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疑难压轴8 跨模块知识交汇的创新定义问题（小题狂练）
一．单选题．
【2025 上河北唐山期末】
1．设
，
是曲线
在点
处的切线与x 轴交点的横坐标，记
，则数列
的前50 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上山东临沂月考】
2．如图，已知点
是
的边
的中点，
为边
上的一列点，连接
交
于
，点
满足
，其中数列
是首项为1
的正项数列，
是数列
的前
项和，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．
【2024 重庆阶段练习】
3．已知
，则
（ ）
A．9
B．10
C．19
D．29
【 2024 北京海淀二模】
4．设函数
的定义域为
，对于函数
图象上一点
，若集合
只有1 个元素，则称函数
具有性质
.下列函数
中具有性质
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 全国专题练习】
5．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC 为圆柱的轴截面对角线，短轴
长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB 展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个
周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数
图象的一部分，且其对应的
椭圆曲线的离心率为
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．2
【2024 下广东深圳阶段练习】
6．设正整数
，其中
，记
.则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 浙江宁波阶段检测】
7．集合
是集合
的子集，把
中的所有数的和称为
的“容量”（规定空集的容量为0
，若
的容量为奇（偶）数，则称
为
的奇（偶）子集．命题①：若集合
，则数与数列交汇题
的奇子集与偶子集个数相等．命题②：若集合
，则当
时，
的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等．
则下列说法正确的是（ ）
A．命题①和命题②都为真命题
B．命题①和命题②都为假命题
C．命题①为真命题，命题②为假命题
D．命题①为假命题，命题②为真命题
【2025 上江苏南京开学考试】
8．如图所示是某同学发现的一种曲线，由于形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小
恐龙曲线
，下列说法不正确的是（ ）
A．该曲线与
最多存在3 个交点
B．如果曲线如题图所示（
轴向右为正方向，
轴向上为正方向），则
C．存在一个
，使得这条曲线是偶函数的图象
D．当
时，该曲线中
的部分可以表示为
关于
的某一函数
【2025 上山东青岛期末】
9．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上
的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超
出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终
点只剩3 步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
二．多选题．
【2025 上广东佛山月考】
10．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题
可以转化为几何问题加以解决．例如，与
相关的代数问题，可以转化为
点
与点
之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数
，下列结论正确的是（ ）
A．方程
无解
B．方程
有两个解
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【2024 黑龙江大庆一模】
11．某学校足球社团进行传球训练，甲乙丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随
､
､
机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现
假定每次传球都能被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第
次触球者是甲的概率为
.已知甲为本次训练的第一次触球者，即
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【教材溯源题】
12．柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是
每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实
体的一种．如图是一个棱长为2 的正八面体
．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选
三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的
是（ ）
A．该正八面体的外接球的体积为
B．平面
截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C．甲能构成正三角形的概率为
D．甲与乙均能构成正三角形的概率为
【2024 山东潍坊二模】
13．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，
就是一个多项式复变函数．给
定多项式复变函数
之后，对任意一个复数
，通过计算公式
，
可以
得到一列值
．如果存在一个正数
，使得
对任意
都成立，则
称
为
的收敛点；否则，称为
的发散点．则下列选项中是
的收敛点的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上辽宁葫芦岛期末】
14．已知
，则下列结论成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 重庆南开中学模拟】
15．“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成，旋轮线
的参数方程为
，
其中
为参数，
为常数，旋轮线
也可看作某一个函数
的图象，下列说法正
确的有（ ）
A．点
在旋轮线
上
B．函数
是偶函数
C．函数
不是周期函数
D．当
时，函数
在
单调递减
【2025 上海南三亚期末】
16．设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线
的一部分，则
（ ）
A．点
在
上
B．将
在
轴上方的部分看作函数
的曲线，则
是
的极小值点
C．在
处
的切线，其与
的交点的横纵坐标均为有理数
D．
在
轴左边的部分到坐标原点
的距离均大于
【2024 云南月考】
17．已知三棱锥
的棱长均为6，其内有
个小球，球
与三棱锥
的四个
面都相切，球
与三棱锥
的三个面和球
都相切，如此类推，
，球
与三棱
锥
的三个面和球
都相切（
，且
），球
的表面积为
，体积为
，
则（ ）
A．
B．
C．数列
是公比为
的等比数列
D．数列
的前n 项和为
三．填空题．
【2025 上浙江台州月考】
18．已知向量
满足
与
的夹
角为
，设
，数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．120
B．180
C．210
D．420
【2025 上山东济宁期中】
19．已知函数
，则
的对称中心为 ；若
，则数列
的通项公式为 .
【2024 辽宁沈阳二模】
20．有序实数组
称为
维向量，
为该向量的范数，范
数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知
维向量
，其中
．记范数为奇数的
的个数为
，则
；
．
（用含
的式子表示）
【2025 上黑龙江哈尔滨期中】
21．已知正四面体
中，
，
，
，…，
在线段
上，且
，过点
作平行于直线
和
的平面，该平面截正四面
体
的截面面积为
，则
.若
，则数列
的最大项
为 .
【2025 辽宁二模】
22．设数列
是等比数列，
，公比q 是
的展开式中的
第二项（按x 的降幂排列），且
为
的前n 项和，若
，则
.（用含n 和x 的式子表达）
【2025 山东青岛一模】
23．有
个编号分别为
的盒子，第1 个盒子中有2 个红球1 个白球，其余盒子中
为1 个红球1 个白球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，再从第2 个盒子中任取
一球放入第3 个盒子，以此类推，则从第2 个盒子中取到红球的概率是 ，从第
个盒子中取到红球的概率是 .
【2025 上山东日照期末】
24．如图，画在纸面上的抛物线
过焦点
的弦
长为9，沿
轴将纸面折成平面
角为
的二面角后，空间中线段
的长为 ．
【原创】
25．“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：设
是坐标平面内的两点，则
两点间的曼哈顿距离为
．在平面直角坐标系
中，下列说法中正确的为 ．（填序号）
①若
，则
；②若动点
满足
，则
的轨迹长度为
；③设
是坐标平面内的定点，动点
满足
，则
的轨迹是以点
为顶点的正方形；④设
，点
在曲线
上，则
的最大值为
．
1．试题特点分析：跨模块的新定义题目是通过给出不同模块知识概念、运算或模型的
融合，创设全新的问题情景，要求考生依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实
现信息的交汇或迁移，达到灵活解题的目的．
2．解题方法阐述：首先要对不同模块的新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符
号等关键要素．其次明确跨模块之间的知识联系与加工，探求新定义与不同模块之间的联
系，寻找解决方法．
3．解题经验分享：第一、概念是解题的基础，只有准确把握新定义的内涵，才能进行
后续的解题步骤． 第二、与相关模块知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解题经验
来处理新定义题．第三、识别关键信息，判断这些本题模块信息如何与新定义相结合．
