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2025 二轮复习专项训练19
空间向量与空间角
[考情分析] 高考必考内容，常以空间几何体为载体考查空间角，是高考命题的重点，常
与空间线、面关系的证明相结合，热点为平面与平面的夹角的求解，均以解答题的形式进
行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．题目难度为中档题．
【练前疑难讲解】
一、异面直线所成的角
(1)设直线l，m 的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，设l，m 的夹角为θ，
则cos θ＝＝.
(2)异面直线所成的角的范围为.
二、直线与平面所成的角
(1)设直线l 的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α 的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，设直线l 与
平面α 的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝.
(2)线面角的范围为.
三、平面与平面的夹角
(1)设平面α，β 的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，且平面α 与平面β 的夹
角为θ，
则cos θ＝|cos〈μ，v〉|＝.
(2)平面与平面的夹角的取值范围为.
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形
，
，将
沿对角线
折
起，使以
四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线
与
所成角的余弦值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭
建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市
民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.
已知
和
是圆
的两条互相垂直的直径，将平面
沿
翻折至平面
，使得
平面
平面
（如图2）此时直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形AEFC 中，
，EF=4，B 为EF 中点，现分
别沿AB、BC 将△ABE、△BCF 翻折，使点E、F 重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-
ABC，则（ ）
A．三棱锥
的体积为
B．直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为
C．直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为
D．三棱锥
外接球的半径为
4．（22-23 高二上·山东德州·期中）如图，已知正方体
的棱长为
，点
分别为棱
的中点，
，则（ ）
2
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A．无论
取何值，三棱锥
的体积始终为
B．若
，则
C．点
到平面
的距离为
D．若异面直线
与
所成的角的余弦值为
．则
三、填空题
5．（2024·上海·高考真题）已知四棱柱
底面ABCD 为平行四边形，
且
，则异面直线
与BD的夹角余弦值为 .
6．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2 的正方体
中，动点
，
分别在
棱
，
上，且满足
，当
的体积最小时，
与平面
所成角的
正弦值是 ．
3
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四、解答题
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
，
，
，点
，
分别为
和
的中点．
(1)证明：
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
8．（2021·全国·高考真题）在四棱锥
中，底面
是正方形，若
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
C
B
BD
AB
4
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1．C
【分析】当三棱锥
的体积最大时，平面
平面
，以E 为原点，
分别为
轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量
的坐标，根据
向量夹角的坐标表示可解.
【详解】记
的 中点分别为
，因为
，所以
，
同理，
，记
，
因为
，所以
，
所以
，
，
易知，当平面
平面
时，三棱锥
的体积最大，此时
，
以E 为原点，
分别为
轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
所以
，
所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：C
2．B
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.
【详解】依题意，
，而平面
平面
，平面
平面
，
5
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又
平面
平面
，则
平面
，
，
因此直线
两两垂直，以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间
直角坐标系，
令圆半径
，则
，
，设平面
的一个法向量
，
则
，令
，得
，设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
故选：B
3．BD
【分析】证明
平面
，再根据
即可判断A；先利用余弦定理求出
，将
用
表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点
到
平面
的距离
，再根据直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为
即可判断C；利用正
弦定理求出
的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.
【详解】由题意可得
，
又
平面
，
所以
平面
，
6
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在
中，
，
边上的高为
，
所以
，故A 错误；
对于B，在
中，
，
cos⟨⃗PA ,⃗BC⟩=⃗PA ⋅⃗BC
|⃗PA||⃗BC|
=⃗PA ⋅(⃗PC −⃗PB)
2√3×4
=⃗PA ⋅⃗PC −⃗PA ⋅⃗PB
8√3
=
2√3×2√3× 1
3
8√3
= √3
6
，
所以直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为
，故B 正确；
对于C，
，
设点
到平面
的距离为
，
由
，得
，解得
，
所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为
，故C 错误；
由B 选项知，
，则
，
所以
的外接圆的半径
，
设三棱锥
外接球的半径为
，
又因为
平面
，
则
，所以
，
7
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即三棱锥
外接球的半径为
，故D 正确.
