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10-2 两条直线的
关系
位置
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
10-2 两条直线的位置关系....................................................................................................................................1
一、主干知识..................................................................................................................................................... 2
考点1：两条直线的位置关系..............................................................................................................2
考点2：三种距离公式............................................................................................................................ 2
【常用结论总结】....................................................................................................................................3
二、分类题型..................................................................................................................................................... 4
题型一 两条直线的平行与垂直..........................................................................................................4
题型二 两直线的交点与距离问题......................................................................................................5
题型三 对称问题...................................................................................................................................... 6
命题点1 点关于点中心对称...................................................................................................... 6
命题点2 点关于直线对称...........................................................................................................6
命题点3 线关于线对称...............................................................................................................7
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................8
1
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、
一
主干知识
考点1：两条直线的
关系
位置
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，
l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0 且
A1C2－A2C1≠0
垂直
v1⊥v2
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
v1与v2
不共线
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
考点2：
种距离公式
三
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0 与l2：Ax＋By＋C2＝0 之间的距离d＝.
【常用结论总结】
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R 且m≠C)．
2
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(2)与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋
C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x 轴的对称点为(x，－y)，关于y 轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x 的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b 的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
、分
题
二
类
型
3
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题
型一两条直线的平行与垂直
【例题精析1】
若直线
与直线
平行，则a＝（ ）
A．
B．
或0
C．0
D．-2
【答案】B
【分析】根据直线平行的充要条件计算即可.
【解答】由直线平行的充要条件可知
且
，解之得
或
.
故选：B
【例题精析2】
已知直线：
，
：
，若
，则a 的值为 .
【答案】
【分析】根据直线平行斜率相等求解即可；
【解答】因为
，所以
，解得：
或
，又因为
不能重合，
则
，即
，故
故答案为：-2.
【例题精析3】
已知直线
和直线
互相垂直，则实数
的值为 ．
【答案】或
【分析】根据两条直线垂直的充要条件列出方程即可得解.
【解答】因为直线
和直线
互相垂直，
所以
，解得
或
.故答案为：或
4
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判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
【对点精练1】
经过两直线l1：x﹣2y+4＝0 和l2：x+y﹣2＝0 的交点P，且与直线l3：3x﹣4y+5＝0 平行的直
线l 的方程为（ ）
A．3x﹣4y+8＝0
B．3x﹣4y+6＝0
C．4x+3y﹣6＝0
D．4x+3y+6＝0
【分析】联立l1：x﹣2y+4＝0 和l2：x+y﹣2＝0，求出交点P，代入3x﹣4y+c＝0 中即可求出．
【解答】解：由题意设所求直线方程为3x﹣4y+c＝0，c≠5，
联立{
x−2 y + 4 =0
x + y −2=0 ，解得P（0，2），代入3x﹣4y+c＝0，
解得c＝8，故所求直线为：3x﹣4y+8＝0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了两直线的交点，直线的平行，属于基础题．
【对点精练2】
经过点（1，2），且平行于直线2x﹣3y+5＝0 的直线方程为（ ）
A．2x﹣3y+4＝0
B．2x+3y﹣8＝0
C．3x﹣2y+1＝0
D．3x+2y﹣7＝0
【分析】直接利用平行直线系求出结果．
【解答】解：设直线为2x﹣3y+h＝0（h≠5），
由于直线过点（1，2），
则2﹣6+h＝0，解得h＝4，
则所求直线为2x﹣3y+4＝0．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
【对点精练3】
直线ax+2y+4＝0 与直线x+（a﹣1）y+2＝0 平行，则a 的值为（ ）
A．a＝2
B．a＝0
C．a＝﹣1
D．a＝﹣1 或a＝2
【分析】根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线ax+2y+4＝0 与直线x+（a﹣1）y+2＝0 平行，
则a（a﹣1）＝2×1，解得a＝2 或a＝﹣1，
当a＝2 时，两直线重合，不符合题意，
当a＝﹣1 时，两直线不重合，符合题意，
5
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故a＝﹣1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
【对点精练4】
使直线l1：3x﹣（k+2）y+3＝0 与直线l2：kx+（2k﹣3）y+1＝0 平行，求k＝ ﹣
9
．
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线l1：3x﹣（k+2）y+3＝0 与直线l2：kx+（2k﹣3）y+1＝0 平行，
则3（2k﹣3）＝﹣（k+2）k，化简整理可得，k2+8k﹣9＝0，解得k＝﹣9 或k＝1，
当k＝1 时，直线l1，l2重合，不符合题意，
当k＝﹣9 时，直线l1，l2不重合，符合题意，
综上所述，k＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点睛】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
题
型二两直线的交点与距离问题
【例题精析4】
已知三条直线
交于一点，则实数
=（ ）
A．
B．1
6
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C．
D．
【答案】C
【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.
