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专题01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................3
题型一：在型求切线方程.................................3
题型二：过型求切线方程.................................4
题型三：已知切线斜率求参数.............................7
题型四：确定过一点可以做切线条数.......................8
题型五：已知切线条数求参数............................10
题型六：距离问题转化为相切问题........................13
题型七：公切线问题....................................16
三、专项训练..........................................18
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数
在点
处的导数的几何意义，就是曲线
在点
处的切线的斜率
，即
.
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数f ( x)的解析式.计算：函数f ( x)在x=x0或者(x0,f (x0))处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标f ( x0)（方法：把x=x0 代入原函数f ( x)中），切点
(x0,f (x0)).
1
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第二步：计算切线斜率
.
第三步：计算切线方程.切线过切点(x0,f (x0))，切线斜率k=f '( x0)。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：y−f ( x0)=f '( x0)( x−x0).
（2）过型求切线方程
已知：函数f ( x)的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方
程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
3、已知f ( x)，过点
，可作曲线的
（
）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
第四步：将
代入切线方程，得：
，整理成关于
得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于
的方程就有几个实数解；
4、已知f ( x)和
存在
（
）条公切线问题
第一步
设f ( x)的切点
设
的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得：
整理得：
联立已知条件
消去
得到关于
的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交
点个数；
消去
得到关于
的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点
2
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个数；
二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
（
是
的导函数），
则曲线
在
处的切线方程为 ．
【答案】
．
【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率
，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方
程即可.
【详解】由题意设切点
，因为
，
令
，得
，
由导数几何意义知：
，
又
，所以
，
故曲线
在
处的切线方程为：
，
整理得：
.
故答案为：
.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）曲线
在
处的切线的斜率为 .
【答案】
【分析】根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果.
【详解】因为
，可得
，
故答案为：
.
3．（2024·全国·模拟预测）曲线
在
处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义 ，即可求得答案.
【详解】由题意得
，且
，
时，
，所以曲线
在
处的切线方程为
，
3
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即
，
故答案为：
4．（2024·上海闵行·二模）函数
在
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】切线的斜率是在
处的导数，切线过
，由直线的点斜式方程可以求出
切线方程.
【详解】
，
，所以
，
所以在
处的切线方程为
，即
，
故答案为：
.
题型二：过型求切线方程
1．（23-24 高三上·江苏徐州·阶段练习）过点
作曲线
的切线，则切
线的条数为 ．
【答案】2
【分析】设切点为
，再根据切线方程得到
，化简得
，再构造新函数，利用导数求出其零点个数即可.
【详解】由已知可得，
，定义域为
，
，所以点
不在曲线上.
当切线斜率不存在时，即直线方程为
，此时相交，不合题意，舍去，
设切点为
，
根据导数的几何意义可知，曲线在点
处切线的斜率
.
所以有
，则
，则
，
4
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则有
，化简得
，
即
，其中
，令
，
，
则
，令
，解得
，
当
时，
，此时
单调递减，
当
时，
，此时
单调递增，
故当
，
取得最小值，
，
又因为
，且函数连续不间断，
则存在
满足
，
又因为
,且函数连续不间断，
所以存在
满足
，
综上
，
，共有两个零点，
即切线的条数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：本题的关键是将切线条数转化为
的零点个
数，再利用导数和零点存在定理求出其零点个数即可.
2．（2024·云南·模拟预测）曲线
过坐标原点的切线方程为 .
【答案】
【分析】利用导数的几何意义可求出结果.
【详解】设切点为
，则
，
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
又切线过原点，所以
，即
，
解得
，所以切线方程为
.
故答案为：
5
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3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过点
作曲线
的切线，写出一条切线方程：
.
【答案】
或
（写出一条即可）
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将
代入求得切点坐
标，即可得切线方程.
【详解】由
可得
，
设过点
作曲线
的切线的切点为
，则
，
则该切线方程为
，
将
代入得
，解得
或
，
故切点坐标为
或
，
故切线方程为
或
，
故答案为：
或
4．（23-24 高三下·山东德州·开学考试）过点
与曲线
相切的直线与
轴的交点坐标为 .
【答案】
【分析】设切点坐标
，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可
求出直线与
轴的交点坐标.
【详解】设切点坐标为
，
由
，得
，
则过切点的切线方程为
，
把点
代入切线方程得，
，即
，
因为
，而
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
只有一个解，所以
，
所以切线方程的斜率为
，
6
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所以切线方程为
，令
，解得
.
故过点
与曲线
相切的直线与
轴的交点坐标为
.
故答案为：
.