故选：BD.
4．AB
【分析】对于A，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；
对于B，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求解；
对于C，由B 选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面
的法向量，
再利用点到平面的距离公式即可求解；
对于D，由B 选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线
与
的方向
向量，再利用向量的夹角与线线角的关系即可求解；
【详解】对于A，因为正方体
的棱长为
，点
分别为棱
的中
点,
所以
,
在正方体
中，
平面
，
由等体积法知，
三棱锥
=
三棱锥
=
，
所以无论
取何值，三棱锥
的体积始终为，故A 正确；
对于B,由题意可知，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系
，如图所示
因为正方体
的棱长为
，
所以
，
，
，
，
,
8
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由
，得
，设
，则
所以
，
所以
，所以
，解得
，
所以
，
所以
，
所以
，故B 正确；
对于C，由B 选项建立的空间直角坐标系知，
，
，
，
设
，则
，
，
所以
，所以
，解得
，所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
,即
，令
则
，
所以
，
所以点
到平面
的距离为
，
由于
无法确定，所以点
到平面
的距离无法确定，故C 错误；
9
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对于D,由B 选项建立的空间直角坐标系知，
，
，
,
，
，
,
设
，则
，
，
所以
，所以
，解得
，所以
，
所以
，
因为异面直线
与
所成的角的余弦值为
，则
，即
，解得
或
（舍），
故D 错误.
故选：AB.
5．
【分析】将
用不共面的向量
表示出来，从而得到
，然后由公式计算夹角余弦值即可.
【详解】
，
，
，
底面ABCD 为平行四边形，所以
，
所以
，
.
10
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所以
，
故异面直线
与BD的夹角的余弦值为:
，
故答案为：
6．
【分析】设
，结合等积法，可求出当
的体积最小时，
，
分别
是所在棱的中点；法一，根据
，可求出点
到平面
的距离为
，结
合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.
【详解】设
，则
．
由等体积法，得
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
所以当
的体积最小时，
，
分别是所在棱的中点．
方法一 易知
，
，
．由余弦定理，得
，所以
，
所以
．
设点
到平面
的距离为
．根据
，
得
，解得
．
11
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所以
与平面
所成角的正弦值为
．
方法二 以点
为原点，以
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，
建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
．
所以
，
，
．
设平面
的法向量为⃗n=(x , y , z)，
则
即
令
，得
，
，
则
．设
与平面
所成的角为
，
则
．
故答案为：
7．(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）取
的中点
，通过证明
平面
，再由线面垂直的性质定理即
可得到结果.
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果.
【详解】（1）取
的中点
，连接
,
由
，易知
为等腰直角三角形，
此时
，又
，所以
.
因为
,所以
，
12
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由
，即
，所以
，
此时，
,有
四点共面，
,
所以
平面
，又
平面
，所以
.
（2）由
且
,所以
平面
.
由
，得
为等边三角形，
以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，过
且与平面
垂直的直线为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
,
设平面
的法向量⃗n=(x , y , z)
由
,即
，取
，
，
又
，设直线
与平面
所成角为
，
则
,
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
8．（1）证明见解析；（2）
.
13
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【分析】（1）取
的中点为
，连接
，可证
平面
，从而得到面
面
.
（2）在平面
内，过
作
，交
于
，则
，建如图所示的空间坐
标系，求出平面
、平面
的法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】
（1）取
的中点为
，连接
.
因为
，
，则
，
而
，故
.
在正方形
中，因为
，故
，故
，
因为
，故
，故
为直角三角形且
，
因为
，故
平面
，
因为
平面
，故平面
平面
.
（2）在平面
内，过
作
，交
于
，则
，
结合（1）中的
平面
，故可建如图所示的空间坐标系.
14
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则
，故
.