【解答】由
，即两直线交点坐标为
，
代入
得：
.
故选：C
【例题精析5】
已知直线
与
平行，则与
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由两直线平行的充要条件先求出参数
，即可求出直线的方程，然后由两平行线之间的距离公
式即可求解.
【解答】由题意直线
与
平行，
因此
，解得
，
所以
即为
，
由两平行线之间的距离可知与
的距离为
.
故选：D.
【例题精析6】
求过两条直线
和
的交点，且与
平行的直线方程 .
【答案】
【分析】求出直线
和
的交点，设所求直线方程为
，代入交点坐标求
解即可.
7
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【解答】联立
，解得
，故交点坐标为
，
设直线方程为
，
将
代入得
，解得
，
故所求直线方程为
.
故答案为：
【例题精析7】
过直线
和
的交点，且与直线
垂直的直线方程是
．
【答案】
【分析】先求交点，再设与
垂直的直线方程，代点坐标，即可.
【解答】联立
，解得
，故直线的交点坐标为
，
设与直线
垂直的直线方程是
．
将交点的坐标代入该方程，得
，解得
．
所以所求直线方程为
.
故答案为：
【例题精析8】
点
到直线
：
的距离是
【答案】
【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.
【解答】点
到直线
：
的距离是
.
故答案为：
.
【例题精析9】
已知
的顶点
，
边上的中线
所在直线方程为
，
的高线
所在直线方程为
．
8
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(1)求顶点
的坐标；
(2)求直线
的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，求出点
的坐标，再结合直线的斜截式，即可得到结果.
【解答】（1）设顶点
的坐标为
，
因为顶点
在直线
上，所以
，
由题意知
的坐标为
，
因为中点
在直线
上，所以
，
即
；
联立方程组
，解得顶点
的坐标为
.
（2）设顶点
的坐标为
，
因为顶点
在直线
上，所以
，
因为
为高，所以
，所以
，
解得
的坐标为
，
设
所在的直线方程为
，
，解得
，
所以
，即
.
9
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利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a 的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b 的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y 的系数化为相等．
【对点精练5】
两条平行直线
和
间的距离为
，则
，
分别为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，以及平行直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：
直线
与直线
平行，
，解得
，
直线
方程化为
，
两条平行直线
和
间的距离
，
故
，
分别为
，
．故选：
．
【点睛】本题主要考查直线平行的性质，以及平行直线的距离公式，属于基础题．
【对点精练6】
已知直线
，若
，则
与
之间的距离为
A．1
B．2
C．
D．
【分析】根据直线平行求出
，再由平行线间的距离公式求解即可．
【解答】解：因为
，所以
，解得
，经检验符合题意；
所以
，所以
与
之间的距离
，故选：
．
【点睛】本题考查两直线平行的条件以及平行线间的距离计算，考查运算求解能力，属于基础题．
10
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【对点精练7】
已知
到直线
的距离等于3，则
的值为
A．
B．
或
C．
或
D．
【分析】由距离公式，解方程得出
的值．
【解答】解：由距离公式可得，
，即
，解得
或
．
故选：
．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
【对点精练8】
已知直线
与
相交，则它们的交点是
A．
B．
，
C．
D．
【分析】根据题意，联立方程组，求解即可．
【解答】解：
，解得
．故选：
．
【点睛】本题考查直线交点的求法，属于基础题．
【对点精练9】
直线
所过定点的坐标为
A．
B．
，
C．
D．
【分析】将直线变形为
，求解两条直线的交点即可得到答案．
【解答】解：直线
，化为
，
联立方程组
，解得
，
，所以直线经过的定点为
．故选：
．
【点睛】本题考查了直线恒过定点问题，两条直线交点坐标的求解，解题的关键是将直线方程变形，考查
了逻辑推理能力，属于基础题．
【对点精练10】
若直线
与
平行，则
，
间的距离是
A．
B．
C．
D．
11
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【分析】根据直线平行的判定列方程求得
，再应用平行线的距离公式求距离即可．
【解答】解：由题设
，则
，可得
或
，
时，
，
，满足题设；
时，
，
，显然重合，不满足；
所以
，此时
，
，它们距离为
．故选：
．
【点睛】本题主要考查平行线的距离公式，属于基础题．
【对点精练11】
两条平行线
和
的距离为
．
【分析】直接利用两平行线间的距离公式求出结果．
【解答】解：两条平行线
和
的距离
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查的知识要点：两平行线间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档
题．
题
型三对称问题
题点
命
1 点关于点中心对称
【例题精析10】
已知不同的两点
与
关于点
对称，则
（ ）
A．
B．14
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据中点公式，列出方程，求得
的值，进而求得
的值.
