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第 03 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
公式 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：公式的基本应用
高频考点二：公式的逆用及变形
高频考点三：辅助角公式的运用
高频考点四：二倍角
高频考点五：拼凑角
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
② ； ；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中 )
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·山东临沂·高一期末） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】 ；
；
原式
.
故选：C
2．（2022·湖北·高三开学考试） （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】
.
故选：B
3．（2022·甘肃酒泉·高一期末） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ．
故选：A
4．（2021·四川成都·高一期末（文）） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 .
故选：D
5．（2022·安徽蚌埠·高一期末）已知 ， .
(1)求 ；
(2)求 .
【答案】(1) (2)-2(1)解：因为 ，则 ，由 ，
解得 .
∴ .
(2)解：由（1）知， ，
所以 .
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：公式的基本应用
典型例题
例题1．（2022·北京海淀·高一期末） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： .
故选：A.
例题2．（2022·云南·高一期末）已知角 的终边经过点 ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵角 的终边经过点 ，则P到原点距离为 ，∴ ，
，
∴ .
故选：D.例题3．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角 的终边过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为角 的终边过点 ，由任意三角形的定义知： ，
.
故选：D.
例题4．（2022·辽宁·鞍山市第三中学高一期末）已知 是第四象限角，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知，θ是第四象限角， ，所以 ，
所以 .
故选：B.
题型归类练
1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知 ， ，则 的值为
________．
【答案】 #0.6
【详解】解：∵ ，∴ ．
故答案为： .
2．（2022·全国·高一课时练习）在 中， ， ，则 ______.
【答案】【详解】因为 ，且 ，所以 ，所以
，且 ，所以 ，所以
.
3．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）已知 是第三象限角，求
（1） 与 的值；
（2） ．
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】（1）由 ， ，得 .
又由 ， 是第三象限角，得 .
（2）由（1）得
.
4．（2022·湖南·高一课时练习）已知 ， ，求 的值．
【答案】
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
高频考点二：公式的逆用及变形
典型例题
例题1．（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： .
故选：A.
例题2．（2022·四川内江·高一期末（文）） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 .
故选：D.
例题3．（2022·四川成都·高一期末（理）） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，
∴ ，
；
故选：C.
例题4．（2022·四川凉山·高一期中（理）） _________．
【答案】
【详解】解：由题意得：
由两角和的正切公式 ，可令
，可得
故答案为：
题型归类练
1．（2022·四川凉山·高一期中（理）） _________．
【答案】【详解】解：由题意得：
由两角和的正切公式 ，可令
，可得
故答案为：
高频考点三：辅助角公式的运用
典型例题
例题1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）函数 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，故最大值为2
故选：B
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）满足 的角x 等于_____．
【答案】 .
【详解】 ，
∵ ， ，
∴ ， ；
故答案为： .
例题3．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)(1)
(2)
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）当函数 取得最大值时， ____________．
【答案】 ##
【详解】 ，且 ，
∴ ，
∴当 ，即 时，函数取最大值2．
故答案为：
2．（2022·全国·高一课时练习）求值： ____________．
【答案】
【详解】 ．
故答案为：
3．（2022·北京海淀·高一期末）函数 ， 的值域是____________．
【答案】
【详解】解：
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即函数 ， 的值域是 .
故答案为： .
高频考点四：二倍角
典型例题
例题1．（2022·四川甘孜·高一期末）若 ， 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ， 所以 .
故选：B.
例题2．（2022·广东佛山·高一期末）若 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 .
故选：D
例题3．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知角 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】方法一：因为 ，所以 .
等式两边同时平方，得 ，即 ，解得 .
所以 .
方法二： .
故选:D.
例题4．（2022·江西九江·高一期末）已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
（1）因为 ，
所以 ，
所以 .
（2）由二倍角公式得： ，
，
所以 ．
题型归类练
1．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知条件得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
2．（2022·河北衡水·高三阶段练习） 的值为______.
【答案】
【详解】由题意， ，
故答案为： .
3．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知锐角 满足 ，则 ___________.
【答案】 ##0.825
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 为锐角， ，
则 ，
两边同平方可得， ，
所以 .
故答案为： .4．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知 ，则 ___________；
___________.
【答案】
【详解】由于 ，则 ，
所以 ；
.
故答案为： ， .
高频考点五：拼凑角
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测（理））若 ，则 的值为（ ）
A．3 B． C．－3 D．
【答案】A
【详解】 ,
故选：A.
例题2．（2022·山东·高三开学考试）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以故选：C
例题3．（2022·上海市市西中学高二开学考试）已知 是第三象限角， ，则
___________.
【答案】
【详解】因为 是第三象限角 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
例题4．（2022·全国·高一单元测试）已知 都是锐角， ，则
___________.
【答案】 ##
【详解】 、 为锐角，
，
，
由于 为锐角，
故答案为：
题型归类练
1．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，则 ，所以， ，
所以， .
故选：B.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知 ， ，则 （ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以
.
故选：A.
3．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）已知 ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ， ，
所以.
故选：B
4．（2022·江西景德镇·高二期末（文））已知 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ．
故选：A．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解法一：（直接法）
由已知得： ,
即： ，
即： ,所以 ,故选：C
解法二：（特殊值排除法）解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
解法三：（三角恒等变换）
所以
即
故选：C.
解法四：
由已知得： ,
即： ，
即： ,
所以 ,
故选：C
2．（2021·全国·高考真题（文）） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，
.
故选：D.
3．（2021·全国·高考真题（文））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
4．（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
5．（2022·浙江·高考真题）若 ，则 __________， _________．
【答案】
【详解】解法一：利用辅助角公式处理，
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .故答案为： ； .
解法二：直接用同角三角函数关系式解方程，
∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .
故答案为： ； .
