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§4.9 解三角形中的最值与范围问题
重点解读 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围
问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形
面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
题型一 利用基本不等式求最值(范围)
例1 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
a
cos A ＝√3b
sin B .
(1)求角A；
(2)若a＝2，求△ABC 面积的最大值.
解 (1)由
a
cos A ＝√3b
sin B ，
结合正弦定理
a
sin A ＝
b
sin B ，得sin A
cos A ＝√3sin B
sin B
＝√3，
所以tan A＝√3，
又因为A∈(0，π)，所以A＝π
3 .
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2 时等号成立，
所以S△ABC＝1
2bcsin A≤1
2×4×√3
2 ＝√3，
即当b＝c＝2 时，△ABC 面积的最大值为√3.
思维升华 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法
在△ABC 中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到
“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S＝1
2bcsin A，即求bc 最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc 的
最值.
(2)求周长a＋b＋c 的最值时，即求b＋c 的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本
不等式bc≤(
b＋c
2 )
2
，即可求得b＋c 的最值.
跟踪训练1 已知在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A.
(1)求角A 的大小；
(2)若a＝√3，求△ABC 周长的最大值.
解 (1)由正弦定理
a
sin A ＝
b
sin B ＝
c
sinC ，
得b2＋c2＋bc＝a2，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得，cos A＝b
2＋c
2-a
2
2bc
＝－1
2 ，
又0<A<π，所以A＝2π
3 .
(2)由a＝√3和(1)可知b2＋c2＋bc＝3，则3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－(b＋c)
2
4
＝3(b＋c)
2
4
，
得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2，
所以a＋b＋c≤2＋√3，当且仅当b＝c＝1 时取得等号，
所以△ABC 周长的最大值为2＋√3.
题型二 转化为三角函数求最值(范围)
例2 (2024·广州模拟)如图，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形内部，AB＝3，BC＝
7，△ACD 为正三角形.
(1)求AC 的取值范围；
(2)设∠ABC＝α，当α 变化时，求四边形ABCD 面积的最大值.
解 (1)因为四边形ABCD 的对角线交点位于四边形内部，所以∠BAC＋∠CAD<π，
又因为△ACD 为正三角形，∠CAD＝π
3 ，
所以0<∠BAC<2π
3 ，
在△ABC 中，由余弦定理得
A B
2＋A C
2- BC
2
2 AB·AC
＝cos∠BAC，
又因为－1
2<cos∠BAC<1，
将AB＝3，BC＝7 代入并整理得AC2＋3AC－40>0，且AC2－6AC－40<0，解得5<AC<10，
所以AC 的取值范围是(5，10).
(2)在△ABC 中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos α＝9＋49－2×3×7cos α＝58－42cos α，
由(1)知5<AC<10，
则cos α＝58- A C
2
42
∈(-1，11
14)，
又因为△ACD 为正三角形，
所以S△ACD＝√3
4 AC2＝29√3
2
－21√3
2
cos α，
又S△ABC＝1
2AB·BC·sin α＝21
2 sin α，
所以S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC
＝29√3
2
－21√3
2
cos α＋21
2 sin α
＝21×(
1
2 sin α - √3
2 cosα)＋29√3
2
＝21sin(α - π
3)＋29√3
2
，
所以当α－π
3 ＝π
2 ，即α＝5 π
6 时，cos 5 π
6 ＝－√3
2 ∈(-1，11
14)成立，
此时四边形ABCD 的面积取得最大值，最大值为21＋29√3
2
.
思维升华 利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、
单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三
角形内角和为π 等.
跟踪训练2 在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且bsin B－asin A＝
[2bsin(A ＋π
6)-c]sin C.
(1)求角A 的大小；
(2)求sin Ccos B 的取值范围.
解 (1)bsin B－asin A
＝[2bsin(A ＋π
6)-c]sin C
＝(2bsin A cos π
6 ＋2bcos A sin π
6 -c)sin C，
由正弦定理得
b2－a2＝2bcsin Acos π
6 ＋2bccos Asin π
6 －c2，
所以√3bcsin A＋bccos A＝b2＋c2－a2＝2bccos A，
则√3sin A＝cos A，cos A≠0，
所以tan A＝√3
3 ，
又A∈(0，π
2)，所以A＝π
6 .
(2)因为△ABC 为锐角三角形，
所以A＋B＝π
6 ＋B>π
2 ，B>π
3 ，
即π
3 <B<π
2 .
sin Ccos B＝sin(
5 π
6 - B)cos B
＝(sin 5 π
6 cos B -cos 5 π
6 sin B)cos B
＝1
2cos2B＋√3
2 sin Bcos B
＝1＋cos2B
4
＋√3
4 sin 2B
＝1
2(
√3
2 sin 2B＋1
2 cos2B)＋1
4
＝1
2sin(2B＋π
6)＋1
4 ，又π
3 <B<π
2 ，
则5 π
6 <2B＋π
6 <7 π
6 ，－1
2<sin(2B＋π
6)<1
2 ，
所以0<sin Ccos B<1
2.