【解答】因为两点
与
关于点
对称，
12
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可得
，即
，解得
，所以
.故选：C.
【例题精析11】
点
关于点
的对称点
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，则由中点坐标公式可得
，
，解出
，从而可得点
的坐标
【解答】设
，则
，
，∴
，
，∴点
，故选：D.
【例题精析12】
点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是( )
A．(5，－6)
B．(－4,3)
C．(3，－3)
D．
【答案】B
【分析】利用中点公式即可求出.
【解答】设点
则
解得
故选B
【点睛】求解点关于点对称问题，主要应用的知识点是中点公式，但在代入数值是容易出错，必修要对号
入座.
题点
命
2 点关于直线对称
【例题精析13】
已知直线
，则点
关于l 的对称点的坐标为 .
【答案】
13
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【分析】设对称点
，根据线段
中点在直线上，
所在直线与直线垂直，即斜率相乘为
，代入坐标即可求解.
【解答】设对称点
，线段
中点为
，
则
，解得
，
点
关于直线的对称点坐标为
.
故答案为：
.
【例题精析14】
已知直线
，则点
关于l 的对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点
关于直线的对称点为
，根据题意，列出方程组，即可求解.
【解答】设点
关于直线的对称点为
，则线段
的中点
在直线上，且直线
垂直于直线，
可得
，解得
，所以点
的坐标为
.故答案为：
.
【例题精析15】
点
关于直线
的对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设对称点
坐标为
，然后由斜率乘积等于
，和
的中点在直线
上，列方程
组可求得结果.
【解答】设
的对称点
坐标为
，
则
，解得
，
14
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即所求对称点的坐标是
．故答案为：
【例题精析16】
若点
关于直线
对称，则
；
．
【答案】 4 2
【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答.
【解答】依题意，直线
的斜率为
，线段
的中点
，
于是
，整理得
，解得
，
所以
.
故答案为：4；2
题点
命
3 线关于线对称
15
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【例题精析17】
直线
关于直线
对称的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】在直线
上任取一点
，设其关于直线
的对称点为
，然后根据对称
关系列方程可表示出
，再代入
中化简可得答案
【解答】在直线
上任取一点
，设点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，即
，
因为点
在直线
上，
所以
，即
，
所以所求直线方程为
，
故选：A.
【例题精析18】
已知直线：
与
关于直线
对称，
与
平行，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】点
关于直线
的对称点为
可得
的方程，再根据
相互平行可得答案.
【解答】直线关于直线
对称的直线，即是交换
位置所得，
即
，
相互平行，
的斜率为
，故
.故选：C.
【例题精析19】
已知直线：
关于直线
的对称直线为
轴，则
的方程为 .
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【答案】
或
【分析】根据题意，求出与
轴的交点，设出直线
的方程，根据点关于直线
的对称点在
轴上，列
出方程，即可得到结果.