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2024·全国·模拟预测）若直线
与曲线
相切，则
的最
小值为（ ）
A．
B．－2
C．－1
D．0
【答案】C
【详解】根据直线与函数相切，可得
以及
，即可换
元
构造函数
，利用导数求解函数的最值求解.
【分析】设切点坐标为
．由已知，得
，则
，
解得
．
又切点在切线
与曲线
上，
所以
，所以
．
令
，则
．
令
，解得
．当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减．
所以
，即
，所以
，则
的最小值为－1．
故选：C．
2．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）直线
与曲线
相切，则实数
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义得出切线斜率，再由切点在直线与曲线上列方程即可得解.
【详解】设切点为
，
则
，且
，
7
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解得
，
，
故选：D
3．（2024·湖南娄底·一模）若直线
是指数函数
且
图象的
一条切线，则底数
（ ）
A．2 或
B．
C．
D．或
【答案】D
【分析】设切点坐标为
，根据导数的几何意义，列式运算求得
的值.
【详解】设切点坐标为
，对函数
，求导得
，
切线方程
化成斜截式为
，
由题设知
，显然
，即
，
由
，得
，即
，
即
，
即
，化简得
，
令
，即
，利用指数函数与一次函数的性质，可知
或
，
即
或
，解得
或
.
故选：D.
4．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）若直线
是曲线
的一条切线，则实数
．（
…为自然对数的底数．）
【答案】
【分析】根据切线的斜率为1，利用导数列方程，求得切点的坐标，代入切线方程，求得
的值.
【详解】设切点为
，又
，
切线的斜率
，解得
，所以切点为
，
代入切线方程
，得
.
故答案为：
.
8
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题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线
的切线，则切线共有
（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】A
【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.
【详解】设切点为
，
由
可得
，
则过坐标原点的切线的斜率
，
故
，即
，
解得
，故过坐标原点的切线共有1 条．
故选：A．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，过点
可作曲线
的切线
条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】求出
的导函数，设切点坐标为
，写出切线方程，把
代入，
得到关于
的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数．
【详解】解法一 由
，得
．设切点坐标为
，
则切线方程为
，
把
代入可得
，即
，
因为
，所以该方程有2 个不同的实数解，故切线有2 条．
解法二 由
，得
，令
，得
．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的极小值为
，且
，则点
在曲线
的下方，
9
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数形结合可知，过点
可作曲线
的2 条切线．
故选：B
3（多选）（23-24 高三上·湖北·期末）设
，点
是直线
上
的任意一点，过点
作函数
图象的切线，可能作（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】BC
【分析】设
为直线上任意一点，切点为
求出切线方程，将
代入切线方程，转化为
根的个数求解即可.
【详解】设
为直线上任意一点，
过点
作
的切线，切点为
，
则函数
图象在点B 处的切线方程为
，
即
，
整理得，
，
解得
1 或
当
时，
，方程
仅有一个实根，切线仅可以作1 条；
当
时，
，方程
有两个不同实根，切线可以作2 条.
故选：
.
10
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题型五：已知切线条数求参数
1．（23-24 高二下·福建福州·期中）若曲线
有且仅有一条过坐标原点的切线，则
正数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设切点
，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得
，结合
计算即可求解.
【详解】设
，则
，
设切点为
，则
，
所以切线方程为
，
又该切线过原点，所以
，
整理得
①，因为曲线
只有一条过原点的切线，
所以方程①只有一个解，故
，解得
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的
几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.
2．（23-24 高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点
可以作三条直线与曲线
相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出切点，表示出切线方程，将点
代入，则关于切点横坐标的方程有三个实
根，通过分离参数，将问题转化为两个函数图象有三个不同交点的问题求解即可．
【详解】由
，得
，
设切点为
,
，过切点的切线方程为
，
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代入点
坐标化简为
，即这个方程有三个不等式实根，
令
，求导得到
，
由
，得
，由
，得
，或
，
故函数
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
故得
,结合
，
，
当
时，
，
时，
，
得
，
故选：D．
3．（23-24 高二下·辽宁·阶段练习）过点
可作曲线
的三条不同的切
线，实数
的取值范围为 .
【答案】
或
或
.
【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，将
代入切线方程得
即可将问题转化为
有两个不相
等的实数根，且
利用判别式即可求.
【详解】由
.
设切点为
则曲线在点
的切线方程为
.
又因为切线过点
代入切线方程得
即
所以
即方程
有两个不相等的实数根，且
所以
解得
或
或
12
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故答案为：
或
或
.
4．（23-24 高二下·陕西咸阳·阶段练习）若曲线
有且仅有两条过点
的切线，
则实数a 的值为 .
【答案】
/
【分析】
构造新函数
，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数
的取值.