即sin Ccos B 的取值范围是(0，1
2).
题型三 转化为其他函数求最值(范围)
例3 (2024·北京模拟)在△ABC 中，AB＝5，D 在边AB 上，且2BD＝3AD，BC＝2CD.
(1)若CD＝2，求△ABC 的周长；
(2)求△ACD 周长的最大值.
解 (1)若CD＝2，则BC＝2CD＝4，
又AB＝5，2BD＝3AD，所以BD＝3，AD＝2，
在△BCD 中，由余弦定理得
cos B＝BC
2＋B D
2-C D
2
2BC·BD
＝16＋9- 4
2×4×3 ＝7
8 ，
在△ABC 中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝25＋16－2×5×4×7
8＝6，
故AC＝√6，
故△ABC 的周长为5＋4＋√6＝9＋√6.
(2)由(1)知，BD＝3，AD＝2，
设CD＝x，则BC＝2x，
由三边关系可得{
2 x＋x>3，
2 x - x<3，解得1<x<3，
在△BCD 中，由余弦定理得
cos B＝BC
2＋B D
2-C D
2
2BC·BD
＝4 x
2＋9- x
2
2×2 x·3
＝x
2＋3
4 x
，
在△ABC 中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝25＋4x2－2×5×2x× x
2＋3
4 x
＝10－x2，
故AC＝√10- x
2，
所以△ACD 的周长为√10- x
2＋x＋2，
令f(x)＝√10- x
2＋x＋2，1<x<3，
则f'(x)＝-2 x
2√10- x
2＋1＝√10- x
2- x
√10- x
2
，x∈(1，3)，
当1<x<√5时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当√5<x<3 时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
故f(x)在x＝√5处取得极大值，也是最大值，
故△ACD 周长的最大值为f(√5)＝√5＋√5＋2＝2√5＋2.
思维升华 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函
数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调
性求解.
跟踪训练3 已知△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
sin A
sin B＋sinC ＝c -b
b
.
(1)若C＝π
2 ，求B；
(2)求a＋c
b
的取值范围.
解 (1)由
sin A
sin B＋sinC ＝c -b
b
及正弦定理可得，
a
b＋c ＝c -b
b
，即c2＝b2＋ab，
∵C＝π
2 ，∴c2＝a2＋b2，
∴b2＋ab＝a2＋b2，则a＝b，即A＝B，
又C＝π
2 ，∴B＝π
4 .
(2)由(1)知，c2＝b2＋ab，
∴a＝c
2-b
2
b
，c>b，
由三角形三边关系可得{
a＋b>c，
b＋c>a，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋c
b
＝c
2-b
2＋bc
b
2
＝c
2
b
2 ＋c
b－1，
令x＝c
b ，则x∈(1，2)，
令f(x)＝x2＋x－1，1<x<2，
∴f(x)＝(x＋1
2)
2
－5
4 ∈(1，5)，
∴c
2
b
2 ＋c
b－1∈(1，5)，
∴a＋c
b
的取值范围是(1，5).
课时精练
[分值：70 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.在锐角△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝π
6 ，则b 的取值范围是( )
A.(0，6)
B.(0，2√3)
C.(√3，2√3)
D.(3√3，6)
答案 D
解析 在锐角△ABC 中，a＝3，A＝π
6 ，
由正弦定理可得
b
sin B ＝
a
sin A ＝3
1
2
＝6，
所以b＝6sin B，
又B＋C＝5 π
6 ，
所以{
0<B< π
2 ，
0<C ＝5 π
6 - B< π
2 ，
解得π
3 <B<π
2 ，
所以√3
2 <sin B<1，所以b 的取值范围是(3√3，6).
2.在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC 为钝角三角形，
则c 的取值范围为( )
A.(2，4)
B.(1，3)
C.(0，3)
D.(3，4)
答案 A
解析 由a＝c－1，b＝c＋1，则b>c>a，
所以c＋c－1>c＋1，故c>2，
由△ABC 为钝角三角形，则cos B<0，
即c
2＋(c -1)
2-(c＋1)
2
2c(c -1)
<0，得c2－4c<0，故0<c<4，
故c 的取值范围为(2，4).
3.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3(b＋c)，A＝π
3 ，则△ABC 周长的最大值
为( )
A.6
B.12
C.18
D.24
答案 C
解析 因为A＝π
3 ，且a2＝3(b＋c)，
由余弦定理可得，a2＝3(b＋c)＝b2＋c2－bc，
所以(b＋c)2－3(b＋c)＝3bc≤3
4 (b＋c)2，
当且仅当b＝c 时，等号成立，
所以b＋c≤12，所以a＝√3(b＋c)≤6，
即△ABC 周长的最大值为12＋6＝18.