设平面
的法向量
，
则
即
，取
，则
，
故
.
而平面
的法向量为
，故
.
二面角
的平面角为锐角，故其余弦值为
.
【基础保分训练】
一、解答题
1．（23-24 高三上·山东枣庄·期末）如图，直四棱柱
的底面为平行四边形，
分别为
的中点.
15
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(1)证明：
平面
；
(2)若底面
为矩形，
，异面直线
与
所成角的余弦值为
，求
到平面
的距离.
2．（2024·天津·二模）如图，
平面
，
，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)设
是棱
上的点，若
与
所成角的余弦值为
，求
的长．
3．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
是侧棱
的中点，侧面
为正三角形，侧面
底面
．
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
4．（2024·天津河东·一模）在正方体
中（如图所示），边长为2，连接
16
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(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)底面正方形
的内切圆上是否存在点
使得
与平面
所成角的正弦值为
，
若存在求
长度，若不存在说明理由．
5．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱
中，
为
的中点，点
分别在棱
和棱
上，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
17
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(3)求点
到平面
的距离．
6．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，点
在棱
上，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)当二面角
为
时，求
.
7．（2024·天津河西·一模）已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
为
上一点且满足
，
，分别为
，
的中点．
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的大小；
(3)求点
到平面
的距离．
8．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是矩形，
，过棱
的中点E 作
于点
，连接
．
18
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(1)证明：
；
(2)若
，求平面
与平面
所成角的正弦值．
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）通过证明
平行于面
内的一条直线，即可证明
平面
；
（2）建立空间直角坐标系，设出
的长并表达出各点坐标，利用异面直线
与
所
成角的余弦值得出
，求出平面
的一个法向量，即可得出
到平面
的距
离.
【详解】（1）连接
，交
于点
，连接
，
则
为
的中点，
因为
为
的中点，所以
，且
，
19
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因为
为
的中点，所以
，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
又因为
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）由题意（1）及几何知识得，
在直四棱柱
中，
，
两两垂直，以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴､
轴､
轴建
立如图所示的空间直角坐标系.
设
，则
，
，
.
设异面直线
与
所成角为
，则
，
解得：
，
故
，
20
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则
设平面
的一个法向量为⃗n=(x , y , z)，
到平面
的距离为
.
所以
即
取
，
得
.
所以
，
即
到平面
的距离为
.
2．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立坐标系，利用
，即可证明
；
（2）分别求得平面
与平面
的法向量，利用法向量即可求解；
（3）设
，借助
，求得
值，即可求解.
【详解】（1）证明：因为
平面
，
，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
21
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由已知可得A (0,0,0)，
，
，
，
，
因为
为
的中点，所以
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以
.
（2）
，
，
设平面
的法向量
，则
，即
，令
得
，
所以
．
平面
的法向量
，
设平面
与平面
夹角为
，
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
．
22
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（3）设
且
（
），
，则
，
，
，
所以
，所以
，
，
所以
，
化简得
，
解得
或
（舍），
因为
，所以
．
3．(1)
(2)
．
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到
到平面
的距离为
，进而由锥体体积公式求出答案；
（2）证明出
，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角
余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.
【详解】（1）如图所示，取
的中点
，连接
．
因为
是正三角形，所以
．
又因为平面
底面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，且
．
23
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又因为
是
的中点，
到平面
的距离为
，
，
所以三棱锥
的体积为
．
（2）连接
，因为
，
所以
为等边三角形，所以
，
以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，
则
，
所以
．
设平面
的法向量为⃗n=(x , y , z)，
则
，即
，解得
，取
，则
，
所以
．
设
与平面
所成角为
，
则
．
24
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即
与平面
所成角的正弦值为
．
4．(1)证明见解析；
(2)
；
(3)存在，3.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量
，结合
，得到平行关系；
（2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值；
（3）设
，且
，利用线面角的正弦值得到
方程，求出
或
，求出
.
