以f(x)在R 上单调递增.
②当a<0 时，令f'(x)<0，得x>－3
a；
令f'(x)>0，得x<－3
a ，
所以f(x)的单调递减区间为(- 3
a ，＋∞)，单调递增区间为(-∞，- 3
a).
③当a>0 时，令f'(x)<0，得x<－3
a；
令f'(x)>0，得x>－3
a.
所以f(x)的单调递减区间为(-∞，- 3
a)，单调递增区间为(- 3
a ，＋∞).
(2)因为a＝2，所以f(x)≥mx＋3ln x 对x∈(0，＋∞)恒成立等价于m≤x
3e
2 x -3ln x -1
x
对x∈(0，＋∞)恒成
立.
方法一 设g(t)＝t－1－ln t(t>0)，
则g'(t)＝t -1
t
.
令g'(t)<0，得0<t<1；
令g'(t)>0，得t>1，
所以g(t)min＝g(1)＝0，
所以t－1－ln t≥0.
取t＝x3e2x，则x3e2x－1－ln(x3e2x)≥0，
即x3e2x－3ln x－1≥2x，
所以x
3e
2 x -3ln x -1
x
≥2.
设h(x)＝x3e2x，
因为h(0)＝0<1，h(1)＝e2>1，
所以方程x3e2x＝1 必有解，
所以当且仅当x3e2x＝1 时，
函数y＝x
3e
2 x -3ln x -1
x
(x>0)取得最小值，且最小值为2，
所以m≤2，即m 的取值范围为(－∞，2].
方法二 (同构法)
x
3e
2 x -3ln x -1
x
＝e
3 ln x＋2 x -3 ln x -1
x
≥3ln x＋2 x＋1-3 ln x -1
x
＝2，
等号成立的充要条件是3ln x＋2x＝0，
令φ(x)＝3ln x＋2x，
由φ(
1
e)＝－3＋2
e <0，
φ(1)＝2>0 知，3ln x＋2x＝0 必有解，
故m≤2，即m 的取值范围为(－∞，2].