4.(2025·泰州模拟)已知在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，C＝60°，B>90°，则b
a的取值
范围为( )
A.(
1
2 ，＋∞)
B.(√3，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.(3，＋∞)
答案 C
解析 因为C＝60°，B>90°，
所以0°<A<30°，0<tan A<√3
3 ，
即得
1
tan A >√3，
由正弦定理可得，b
a ＝sin B
sin A ＝sin( A ＋C )
sin A
＝
1
2 sin A ＋√3
2 cos A
sin A
＝1
2 ＋√3
2
×
1
tan A >2.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知B＝π
3 ，b＝4√3，则下列说法正确的是( )
A.若A＝π
4 ，则a＝4√2
B.若a＝1，则c＝7＋3√5
2
C.△ABC 周长的最大值为12√3
D.△ABC 面积的最大值12√3
答案 ACD
解析 由正弦定理，
b
sin B ＝
a
sin A ，代入数据解得a＝4√2，故A 正确；
由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝c2－c＋1＝48，解得c＝1＋3√21
2
或c＝1-3√21
2
(舍去)，故B 错误；
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3
(
a＋c
2 )
2
＝(a＋c)
2
4
，
当且仅当a＝c＝4√3时，等号成立，所以a＋c≤8√3，故△ABC 周长的最大值为12√3，故C 正确；
由C 选项分析可知a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤48，所以△ABC 的面积S△ABC
＝1
2acsin B＝√3
4 ac≤√3
4 ×48＝12√3，
当且仅当a＝c＝4√3时等号成立，故D 正确.
6.(2024·广州模拟)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且3bcos C＋3ccos B＝a2，则下列说
法正确的是( )
A.若B＋C＝2A，则△ABC 的外接圆的面积为3π
B.若A＝π
4 ，且△ABC 有两解，则b 的取值范围为[3，3√2]
C.若C＝2A，且△ABC 为锐角三角形，则c 的取值范围为(3√2，3√3)
D.若A＝2C，且sin B＝2sin C，O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为3√3-3
4
答案 ACD
解析 因为3bcos C＋3ccos B＝a2，
所以由正弦定理，得3sin Bcos C＋3sin Ccos B＝asin A，
即3sin(B＋C)＝asin A，
因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A，
且sin A≠0，所以a＝3.
选项A，若B＋C＝2A，则A＝π
3 ，
所以△ABC 的外接圆的直径2R＝
a
sin A ＝2√3，
所以R＝√3，
所以△ABC 的外接圆的面积为π×(√3)2＝3π，A 正确；
选项B，因为△ABC 有两解，
则bsin A<a<b，则bsin π
4 <3<b，
解得3<b<3√2，B 错误；
选项C，由正弦定理
a
sin A ＝
c
sinC ，得
a
sin A ＝
c
sin2 A ，
即c＝2acos A＝6cos A，
因为△ABC 为锐角三角形，
所以{
0< A < π
2 ，
0<π -3 A < π
2 ，
0<2 A < π
2 ，
所以π
6 <A<π
4 ，
所以c＝6cos A∈(3√2，3√3)，C 正确；
选项D，因为a＝3，sin B＝2sin C，A＝2C，
可得B＝π－3C，由正弦定理可得b＝2c，
由sin(π－3C)＝2sin C，
可得sin Ccos 2C＋cos Csin 2C＝2sin C，
由sin C≠0，可得4cos2C－1＝2，
解得cos2C＝3
4 ，
又B＝π－3C∈(0，π)，则C∈(0，π
3)，
故cos C＝√3
2 ，sin C＝1
2 ，
可得sin A＝2sin Ccos C＝2×1
2×√3
2 ＝√3
2 ，
由正弦定理
a
sin A ＝
c
sinC ，a＝3 可得c＝√3，b＝2√3，则a＋b＋c＝3＋3√3，
S△ABC＝1
2bcsin A＝1
2×2√3×√3×√3
2 ＝3√3
2
，
设△ABC 的内切圆半径为r，
则r＝2S△ABC
a＋b＋c ＝
3√3
3＋3√3 ＝3-√3
2
，
S△AOB＝1
2cr＝1
2×√3×3-√3
2
＝3√3-3
4
，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2024·辽阳模拟)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则
sin
2C
sin A sin B 的最
小值为 .
答案 2
3
解析 因为a2＋4b2＝6c2≥2√a
2·4 b
2＝4ab，
当且仅当a＝2b 时，等号成立，
即c
2
ab≥2
3.
由正弦定理可得
sin
2C
sin A sin B ＝c
2
ab≥2
3 ，当且仅当a＝2b 时，等号成立，
所以
sin
2C
sin A sin B 的最小值为2
3.
