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第四章 三角函数与解三角形
§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
【考情分析·探规律】
考点
近年考情
（200-2024）
命题趋势
考点1 任意角和弧度制及
求扇形的弧长、面积计算
2022·全国甲卷
了解任意角和弧度制的概念，
能进行弧度与角度的互化，借助单
位圆理解三角函数(正弦、余弦、正
切)的定义，并能利用三角函数的定
义解决相关问题。
考点2 任意角的三角函数
2020·山东卷
2020·全国卷
【知识梳理】
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α 的弧度数公式
|α|＝(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝| α | r
扇形面积公式
S＝lr＝| α | r 2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提
如图，设α 是一个任
意角，它的终边与单
位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y 叫做α 的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x 叫做α 的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α 的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将
它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin
α＝；
cos
α＝，
tan
α＝(x≠0).
【名师点拨】
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形
的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝.
3.象限角
4.轴线角
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )
(3)角α 的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( )
(4)若α 为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
2.角－863°的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为( )
A.20 cm
B.14 cm
C.10π cm
D.8π cm
4.已知角α 的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α 的值为 .
【名师点拨】
1.熟记以下常用结论
(1)轴线角
(2)若角α∈(0，π
2)，则sin α<α<tan α.
(3)α 所在象限与α
2 所在象限的关系
α 所在象限
一
二
三
四
α
2 所在象限
一、三
一、三
二、四
二、四
2.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，
不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
【必练核心题型】
题型一 角及其表示
【典例】1.(2025·宁波模拟)若α 是第二象限角，则( )
A.－α 是第一象限角
B.α
2 是第三象限角
C.3 π
2 ＋α 是第二象限角
D.2α 是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上
【典例】2.如图所示，终边落在阴影部分内的角α 的取值集合为 .
【变式训练】
变式1.(多选)下列四个命题中正确的是( )
A.－3 π
4 是第二象限角
B.4 π
3 是第三象限角
C.－400°是第四象限角
D.－315°是第一象限角
变式2.已知α 为第三象限角，则α
2 是第 象限角，2α 是
的角.
题型二 弧度制及其应用
【典例】1.《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在
掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦
的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π
4 米，整个肩宽约为π
8 米.“弓”所在圆的半
径约为1.25 米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：❑√2≈1.414，❑√3≈1.732)(
)
A.1.612 米
B.1.768 米
C.1.868 米
D.2.045 米
变式2.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
①若α＝π
3 ，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
③若α＝π
3 ，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
【变式训练】
变式1.半径为2 的圆上长度为4 的圆弧所对的圆心角是( )
A.1 rad
B.2 rad
C.4 rad
D.6 rad
变式2.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵
与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的
扇面面积为( )
A.1 600 cm2
B.3 200 cm2
C.3 350 cm2
D.4 800 cm2
题型三 三角函数的概念
【典例】1.若角α 满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α 是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【典例】2.(2025·深圳模拟)若角α 的终边过点(4，3)，则sin(α ＋π
2)等于( )
A.4
5
B.－4
5
C.3
5
D.－3
5
【变式训练】
变式1.已知点P(−1
2 ，
❑√3
2 )在角θ 的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ 的大小为( )
A.π
3
B.2π
3
C.5 π
3
D.4 π
3
变式2.已知角α 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)
在第四象限，则角α 的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【限时训练】（限时：40 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A.3 π
4 －6π
B.7 π
4 －6π
C.3 π
4 －8π
D.7 π
4 －8π
2.若角α 的终边在y 轴的非正半轴上，则角α＋2π
3 的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.y 轴的非负半轴上
D.x 轴的非正半轴上
3.设α 是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5x，则tan α 等于( )
A.－4
5
B.－3
5
C.－3
4
D.－4
3
4.已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 5 π
6 ，cos 5 π
6 )，则角x 的最小正值为( )
A.5 π
6
B.5 π
3
C.11π
6
D.2π
3
5.“sin 2θ>0”是“θ 为第一或第三象限角”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O 中作出两个扇形OAB 和OCD，用
扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为S1，扇形
OAB 的面积为S2，当S1与S2的比值为
❑√5−1
2
时，扇面的形状较为美观，则此时扇形
OCD 的半径与半圆O 的半径之比为( )
A.
❑√5＋1
4
B.
❑√5−1
2
C.3－❑√5
D.❑√5－2
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下面说法正确的有( )
A.角π
3 与角－5 π
3 的终边相同
B.终边在直线y＝－x 上的角α 的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α 的终边在直线y＝－3x 上，则cos α 的取值为
❑√10
10
D.67°30'化成弧度是3 π
8 rad
8.(2025·深圳模拟)如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动.若A 和B 同
时出发，A 的角速度为1 rad/s，起点位置坐标为(
1
2 ，
❑√3
2 )，B 的角速度为2 rad/s，起
点位置坐标为(1，0)，则( )
A.在1 s 末，点B 的坐标为(sin 2，cos 2)
B.在1 s 末，扇形AOB 的弧长为π
3 －1
C.在7 π
3 s 末，点A，B 在单位圆上第二次重合
D.△AOB 面积的最大值为1
2
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知角α 的终边在图中阴影部分内，则角α 的取值集合为 .
10.已知角θ 的顶点为坐标原点O，始边与x 轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角
θ 的终边上，且|OA|≤3，则tan θ 的值可以是 .(写出一个即可)
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)已知α＝π
3 .
(1)写出与角α 终边相同的角的集合，并求出在(－4π，－π)内与角α 终边相同的角；(6
分)
(2)若角β 与角α 的终边相同，判断角β
2 是第几象限角.(7 分)
12.(14 分)某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图
所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA＝2 米，OB＝x 米
(0<x<2)，线段BA，线段CD 与´BC ，´AD的长度之和为6 米，圆心角为θ 弧度.
(1)求θ 关于x 的函数解析式；(6 分)
(2)记该宣传牌的面积为y，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.(8 分)
【尖子拔高训练】13 题6 分，14 题5 分，共11 分
13.(多选)已知角θ 的终边经过点(－2，－❑√3)，且θ 与α 的终边关于x 轴对称，则( )
A.sin θ＝－
❑√21
7
B.α 为钝角
C.cos α＝－2❑√7
7
D.点(tan θ，tan α)在第四象限
14.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆
上一点P 的位置在(0，0)处，圆在x 轴上沿x 轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，
1)处时，⃗OP的坐标为 .