【详解】设点
为曲线
上一点，则
又
，则
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，又切线过点
，
则
，即
令
，则
，
则
时
，
单调递减；
时
，
单调递增；
时
，
单调递减，
则
时
取得极小值
，
时
取得极大值
，
又
，
当
时，
恒成立，
时，
，
又由题意得方程
有2 个根，
则
与
图像有2 个交点，则
.
13
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故答案为：
.
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（23-24 高二下·山东枣庄·阶段练习）点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的距离的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】问题转化为过点
的切线与直线
平行时，点P 到直线
的距离最
小，利用导数的几何意义求得点
的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.
【详解】因为点
是曲线
上任意一点，
所以当点
处的切线和直线
平行时，点
到直线
的距离最小．
因为直线
的斜率等于1，曲线
的导数
，
令
，可得
或
(舍去)，
所以在曲线
上与直线
平行的切线经过的切点坐标为
，
所以点P 到直线
的最小距离为
.
故选：D.
2．（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）函数
图象上的点到直线
的距离的
最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】设与直线
平行且与函数
图象相切的直线方程为：
，利用
导数的几何意义求得切点
，再求出切点
到直线
的距离，即得答案.
【详解】解：设与直线
平行且与函数
图象相切的直线方程为：
，
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设切点为
，
又因为
，所以
，解得
，
所以切点
，
又因为点
到直线
的距离为
，
所以函数
图象上的点到直线
的距离的最小值是
.
故选：B.
3．（23-24 高二下·四川达州·阶段练习）若点P 是曲线
上任意一点，则点P
到直线
的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
求出平行于
的直线与曲线
相切的切点坐标，再利用点到直线的距离
公式可得结论．
【详解】设
，函数
的定义域为
，求导得
，
当曲线
在点
处的切线平行于直线
时，
，
则
，而
，解得
，于是
，
平行于
的直线与曲线
相切的切点坐标为
，
所以点
到直线
的最小距离即点
到直线
的距离
．
故选：D
4．（2024·山东·一模）已知A，B 分别为直线
和曲线
上的点，则
的
最小值为 ．
【答案】
/
【分析】由题意
的最小值为
到直线
上距离的最小值，再设
，则当
处的切线与
平行时取得最小值.
【详解】由题意
的最小值为曲线上点
到直线
距离的最小值，
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设
，则
为增函数，
令
则
，故当
时
，
单调递减；当
时
，
单调递增.
故
，即
在曲线
下方.
则当
处的切线与
平行时
取得最小值.
设
，对
求导有
，由
可得
.
故当
时取最小值
.
故答案为：
题型七：公切线问题
1．（23-24 高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线
是曲线
与
曲线
的公切线，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
是
图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线
上的
切点，继而求出t 的值，结合切线方程，即可求得答案.
【详解】由题意知直线
是曲线
与曲线
的公切
线，
设
是
图象上的切点，
，
所以
在点
处的切线方程为
，即
①
令
，解得
，
16
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即直线
与曲线
的切点为
，
所以
，即
，解得
或
，
当
时，①为
，不符合题意，舍去，
所以
，此时①可化为
，所以
，
故选：A
2．（23-24 高二下·河南·阶段练习）过原点的直线与曲线
都相切，则实
数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.
【详解】由
得
，由
得
，
设过原点的直线分别与曲线
相切于点
，
则由导数的几何意义得
，且
，故
，所以直线的斜率为，
所以
，所以
，所以
，即
，
代入
得
.
故选：D
3．（2024·辽宁·二模）已知函数
的图象与函数
且
的图象在公共点
处有相同的切线，则
，切线方程为 .
【答案】
【分析】设公共点为
，即可得到
，再由导数的几何意义得到
，从而求出
，即可求出切点坐标，从而求出
，再求出切线方程.
【详解】设公共点为
，则
，即
，所以
，
所以
，
17
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由
，
，所以
，
，
又在公共点处有相同的切线，所以
，即
，所以
，
则
，
，
则
，
则
，所以切线方程为
，即
.
故答案为：
；
4．（23-24 高二下·四川广安·阶段练习）已知直线
既是曲线
的切线，也是
曲线
的切线，则
.
【答案】
/
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设曲线
与
的切点分别为
，
易知两曲线的导函数分别为
，
，
所以
，
则
.
故答案为：
.
三、专项训练
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线
在
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．3
B．
C．7
D．
【答案】C
18
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【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得.
【详解】由
，求导得
，当
时，
，
由曲线
在
处的切线与直线
垂直，得
，
所以
.
故选：C
2．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a 的值.
【详解】由题设，知曲线
在点
处的切线的斜率为
，
由
，则
，
所以
.
故选：A
3．（23-24 高二下·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）曲线
，在点
处的切
线斜率为（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】根据导数的运算求解导函数
，再根据导数的几何意义求切线斜率即可.