8.(2024·绵阳模拟)如图所示，在△ABC 中，已知A＝π
3 ，C＝π
2 ，AC＝4，D，E，F 分别在边AC，BC，AB
上，且△DEF 为等边三角形.则△DEF 的面积的最小值是 .
答案 12√3
7
解析 不妨设△DEF 的边长为a，∠CDE＝θ.
在Rt△CDE 中，CD＝acos θ.
因为∠ADF＝π－θ－π
3 ＝2π
3 －θ，
所以在△AFD 中，可得∠AFD＝π－π
3 －∠ADF＝θ，
根据正弦定理可得AD
sinθ ＝DF
sin A ，
所以AD＝2a
√3sin θ，
所以AC＝CD＋AD＝a(cosθ＋2
√3 sinθ)＝√7
√3asin(θ＋φ)＝4，其中tan φ＝√3
2 ，
当sin(θ＋φ)＝1 时，a 取得最小值4√3
√7 ＝4√21
7
，
故△DEF 面积的最小值为
S＝√3
4 a2＝√3
4 ×(
4√21
7 )
2
＝12√3
7
.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)(2024·铜川模拟)已知在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，tan Atan B＋tan Atan C＝
3tan Btan C.
(1)证明：3b2＋3c2＝5a2；(6 分)
(2)若a＝√15，当A 取最大值时，求△ABC 的面积.(7 分)
(1)证明 ∵tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C，
∴sin A
cos A(
sin B
cos B ＋sinC
cosC)＝3× sin BsinC
cos BcosC ，
∴sin A(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝3sin Bsin Ccos A，
∴sin(B＋C)sin A＝3sin Bsin Ccos A，
又sin(B＋C)＝sin A，
∴sin2A＝3sin Bsin Ccos A，
由正弦定理可得a2＝3bccos A，
由余弦定理可得a2＝3bccos A＝3
2(b2＋c2－a2)，
整理得3b2＋3c2＝5a2.
(2)解 由(1)得3b2＋3c2＝5a2，
即a2＝3
5(b2＋c2)，
则cos A＝b
2＋c
2-a
2
2bc
＝
b
2＋c
2- 3
5 (b
2＋c
2)
2bc
＝1
5(
c
b ＋b
c)
≥2
5 ，
当且仅当c
b ＝b
c ，即b＝c 时，等号成立，A 取最大值，
此时3b2＋3c2＝6b2＝5a2＝75，
则b2＝25
2 ，
∵cos A＝2
5>0，则A∈(0，π
2)，
可得sin A＝√
1-(
2
5)
2
＝√21
5 ，
故S△ABC＝1
2bcsin A＝1
2b2×√21
5 ＝1
2×25
2 ×√21
5 ＝5√21
4
.
10.(15 分)(2025·郑州模拟)已知在△ABC 中，√3sin(A＋B)＝1＋2sin2C
2 .
(1)求角C 的大小；(6 分)
(2)如图，若∠BAC 与∠ABC 的平分线交于点I，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值.(9 分)
解 (1)∵√3sin(A＋B)＝1＋2sin2C
2 ，且A＋B＋C＝π，
∴√3sin C＝1＋1－cos C＝2－cos C，
即√3sin C＋cos C＝2，
∴2sin(C ＋π
6)＝2.
∵C∈(0，π)，∴C＋π
6 ∈(
π
6 ，7 π
6 )，
∴C＋π
6 ＝π
2 ，即C＝π
3 .
(2)∵△ABC 的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知，
AB
sin ∠ACB ＝
AB
sin π
3
＝2×2＝4，
∴AB＝2√3，
∵∠ACB＝π
3 ，∴∠ABC＋∠BAC＝2π
3 ，
∵∠BAC 与∠ABC 的平分线交于点I，
∴∠ABI＋∠BAI＝π
3 ，∴∠AIB＝2π
3 ，
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝π
3 －θ，且0<θ<π
3 ，
在△ABI 中，由正弦定理得，
BI
sin(
π
3 -θ)
＝AI
sinθ ＝
AB
sin ∠AIB ＝
2√3
sin 2π
3
＝4，
∴BI＝4sin(
π
3 -θ)，AI＝4sin θ，
∴△ABI 的周长为2√3＋4sin(
π
3 -θ)＋4sin θ＝2√3＋4(
√3
2 cosθ - 1
2 sinθ)＋4sin θ
＝2√3＋2√3cos θ＋2sin θ
＝4sin(θ＋π
3)＋2√3，
∵0<θ<π
3 ，∴π
3 <θ＋π
3 <2π
3 ，
∴当θ＋π
3 ＝π
2 ，即θ＝π
6 时，△ABI 的周长取得最大值，为4＋2√3，
故△ABI 周长的最大值为4＋2√3.