【详解】（1）以
为原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立空间
直角坐标系，
则
．
平面
的法向量为
，
，令
，则
，
，
25
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平面
；
（2）平面
的法向量为
，
，令
，则
，
平面
与平面
夹角为
，
；
（3）设
，且
，
与平面
所成角为
，
，
即
，
解得
或
，故
或
，
所以
.
5．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取
的中点
，证明
即可；
（2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值；
（3）向量法求点到平面的距离.
26
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【详解】（1）证明：取
的中点
，连接
，则
，
且
，∴
且
，
则四边形
为平行四边形，
．
又
平面
平面
，
平面
．
（2）解：直三棱柱
中，
． 以
为原点，以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
设平面
的一个法向量为
，则
即令
，则
，得到平面
的一个法向量
．
易知平面
的一个法向量为
．
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
27
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平面
与平面
夹角的余弦值为
．
（3）解：
，
，
点
到平面
的距离
．
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量
，根据
得到证明；
（2）求出平面
的法向量，根据二面角的大小列出方程，求出
.
【详解】（1）因为
平面
，
平面
，
所以
，
又
，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，，建立空间直角坐标系，
设
，
∵
，
，
设平面
的一个法向量为
，
28
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则
，
令
得
，故
，
故
平面
；
（2）平面
的一个法向量
，
，
.
7．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以
为原点建立空间直角坐标系，计算出
，即可证明；
（2）求出平面
的法向量
，利用向量法求出线面角的正弦值，即可求出夹角；
（3）由
计算出点到面的距离.
【详解】（1）因为
平面
，
，
如图以
为原点，
所在直线分别为
轴､
轴､
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
29
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所以
，
因为
，
所以
.
（2）设平面
的法向量⃗n=(x , y , z)，
，
则
，即
，取
，得
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，又
，
所以
，所以直线
与平面
所成角的大小为
.
（3）设点
到平面
的距离为
，因为
，
所以
，所以点
到平面
的距离为
.
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证
平面
得
，再证
，推得
平面
,得
，推得
平面
，即得
；
（2）依题建系，根据（1）的结论，可得平面
与平面
的法向量，利用空间向量的
夹角公式即可求得.
30
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【详解】（1）∵四边形
为矩形，∴
，
∵
平面
，
平面
，∴
，
又
，
平面
，∴
平面
，
又
平面
，∴
．
∵
，点E 是
的中点，∴
．
又
，
平面
，∴
平面
．
平面
，∴
．
又
，
,
平面
，∴
平面
，
平面
，∴
．
（2）
如图，因
两两垂直，
故可以A 为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
则A (0,0,0)，P(0,0,1)，
，D (0,1,0)，
∴
，
．
由（1）可知，
可看成平面
的一个法向量，
可看成平面
的一个法向量．
设平面
与平面
的所成角为
，
∴
，∴
，
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∴平面
与平面
所成角的正弦值为
．
【能力提升训练】
一、解答题
1．（22-23 高三上·湖北·阶段练习）如图，在几何体
中，底面
为以
为斜边
的等腰直角三角形.已知平面
平面
，平面
平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，设
为棱
的中点，求当几何体
的体积取最大值时
与
所成角的正切值.
2．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥
中，已知棱
两两垂
直，长度分别为1，2，2，若
，且向量
与
夹角的余弦值为
.
(1)求实数
值；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值.
32
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3．（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱
中，
与
的距离为
，
，
．
(1)证明：平面
平面ABC；
(2)若点N 在棱
上，求直线AN 与平面
所成角的正弦值的最大值．
4．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥
中，四边形ABCD 为直角梯形，
AB∥CD，
，平面
平面ABCD，F 为线
段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.
(1)证明：
；
(2)当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD 夹角的正弦值为
.