【解答】
直线交
轴于点
，交
轴于点
，
设直线
的方程为
，则
关于直线
的对称点
在
轴上，
所以
，则
的中点
在直线
上，所以
①，
又
②，联立①②可得
或
，
所以直线
的方程为
或
.
故答案为：
或
.
【例题精析20】
直线
关于直线
对称的直线方程为
【答案】
【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为
，由直线
与直线
间的距离，求
得b 的值，得直线方程.
【解答】设所求直线方程为
，且
，
直线
与直线
间的距离为
，
则直线
与直线
间的距离为
，又
，得
，
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所以所求直线方程为
，故答案为：
.
【例题精析21】
已知直线的方程为
.
（1）若直线和直线
关于点
对称，求直线
的方程 ；
（2）若直线和直线
关于直线
对称，求直线
的方程 .
【答案】
.
【分析】根据题意，由点
关于点
对称的点
在直线上，列出方程即可得到结果；由
题意可得直线与直线
的交点，求出
关于直线
对称的点为
，即可得到直线方程.
【解答】因为直线和直线
关于点
对称，
在直线
上任取一点
，则
关于点
对称的点
在直线上，
将点
代入直线可得
，
所以直线
的方程为
；
设直线与直线
的交点为
，
所以
，解得
，则
，
在直线上取点
，设
关于直线
对称的点为
，
则
①
因为
与
的中点坐标为
，
所以
②
18
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由①②可得
，所以
因为直线和直线
关于直线
对称，
所以直线
经过点
和点
，
所以直线
的两点式方程为
，
整理得直线
的一般式方程为
.
故答案为:
;
.
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件
列方程组解题．
【对点精练12】
如图，一次函数y＝x+4 的图象与x 轴，y 轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x 轴上一
点，点E，F 分别为直线y＝x+4 和y 轴上的两个动点，当△CEF 周长最小时，点E，F 的坐标分别为（
）
A．
，F（0，2）
B．E（﹣2，2），F（0，2）
C．
，
D．E（﹣2，2），
19
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【分析】作C 关于y 轴的对称点G，作C 关于y＝x+4 的对称点D，连接DG 交y 轴于F，交AB 于E，有
EC+FC+EF＝ED+FG+EF＝DG，即此时△CEF 周长最小，求出D 点坐标，可得直线DG 方程，与y＝x+4
联立求出E 点坐标，令x＝0，可得F 点坐标．
【解答】解：作C（﹣2，0）关于y 轴的对称点G（2，0），
作C（﹣2，0）关于y＝x+4 的对称点D（a，b），
连接DG 交y 轴于F，交AB 于E，所以FG＝FC，EC＝ED，
此时△CEF 周长最小，即EC+FC+EF＝ED+FG+EF＝DG，
由C（﹣2，0），直线AB 方程为y＝x+4，所以
，
解得
，
所以D（﹣4，2），可得直线DG 方程为
，即
，
由
，解得
，所以
，
令x＝0，可得
，所以
．
故选：C．
【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求法，属于基础题．
【对点精练13】
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中
隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边
饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为
，若将军
20
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从点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为
A．
B．10
C．
D．
【分析】设点
关于直线的对称点为
，则
即为“将军饮马”的最短总路程，根据对称的性
质，求出对称点，即可求
【解答】解：设点
关于直线的对称点为
，
则
即为“将军饮马”的最短总路程，
则
，解得
，
，
则
．
故“将军饮马”的最短总路程为
．
故选：
．
【点睛】本题主要考查关于直线对称点的求解，考查计算能力，属于基础题．
【对点精练14】
直线
关于直线
对称的直线方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用反函数的定义求出直线的方程．
【解答】解：由直线
，整理得
，
即
，故
．
故直线
关于直线
对称的直线方程为
．
故选：
．
【点睛】本题考查的知识要点：反函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
21
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【对点精练15】
点
关于直线
的对称点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
【分析】设
的坐标，由题意可得直线为线段
的中垂线，可得
，
的值．
【解答】解：设
关于直线
的对称点，由题意可得
，解得
，
，
可得
，
故选：
．
【点睛】本题考查点关于直线的对称的求法，属于基础题．
【对点精练16】
抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦
点，已知抛物线
的焦点为
，一条平行于
轴的光线从点
