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进阶2 飘带不等式
分值：34 分
1.(17 分)(2025·贵阳模拟)已知函数f(x)=ln x-a( x -1)
x +1
在x=1 处的切线为x 轴.
(1)求实数a 的值；(4 分)
(2)求f(x)的单调区间；(5 分)
(3)若x1>x2>0，证明：
x1- x2
ln x1- ln x2
< x1+ x2
2
.(8 分)
2.(17 分)已知b>a>0，且bln a-aln b=a-b，证明：
(1)a+b-ab>1；(5 分)
(2)1
a+1
b>2；(6 分)
(3)a+b>2.(6 分)
答案精析
1.(1)解 因为f(x)=ln x-a( x -1)
x +1
，x>0，
所以f'(x)=1
x -
2a
( x +1)
2 ，x>0，
又因为函数y=f(x)在x=1 处的切线为x 轴，
所以f'(1)=1-a
2=0，
解得a=2.
(2)解 由(1)可知f(x)=ln x-2( x -1)
x +1
，x>0，
所以f'(x)=1
x -
4
( x +1)
2
= ( x -1)
2
x( x +1)
2≥0，
所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间.
(3)证明 由(2)可知函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，
所以当x>1 时，f(x)>0，
又因为x1>x2>0，所以
x1
x2
>1，
有f (
x1
x2)>0，又ln x1>ln x2，
有ln x1-ln x2>0，
由f (
x1
x2)>0，
得ln
x1
x2
-
2(
x1
x2
-1)
x1
x2
+1
>0，
即ln
x1
x2
>
2(
x1
x2
-1)
x1
x2
+1
=2·
x1- x2
x1+ x2
，
即ln x1-ln x2>2· x1- x2
x1+ x2
， (*)
又因为ln x1-ln x2>0，x1+x2>0，
将(*)式两边同时乘
x1+ x2
2(ln x1- ln x2) ，
得
x1- x2
ln x1- ln x2
< x1+ x2
2
.
2.证明 ∵bln a-aln b=a-b，
∴b(ln a+1)
=a(ln b+1)，
∴ln a+1
a
=ln b+1
b
，
令f(x)=ln x +1
x
，
则f'(x)=-ln x
x
2 ，
当0<x<1 时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x>1 时，f'(x)<0，f(x)单调递减.
∵f(a)=f(b)，b>a>0，
∴0<a<1<b.
(1)要证a+b-ab>1，
只需证a+b-ab-1>0，
即证a(1-b)+b-1>0，
即证(1-b)(a-1)>0，
显然成立，得证.
(2)当0<a<1<b 时，由飘带不等式可知，
1
2(a- 1
a)+1
a
<ln a+1
a
=ln b+1
b
<
1
2(b- 1
b)+1
b
，
即1
2(1- 1
a
2)+1
a<1
2(1- 1
b
2)+1
b ，
即1
a-1
b<1
2(
1
a + 1
b)(
1
a - 1
b)，
即1
a+1
b>2.
(3)当0<a<1<b 时，b
a>1，由飘带不等式可知，
ln a+1
a
=ln b+1
b
=ln a+1+ ln b+1
a+b
=ln b- ln a
b-a
= 1
b-a·lnb
a> 1
b-a·
2(
b
a -1)
b
a +1
= 2
a+b ，
因此有ab>1，故a+b>ab+1>2.