5．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
，
为
的中点，且
．
33
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（1）求
；
（2）求二面角
的正弦值．
6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，为圆锥顶点，
是圆锥底面圆的圆心，
，
是
长度为
的底面圆的两条直径，
，且
，
为母线
上一点．
(1)求证：当
为
中点时，
平面
；
(2)若
，二面角
的余弦值为
，试确定P 点的位置．
7．（23-24 高三上·江苏淮安·期中）如图，
是半球
的直径，
是底面半圆
弧
上的两个三等分点，
是半球面上一点，且
．
(1)证明：
平面
：
34
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(2)若点
在底面圆内的射影恰在
上，求直线
与平面
所成角的正弦值．
8．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
分别是侧棱
的中点，
，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)如果
，且三棱锥
的体积为
，求二面角
的
余弦值.
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）先做一条辅助线，再通过面面垂直的性质得到
平面
，再根据
平面
，可得
，进而根据线面垂直的判定定理即可证明.
（2）过点
作
交
与点
,连接
,通过题目条件和小问1 结论证明四边形
为平行四边形，然后把多面体
分为两个三棱锥求体积，令
，把求体积的最大值转化为求关于
的函数的最大值.构造函数
，通
过导函数判断其单调性，进而得到
的最大值，求出此时的
值.然后以点
为原点建立
空间直角坐标系
，通过向量法求
与
所成角的正切值.
【详解】（1）过点
作
交
与点
，
平面
平面
，且两平面的交线为
平面
又
平面
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又
且
平面
（2）过点
作
交
与点
,连接
平面
平面
，且两平面的交线为
平面
又
平面
到平面
的距离相等
且
，
平面
又
，令
则
，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
即
，当且仅当
时取得最大值.
如图所示，以点
为原点建立空间直角坐标系
，
则
，
所以
.
设
与
所成角为
，则
，则
，即当几何体
体
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积最大时，
与
所成角的正切值为6.
2．(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量夹角余弦值求出
.
（2）由（1）的结论，求出平面
的法向量，利用平面角的向量求法求解即得.
（3）求出平面
的法向量，结合（2）中信息，面面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）依题意，以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系
，
，由
，得
，则
，而
，
而
，显然
，解得
.
（2）由（1）得
，
，设平面
的法向量
，
则
，令
，得
，又
，
于是
，
37
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所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）由（2）令平面
的法向量
，则
，令
，得
，
设平面
与平面
夹角为
，则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，
根据线面垂直的判定与性质证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.
【详解】（1）取棱
中点D，连接
，因为
，所以
因为三棱柱
，所以
，
所以
，所以
因为
，所以
，
；
因为
，
，所以
，所以
，
同理
，
因为
，且
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，
38
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所以平面
平面
；
（2）
取
中点O，连接
，取
中点P，连接
，则
，
由（1）知
平面
，所以
平面
因为
平面
，
平面
，
所以
，
，
因为
，则
以O 为坐标原点，
，
，
所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系
，
则
，
，
，
，
可设点
，
，
，
，
，
设面
的法向量为
，得
，
取
，则
，
，所以
设直线
与平面
所成角为
，
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则
若
，则
，
若
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以直线
与平面
所成角的正弦值的最大值
.
4．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）过
作
，垂足为
，分析可知
为等边三角形，可得
，结合面面垂直的性质可得
平面ABCD，即可得结果；
（2）取线段
的中点
，连接
，建系，设
，求平面PAD 的法向量，
利用空间向量处理线面夹角的问题.
【详解】（1）过
作
，垂足为
，
由题意知：
为矩形，可得
，
由
，则
为等边三角形，且F 为线段BC 的中点，则
，
又因为平面
平面ABCD，平面
平面
，
平面
，
可得
平面ABCD，且
平面
，
所以
.
（2）由（1）可知：
平面ABCD，
取线段
的中点
，连接
，则
∥
，
，
又因为
，可知
，
以
为坐标原点，
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
40
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则
，
因为E 为线段PF 上一点，设
，
可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
由题意可得：
，
整理得
，解得
，
所以当
，直线BE 与平面PAD 夹角的正弦值为
.