射出，经过抛物线上的点
反射
后，再经抛物线上的另一点
射出，则经点
反射后的反射光线必过点
A．
B．
C．
D．
【分析】求出
，
坐标可得直线
的方程，与抛物线方程联立求出
，根据选项可得答案．
【解答】解：把
代入
，得
，所以
，
，所以直线
的方程为
，即
，
与抛物线方程联立
，解得
，所以
，
22
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因为反射光线平行于
轴，根据选项可得
正确．
故选：
．
【点睛】本题考查抛物线的性质，属中档题．
【对点精练17】
直线
恒过定点
，则直线
关于点
对称的直线方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出点
的坐标，再设出与直线
关于点
对称的直线方程，利用点到直线距离
公式求出答案．
【解答】解：由
得
，
由
，得
，
．
设直线
关于点
对称的直线方程为
，
，
解得：
或
（舍去），
直线
关于点
对称的直线方程为
．
故选：
．
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【点睛】本题主要考查了直线恒过定点，直线关于点对称，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
【对点精练18】
直线
关于点
对称的直线方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】首先，根据题意直线与
关于点
对称，设出对称直线上的点
，对称出坐标
．然后按照已知条件联立方程组．求解即可得到结果．
【解答】解：在对称直线上任取一点
，
则点
关于点
对称的点
必在直线上．
由
得
，
，
即
．
故选：
．
【点睛】本题考查直线关于点或直线的对称方程．考查对于对称问题的熟练掌握程度．属于基础题
【对点精练19】
若光线从点P（﹣3，3）射到y 轴上，经 y 轴反射后经过点Q（﹣1，﹣5），则光线从点P
到点Q 走过的路程长为
4
．
【分析】由题意可得P 点关于y 轴的对称点P'的坐标，由对称性的性质可得P'Q 即光线从点P 到点Q 走过
的路程长．
【解答】解：设P 点（﹣3，3）关于y 轴对称的点P'（3，3），
连接P'Q 与y 轴交于M，可得PM＝P'M，且直线PM 是入射光线，MQ 为反射光线，
所以光线从点P 到点Q 走过的路程长等于PM+QM＝P'M+QM＝P'Q＝
＝4
．
故答案为：4
．
24
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【点睛】本题考查入射光线与反射光线的性质的应用，属于基础题．
【对点精练20】
点
关于直线
的对称点的坐标为
．
【分析】设点为
，
，根据条件可得
以及
，解出即可得到．
【解答】解：设点
关于直线
对称的点为
，
，
因为直线
的斜率为
，
由对称关系，两点连线与直线
垂直，
所以
，
又因为两点连线段的中点
在直线
上，
代入得
，
两式联立
，即可解得
，
所以对称点为
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查点坐标的求解，考查转化能力，属于中档题．
25
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【对点精练21】
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中
隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马
后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
，若将
军从点
处出发，河岸线所在直线方程为
，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军
营，则“将军饮马”的最短总路程为
．
【分析】设点
关于直线
的对称点为
，设军营所在区域的圆心为
，半径为
，则
，
，由题意可知，
即为“将军饮马”的最短总路程，再结合对称直线的
性质，求出对称点
，再运用两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点
关于直线
的对称点为
，
设军营所在区域的圆心为
，半径为
，则
，
，
由题意可知，
即为“将军饮马”的最短总路程，
直线
与直线
垂直，
直线
与此直线的斜率乘积为
，
，
点
，
，
直线
的方程为
，
点
，
，
的中点为
，
，
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，解得
，
，
，
，
故最短距离为
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查函数的实际应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
【对点精练22】
已知
关于直线的对称点为
，则直线的方程是
．
【分析】根据题意求出中点和直线的斜率，再根据点斜式方程，计算即可．
【解答】解：
关于直线的对称点为
，
，
的中点为
，
直线的斜率为2，过
，
故直线方程为
，即
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了点关于直线的对称问题，是基础题．
27
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、分
三
层训练：课堂知识巩固
1．已知
，
两点到直线
的距离相等，则
A．2
B．
C．2 或
D．2 或
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：
