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第 03 讲 圆的方程 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）以直线 恒过的定点为圆心，半
径为 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线过定点问题、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程.
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 ，
即直线 恒过定点 ，
则圆的方程为 ，即 ，
故选：D.
2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）点P 与圆 的位置关系为（ ）
A．点 在圆外 B．点 在圆上 C．点 在圆内 D．无法确定
【答案】A
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】先求点 到圆心的距离，再根据这个距离与圆的半径的关系确定点与圆的位置
关系.
【详解】因为圆 的圆心为： ，半径为：1.
由点 与圆心 的距离为： ，
又 .
所以点 在圆 外.
故选：A
3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）若方程 表示圆，则 的取值范围
为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据圆的一般式满足的条件即可代入列不等式求解.
【详解】由题意可得 故 ，
解得 ，
故选：A
4．（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为 ，且被x轴截得弦长为4，则圆C
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化、已知圆
的弦长求方程或参数
【分析】根据题意作出图形，利用垂径定理可求得 ，继而求出圆的半径，写出圆的方
程.
【详解】
如图，过点 作 于 ，依题意， ,因 ,故 ，
从而，圆的半径为： ,
故所求圆的方程为： ，即 .
故选：A.
5．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆 ，则下列点在圆C内的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可.
【详解】对于A，因为 ，所以点 在圆外，所以A错误，
对于B，因为 ，所以点 在圆上，所以B错误，
对于C，因为 ，所以点 在圆上，所以C错误，
对于D，因为 ，所以 在圆内，所以D正确.
故选：D
6．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知圆 ： ，则圆 的半径
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】将圆的一般方程整理成标准方程，即可得半径.
【详解】圆 ： ，整理可得 ，
所以圆 的半径是 .
故选：C.
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 与圆
为同心圆，且圆 的半径为圆 半径的2倍，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】利用圆的标准方程确定圆 的圆心坐标和半径，进而利用圆的一般方程得到关于
的方程组，从而得解.
【详解】由题可知圆 的圆心为 ，半径为2，
又圆 与圆 为同心圆，半径为4，所以 ，解得 .
故选：A.
8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 ，直线 ，
圆心到直线 的距离等于6，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求点到直线的距离、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】先由圆的方程确定圆心坐标，再利用点到直线的距离公式运算即可得解.
【详解】由已知得圆的标准方程为 ，圆心 ，
由点到直线的距离公式可得： ，解得 ．
故选：B
二、多选题
9．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．方程 表示圆心为 的圆
B．方程 表示圆心为 的圆
C．方程 表示半径为 的圆
D．方程 表示半径为 的圆
【答案】AC
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】由圆的方程的满足条件逐项判断即可.
【详解】由 知方程 表示圆心为
的圆，A正确；
，当 时表示圆，当 时表示
点，当 不表示任何图形，B错误；
因为 ，所以方程 表示圆，方程 可化为 ，所以圆半径 ，C正确；
方程 可化为 表示点 ，不是圆，D错误．
故选：AC
10．（2024·全国·模拟预测）已知圆 关于直线
对称，则下列结论中正确的是（ ）
A．圆 的圆心是 B．圆 的半径是4
C． D． 的取值范围是
【答案】ACD
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】利用圆的一般方程的定义和性质可判断 ，利用选项C的结论结合基本不等
式可判断D.
【详解】将圆的方程化为标准方程可得 ，所以该圆的圆心为 ，半
径为2，故选项A正确，选项B不正确．
由已知可得，直线 经过圆心，所以 ，整理可得
，故选项C正确．
由选项C知 ，所以 ，所以 的取值范围是
，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题
11．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）若方程 表示圆，则实数 的
取值范围为 .
【答案】
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据圆的一般方程条件 ，计算即可得到答案.
【详解】根据题意，方程 表示圆，
则 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .12．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）若圆 与圆
关于直线 对称，则直线 的方程为 .
【答案】
【知识点】求两点的对称轴、由标准方程确定圆心和半径
【分析】由题意，得出直线 是两圆圆心 的对称轴，依次求得 的中点坐标和斜
率,即可由点斜式方程写出直线 的方程.
【详解】依题意，直线 是两圆圆心 的对称轴.
由 可得 ，由 可得 ，
则 的中点为 ，因 ，故直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为： ，即 .
故答案为： .
四、解答题
13．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线
与 轴分别交于点 ，圆 经过 三点．
(1)求圆 的标准方程；
(2)判断点 是否在圆 上．
【答案】(1)
(2)点 在圆 上，点 在圆 外，点 在圆 内
【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、判断点与圆的位置关系
【分析】（1）计算出直线 与 轴交点坐标后，借助待定系数法计算即可得
圆 的标准方程；
（2）借助点到圆心的距离与半径的大小判断即可得.
【详解】（1）由题可得直线 与 轴的交点 ，又 ，
设所求圆的方程是 ，
由题意得 ，解得 ，
故圆 的方程为 ．
（2）由（1）得圆 的方程为 ．代入 得 ，故点 在圆 上；
代入 得 ，故点 在圆 外；
代入 得 ，故点 在圆 内．
14．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知点 在圆 上，点 ，
．求点 到直线 距离的最大值；
【答案】
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上
的最值（范围）
【分析】首先求出直线 的方程，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的
距离与半径的和求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
故圆与直线 相离，所以圆上的点 到直线 距离的最大值为 .