5．（1）
；（2）
【分析】（1）以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间
直角坐标系，设
，由已知条件得出
，求出
的值，即可得出
的长；
（2）求出平面
、
的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可
求得结果.
【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面
，四边形
为矩形，不妨以点
为坐标原点，
、
、
所
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在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系
，
设
，则
、
、
、
、
，
则
，
，
，则
，解得
，故
；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结
．因为
底面
，且
底面
，所以
．
又因为
，
，所以
平面
．
又
平面
，所以
．
42
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从而
．
因为
，所以
．
所以
，于是
．
所以
．所以
．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结
交
于点N．
由[方法二]知
．
在矩形
中，有
，所以
，即
．
43
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令
，因为M 为
的中点，则
，
，
．
由
，得
，解得
，所以
．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面
的法向量为
，则
，
，
由
，取
，可得
，
设平面
的法向量为
，
，
，
由
，取
，可得
，
，
所以，
，
因此，二面角
的正弦值为
.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体
，联结
，交点记为H，由于
，
，所以
平面
．过H 作
的垂线，垂足记为G．
44
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联结
，由三垂线定理可知
，
故
为二面角
的平面角．
易证四边形
是边长为
的正方形，联结
，
．
，
由等积法解得
．
在
中，
，由勾股定理求得
．
所以，
，即二面角
的正弦值为
．
【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直
的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何
证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.
（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清
晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注
意进行严格的论证.
6．(1)证明见详解
(2)
是线段
靠近点
的四等分点
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【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设
，
，求解平面
和平面
的法向量，
根据二面角
的余弦值为
求
，即可得P 点的位置.
【详解】（1）连接
，因为
，
分别为
，
的中点，
所以
为
的中位线，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）如图：过点
作
交圆
与
，
以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
则
，A (1,0,0)，B (−1,0,0)，
，
，
所以
，
，
设
，
，则
，所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，所以
，令
，则
，
，
即
，
46
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易知平面
的一个法向量为
，
则
，
解得
（负值舍去），所以
是线段
靠近点
的四等分点.
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，可证
为
的中点且
，可得
，
又
，由线面垂直的判定可证；
（2）以点
为坐标原点，
，
，
分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，用
向量法可求解.
【详解】（1）连接
，因为
是底面半圆弧
上的两个三等分点，
所以有
，又因为
，
所以
都为正三角形，
所以
，四边形
是菱形，
记
与
的交点为
，
为
和
的中点，
因为
，
所以三角形
为正三角形，
所以
，所以
，
因为
是半球面上一点，
是半球
的直径，所以
，
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因为
，
平面
，
所以
平面
．
（2）因为点
在底面圆内的射影恰在
上，
由（1）知
为
的中点，
为正三角形，所以
，
所以
底面
，
因为四边形
是菱形，所以
，
即
两两互相垂直，
以点
为坐标原点，
，
，
分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系
，
如图所示，
则
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，所以
，
取
，则
，
设直线
与平面
的所成角为
，
所以
，
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故直线
与平面
所成角的正弦值为
．
8．(1)证明过程详见解析.
(2)二面角
的余弦值为
.
【分析】（1）易得
，由线面垂直的性质证明
，再根据线面垂直的判
定定理证明
平面
，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）易得
两两垂直，求出
，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，
利用向量法求解即可.
【详解】（1）
分别是侧棱
的中点，
，
，
平面
，
平面
，
，
又
平面
，
平面
，
又
平面
，
平面
平面
.
（2）
平面
，
平面
，
，
49
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，
又由题意得
是等腰直角三角形，
，此时易算三棱锥体积为：
，
故
符合题意.
平面
，
，
平面
，
又
平面
，
，
两两垂直，
如图，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，
则
，
故
设平面
的法向量为
，
则有
，可取
，
平面
，
即为平面
的一条法向量，
故
，
由三棱锥的体积和法向量的方向可知，二面角
为锐二面角，
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故二面角
的余弦值为
.
51