，
两点到直线
的距离相等，
，解得
或
．
故选：
．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，考查方程思想，属于基础题．
2．已知半径为
的圆
经过点
，且与直线
相切，则其圆心到直线
距离的最小值
为
A．1
B．
C．2
D．
【分析】根据抛物线的定义可知动点
的轨迹是抛物线，写出其轨迹方程，再结合点到直线的距离公式与
二次函数的性质，得解．
【解答】解：设圆
的圆心
，
由题意知，动点
到点
的距离等于到直线
的距离，
根据抛物线的定义，知圆心
的轨迹方程为
，
设圆心
到直线
距离为
，
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则
，
当
时，
，
即圆心到直线
距离的最小值为
．
故选：
．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，抛物线的定义与标准方程，熟练掌握抛物线的定义，点到直线的
距离公式是解题的关键，考查数形结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3．在平面直角坐标系
中，点
在
轴上，点
在
轴上，
，点
满足
，则点
到
点
的距离的最大值为
A．3
B．
C．4
D．5
【分析】根据题意画出图形，结合图形得出点
在以
为直径的圆上，由此求出点
到点
距离的最大
值．
【解答】解：如图所示，
因为点
在
轴上，点
在
轴上，
，点
满足
，
所以点
在以
为直径的圆上，
设
的中点为
，则
，
所以
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，
，
，
四点共线时，取等号；
所以点
到点
的距离的最大值为4．
故选：
．
29
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【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合思想与运算求解能力，是中档题．
4．十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点
，
，
，
的曼哈顿距离为
．我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形
的三个顶点坐标为
，
，
，则
的“好点”的坐标为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“好点”的定义逐个验证即可．
【解答】解：对
选项，设
，
则
，
，
点
不是
的“好点”，
错误；
对
选项，设
，
则
，
，
，
，
，
，
，
点
是
的“好点”，
正确；
30
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对
选项，设
，
则
，
，
点
不是
的“好点”，
错误，
对于
，设
，
则
，
，
点
不是
的“好点”，
错误．
故选：
．
【点睛】本题考查新定义，化归转化思想，属中档题．
5．已知直线
过定点
，直线
过定点
，
与
的交点为
，则
面积的最大值为
A．
B．
C．5
D．10
【分析】先由已知求出
，
，然后联立方程消去参数可得
的轨迹方程，结合圆的性质及基本不等式可
求．
【解答】解：直线
过定点
，直线
过定点
，
联立
，消去
得
，
又
，
在圆
，且
为圆的直径，
故
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
面积
的最大值5．
故选：
．
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【点睛】本题主要考查了直线恒过定点，圆方程的求解，最值问题，考查了学生的综合应用能力和计算能
力．
6．已知从点
发出的一束光线，经
轴反射后，反射光线恰好平分圆：
的圆周，
则反射光线所在的直线方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意知，反射光线经过圆的圆心
，而反射光线的反向延长线经过点
，再由直线的点
斜式写出方程即可．
【解答】解：点
关于
轴的对称点为
，
由题意知，反射光线经过圆的圆心
，
而反射光线的反向延长线经过点
，
所以反射光线所在直线的斜率为
，
其方程为
，即
，
故选：
．
【点睛】本题考查直线中的对称问题，圆的标准方程，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7．过点
且与原点距离最大的直线方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】过点
且与原点距离最大的直线与
垂直，再用点斜式方程求解．
【解答】解：根据题意得，当所求直线与直线
垂直时距离最大，
因直线
的斜率为2，所以所求直线斜率为
，
所以由点斜式方程得：
，
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化简得：
，
故选：
．
【点睛】本题考查直线方程的求解，要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程，属基础题．
8．已知直线
，
，若
，则
与
间的距离为
A．
B．
C．2
D．
【分析】由题意，利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得
值，再利用两平
直线间的距离公式，计算求得结果．
【解答】解：
直线
，
，
，
，
，
直线
，
则
与
间的距离为
，
故选：
．