【详解】因为
，所以
，
则曲线在点
处的切线斜率为
.
故选：A.
4．（2024·河北邯郸·二模）设函数
的图像与
轴相交于点
，则该曲线在
点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.
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【详解】令
，即
，即
，解得
，
故
，
，则
，
则其切线方程为：
，即
.
故选：C.
5．（23-24 高二下·浙江·期中）函数
在点
处的切线方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】因为
,所以
，所以
，
所以在点
处的切线方程为
，即
，
故选：B.
6．（23-24 高二下·安徽六安·阶段练习）已知直线
与曲线
相切
于点
，则
（ ）
A．-3
B．-1
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由题意知
在曲线
上，可求出a，利用导数的几何意义即
可求得切线斜率，结合切点坐标，即可求得答案.
【详解】由题意知
在曲线
上，故
，
即
，则
，则
，
则切线方程为
，将
代入，得
，
故选：B
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线
上的点到直线
距离的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点
，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令
，则
，
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设该曲线在点
处的切线为，
需求曲线到直线
的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以
，解得
，则切点为
，
故切线的方程为
，即
，
所以直线
到直线
的距离为
，
即该曲线上的点到直线
的最小距离为
.
故选：C
8．（2024 高三·全国·专题练习）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．y＝x＋3
B．y＝4x－3
C．y＝2x＋1
D．y＝x－3
【答案】B
【分析】对在某点处的切线方程该点为切点，根据导数几何意义该点处的导数为切线的斜
率，求出切线斜率，再利用点斜式即可得出所求切线方程.
【详解】由
，得
，
所以曲线在点
处的切线斜率为
，
所以所求切线方程为
，即
.
故选：B.
9．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得
，借助导数得到函数
的值域即可得解.
【详解】对于
，有
，令切点为
，则切线方程为
，
即
，即有
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
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又当
趋向于正无穷大时，
趋向于负无穷，
故
，即
.
故选：A.
10．（多选）（23-24 高二下·安徽六安·阶段练习）若点
是曲线
上任意一点，
点
是直线
上任意一点，下列选项中，
的可能取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】借助导数的几何意义计算出与
相切且平行于
的直线方程，
结合两直线间的距离公式即可得曲线
上任意一点与直线
上任意一点
的距离的最小值，即可得解.
【详解】令
，则
，
因为
的斜率为
，
令
，
，即
，解得
或
（舍），
因为
，
则过点
且与直线
平行的切线为
，即
，
该直线与直线
的距离为
，
所以曲线
上任意一点到直线
上任一点的距离最小值为
，
即
.
故选：ACD
11．（2024·湖北·模拟预测）写出函数
的一条斜率为正的切线方程：
．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的点作切点，求斜率与
切点坐标即可得切线方程.
【详解】
，
，则
，
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取切点为
，则斜率为
，
又
，
则切线方程为：
，即
.
故答案为：
（答案不唯一）
12．（23-24 高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数
，若第一象限内的点
在
曲线
上，则
到直线
的距离的最小值为 .
【答案】
/
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求得过点P 的直线和
平行
时的切点的坐标，即可求得切线方程，继而求得两平行线间的距离，即可得答案.
【详解】由
，可得
，又点
在曲线
上，
设
，则过点P 和
平行的切线的斜率为4，
令
，则
即得
在P 处的切线方程为
，即
，
故
和
间的距离为
故
到直线
的距离的最小值为
，
故答案为：
13．（23-24 高二下·河南三门峡·阶段练习）若直线
是曲线
的切线，
也是曲线
的切线，则
.
【答案】
/
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得
.将切点代入两条曲
线，联立方程可分别求得
,代入其中一条曲线即可求得
的值，由此可求
.
【详解】直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，
则两个切点都在直线
上，设两个切点分别为
，
，
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又
，
，则
，
，
由导数的几何意义可知
，则
，
且切点在各自曲线上,所以
则将
代入
可得
可得
，
由
可得
，
代入
中可知
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
14．（2024·全国·模拟预测）曲线
与
的公切线方程为 .
【答案】
【分析】设出两曲线的切点
和
，由导数的意义可
得
，再由点斜式得出公切线方程
，把点
代入直线方程可得
，构造函数
，求导分析单调性得到
，进
而得出
，最后得到直线方程.
【详解】设曲线
上的切点为
，曲线
上的切点
为
.
因为
，
则公切线的斜率
，所以
.
因为公切线的方程为
，即
，
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将
代入公切线方程得
，
由
，得
.
令
，则
，
当
时，
；当
时，
0，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
所以
，
故公切线方程为
，即
.
故答案为：
.
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