B能力提升
1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知圆C的圆心坐标为 ，且该圆经过点 .
(1)求圆C的标准方程；(2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是
定值，并求出该定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析， .
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、直线与圆中的定点定值问题
【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.
（2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐
标公式计算作答.
【详解】（1）依题意，圆C的半径 ，
所以圆C的标准方程是： .
（2）设直线 方程为： ，由 消去y并整理得：
，
则有点 ，而直线 ： ，同理 ，
于是得直线 的斜率 ，
所以直线m的斜率是定值，该定值为 .
2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点 ， ，动点 满足 ．
(1)求动点 的轨迹方程
(2)一条光线从点 射出，经 轴反射与动点 的轨迹交于 ， 两点，其中
，求反射光线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2) ．
【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数、求点关于直线的对称点、光线
反射问题(2)——直线关于直线对称
【分析】（1）设点 ，由 得方程，化简整理即可
（2）求出圆心到直线 的距离 ，对直线的斜率存在讨论即可求解．
【详解】（1）设 ，由 得 ，化简得，动点 的轨迹方程为： ；
（2）光线从点 射出，经 轴反射与动点 的轨迹交于 ， 两点，
故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0，
当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为 ，
此时直线与 无交点，不合要求，舍去，
当入射光线的斜率存在时，点 关于 轴的对称点
由题意知反射光线所在的直线经过点 ，其斜率也一定存在，
设其方程为 ，即为 ，
设圆心到反射直线的距离设为 ，则 ，
所以 ，解得 舍去 或 ．
所以反射光线所在直线的方程为 ．
3．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示，有一个矩形坐标场地 （包含边界和
内部， 为坐标原点）， 长为8米，在 边上距离 点4米的 处放置一个行走仪，
在距离 点2米的 处放置一个机器人，机器人行走速度为 ，行走仪行走速度为 ，若
行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点 ，那么行走仪将被机器人捕
获，称点 叫捕获点.
(1)求在这个矩形场地内捕获点 的轨迹方程；
(2)若 为矩形场地 边上的一点，若行走仪在线段 上都能逃脱，问： 点的位置应
在何处？
【答案】(1)
(2) 的横坐标范围为
【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离
【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据 求出轨迹方程，注意 ；（2）作出第一问中求出的点 的轨迹，数形结合得线段 与（1）中圆弧相离时，则行
走仪在线段 上能逃脱，设出直线方程，从而利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】（1）分别以 为 轴，建立平面直角坐标系，则 ，
设捕获点 ，可得 ，即 ，
化简得 ，因为点 需在矩形场地内，
所以 ，且 在第一象限，解得 ，
故所求轨迹方程为 .
（2）画出点 的轨迹，如图所示，
当线段 与（1）中圆弧相离时，则行走仪在线段 上能逃脱，
其中 ，
设线段 的方程为 ，
则 到直线 的距离为 ，结合 ，解得 ，
中，令 得，
故 点的横坐标取值范围是 .
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高二上·上海徐汇·期末）对于曲线 ，若存在非负实常数 和 ，使
得曲线 上任意一点 有 成立（其中 为坐标原点），则称曲线 为既
有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界 成为曲线 的外确界，
最大的内界 成为曲线 的内确界．
（1）曲线 与曲线 是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确
界；若不是，请说明理由；
（2）已知曲线 上任意一点 到定点 ， 的距离之积为常数
，求曲线 的外确界与内确界．
【答案】（1）曲线 不是“有界曲线”，理由见解析；曲线 是“有界
曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）当 时，曲线 的外确界与内确界分别为
， ；当 时，曲线 的外确界与内确界分别为 ， ；
当 时，曲线 的外确界与内确界分别为 ， ．
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、圆锥曲线新定义、求平面轨迹方程、判断抛物
线的开口方向
【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；
（2）由题意求出曲线 的方程，进一步得到 的范围 ，把 转化为含
有 的代数式，分类讨论得答案．
【详解】（1） 的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值
为 ，无最大值，
∴曲线 不是“有界曲线”；
∵曲线 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的圆，如图：
由图可知曲线 上的点到原点距离的最小值为 ，最大值为 ，则曲线
是“有界曲线”，其外确界为 ，内确界为 ；（2）由已知得： ，
整理得： ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
当 时， ，则 ，
∴ ，则曲线 的外确界与内确界分别为 ， ；
当 时， ，则 ，
∴ ，则曲线 的外确界与内确界分别为 ， ；
当 时， ，则 ，
∴ ，则曲线 的外确界与内确界分别为 ， ；
当 时， ，则 ，
∴ ，则曲线 的外确界与内确界分别为 ， ．
综上，当 时，曲线 的外确界与内确界分别为 ， ；
当 时，曲线 的外确界与内确界分别为 ， ；
当 时，曲线 的外确界与内确界分别为 ， ．
【点睛】本题考查了对新概念的理解和求最值的方法，考查了转化化归和分类讨论的思
想，属于难题.