【点睛】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，两
平直线间的距离公式的应用，属于基础题．
9．已知平面内一点
，若直线上存在点
，使
，则称该直线为点
的“2 域直
线”，下列直线中不是点
的“2 域直线”的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，当点
到直线的距离
时，直线为点
的“2 域直线”，据此依次分析选
项，计算点
到直线的距离，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当点
到直线的距离
时，该直线上存在点
使
，此时直线为点
的“2 域直线”，
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依次分析选项：
对于
：点
到直线
的距离
，该直线是点
的“2 域直线”，
对于
：点
到直线
的距离
，该直线是点
的“2 域直线”，
对于
：点
到直线
的距离
，该直线不是点
的“2 域直
线”，
对于
：点
到直线
的距离
，该直线是点
的“2 域直线”，
故选：
．
【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，注意理解“2 域直线”的定义，属于基础题．
10．已知直线
，
，
．动点
满足
，则动点
到直线距离的最
小值为
A．
B．
C．
D．1
【分析】由动点
满足
，求出点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，由此可知所
求距离的最小值是圆心到直线距离减去半径．
【解答】解：设
，
动点
满足
，
，整理得
，
点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
动点
到直线距离的最小值是圆心到直线距离减去半径，
圆心
到直线的距离
，
动点
到直线距离的最小值为
．
故选：
．
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【点睛】本题考查动点到直线的距离的最小值的求法，考查点的轨迹、点到直线距离公式等基础知识，考
查运算求解能力，是基础题．
11．已知直线
分别与函数
和
的图象相交于
、
两点，则
、
之间的最短距离
是
A．
B．
C．
D．
【分析】首先求出
、
两点的坐标，后作差构造新函数
（a）
，利用导数求
（a）的最
小值即可．
【解答】解：已知直线
分别与函数
和
交于
，
两点，
，
，
两点之间的距离为
，
令
（a）
，则
（a）
，
由
（a）
，得
，
当
时，
（a）
，
（a）单调递减，
当
时，
（a）
，
（a）单调递增，
（a）
，
、
之间的最短距离是
．
故选：
．
【点睛】本题考查了两点之间的距离，利用导数求函数最小值问题，属中等题．
35
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12．已知函数
的图象上一点
，
，
，则
的最小值为
A．2
B．
C．3
D．
【分析】函数
转化为
，
，
是抛物线
的焦点坐标，过
作
准线
，交准线
于点
，交抛物线
于点
，此时
，由此能求出
的最小值．
【解答】解：函数
转化为
，
，
函数
的图象上一点
，
，
，如图，
抛物线
的焦点坐标，过
作
准线
，交准线
于点
，交抛物线
于点
，
此时
．
的最小值为3．
故选：
．
【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查抛物线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
13．已知点
在动直线
上的投影为点
，若点
，则
的最大值为
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A．1
B．
C．2
D．
【分析】先分析得到动直线经过定点
，从而得到点
的轨迹，再利用数形结合分析得到
的最大
值．
【解答】解：由动直线方程
得
，
所以该直线过定点
，所以动点
在以
为直径的圆上，
所以圆的半径为
，
圆心的坐标为
，
所以点
到圆心的距离为
，
所以
的最大值为
．
故选：
．
【点睛】本题考查两点间的距离公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
14．直线
关于点
，
对称的直线方程
A．
B．
C．
D．
【分析】在直线
上任意取一点
，则有
．求出点
关于点
，
对称的点的
坐标，可得结论．
【解答】解：在直线
上任意取一点
，则有
．
设点
关于点
，
对称的点的坐标为
，
则
，
，即
，
，
，即
，
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故选：
．
【点睛】本题主要考查求一条直线关于某点的对称直线方程的方法，属于基础题．
二．填空题（共2 小题）
15．圆
的圆心到直线
的距离为
．
【分析】由已知先求出圆的圆心坐标，然后结点到直线的距离公式可求．
【解答】解：因为
，
所以
，
则圆心
到直线
的距离
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
16．已知直线
．
．若
，则
，此时
与
之间的距离为
．
【分析】由
，可知
，进而求得
的值，再计算两平行线间的距离即可．
【解答】解：显然
，由于
，则
，解得
，
当
时，
，
重合，不合题意，经检验，
符合题意；
此时
，
，则它们之间的距离为
．
故答案为：
，
．
【点睛】本题考查两直线平行的判定以及两平行线间的距离计算，考查运算求解能力，属于基础题．
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