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专题01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：在型求切线方程...........................................2
题型二：过型求切线方程...........................................4
题型三：已知切线斜率求参数.......................................6
题型四：确定过一点可以做切线条数.................................8
题型五：已知切线条数求参数.......................................9
题型六：距离问题转化为相切问题..................................13
题型七：公切线问题..............................................14
三、专项训练.......................................................18
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数
在点
处的导数的几何意义，就是曲线
在点
处的
切线的斜率
，即
.
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数f ( x)的解析式.计算：函数f ( x)在x=x0或者(x0,f (x0))处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标f ( x0)（方法：把x=x0 代入原函数f ( x)中），切点(x0,f (x0)).
第二步：计算切线斜率
.
第三步：计算切线方程.切线过切点(x0,f (x0))，切线斜率k=f '( x0)。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：y−f ( x0)=f '( x0)( x−x0).
1
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（2）过型求切线方程
已知：函数f ( x)的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
3、已知f ( x)，过点
，可作曲线的
（
）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
第四步：将
代入切线方程，得：
，整理成关于
得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于
的方程就有几个实数解；
4、已知f ( x)和
存在
（
）条公切线问题
第一步
设f ( x)的切点
设
的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得：
整理得：
联立已知条件
消去
得到关于
的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点
个数；
消去
得到关于
的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个
数；
2
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二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2023 下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线
在
处的切线与直线
垂直，
则实数
.
【答案】-2
【详解】因为
，定义域为
，所以
，
所以曲线
在
处的切线斜率为
，
因为曲线
在
处的切线与直线
垂直，
所以
不符合题意，所以直线
的斜率为
，
所以
，所以
.
故答案为：
.
2．（2023 上·山东德州·高三统考期中）函数
在
处的切线方程为 ．
（结果写成一般式）
【答案】
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以在
处的切线方程为
，整理得
，
故答案为：
.
3．（2023 上·上海闵行·高三校考期中）曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】∵
，∴
，则点
即为
.
∵
，∴切线斜率为
，
∴切线方程为
，即
.
故答案为：
.
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数
（其中
）在
处的
切线为，则直线过定点的坐标为 .
3
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【答案】
【详解】根据题意：函数
在
处有切线，
切点为
，
又
，故切线斜率为
，
直线的方程为
，
该直线过定点的坐标为
.
故答案为：
5．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则
.
【答案】
/
【详解】因为
的导数为
，则
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
，
又切线
与曲线
相切，设切点为
，
因为
，所以切线斜率为
，解得
，
所以
，则
，解得
.
故答案为；
.
题型二：过型求切线方程
1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数
过点
的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【详解】由题设
，若切点为
，则
，
所以切线方程为
，又切线过
，
则
，可得
或
，
当
时，切线为
；当
时，切线为
，整理得
.
故选：C
2．（2022 下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数
，则曲线
过坐标原
点的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【答案】C
【详解】设切点为
，
，则切线斜率为
，
所以，所求切线方程为
，
将原点坐标代入所求切线方程可得
，即
，解得
，
因此，所求切线方程为
.
故选：C.
3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线
相切的一条切线的方程为 .
【答案】
或
或
(写出其中一条即可)
【详解】解：设曲线
表示抛物线的一部分，
设其切线方程为
，代入
，
得
.由
，得
.
当
时，
，符合题意，
当
时，
，均符合题意，
所以切线方程
.
设
的切线的切点为
.
由
，得
，
，
得切线方程为
.
将
的坐标代入切线方程，得
，
所以
，所以切线方程为
.
故答案为：
或
或
(写出其中一条即可)
4．（2023 下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线
在点
处切线的斜率为
，过点
的
切线方程 .
【答案】
【详解】设
，
，解得：
，
；
当
是切点时，切线方程为：
，即
；
5
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当
不是切点时，设切点坐标为
，
则在点
处的切线方程为：
，
代入点
得：
，
，
解得：
，
切点为
，与
重合，不合题意；
综上所述：切线方程为
.
故答案为：
.
5．（2023 下·四川绵阳·高二期末）过点
作曲线
的切线，则切线方程为 ．
【答案】
【详解】因为点
不在曲线上，设切点
，且
，则
，①
又
，则切线斜率为
，②
由①②解得
，
，所以
，切线的斜率为
，
切线方程为
，即
.
故答案为：
.
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2023 下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线
与曲线
相切，则实数a 的值为
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【详解】
，则
，
设直线l 与曲线
的切点
，则直线l 的斜率
，
由于直线
斜率为
，则
，解得
，
6
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所以
，即切点为
，
故
，解得
．
故选：A.
2．（2023 上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知直线
与曲线
相切，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】设切点为
，
，故斜率为
，
则切线方程为
，
整理得
，
所以
，解得
.
故选：B
3．（2023 上·辽宁·高三校考阶段练习）函数
（
、
）在点
处的切线斜率为，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
的定义域为R，
，
又
在点
处的切线斜率为，∴
，
∴
，
当且仅当
，即
，
时，“
”成立，
∴
的最小值为
.
故选：C．
4．（2023 上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线
与曲线
相切，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
7
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【详解】设切点为
，则
，解得
，
所以
．令
，所以
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
．
故选：A
5．（2023 上·天津·高三统考期中）已知函数
，若曲线
的一条切线的方程为
，则
.
【答案】3
【详解】设切点坐标为
，易知
，
则
，由切线方程为
可得
，
即
，解得
，即切点坐标为
，
将
代入切线方程可得
，解得
.
故答案为：3
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2023 上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数
为
上的奇函数，过点
作曲线
的切线，可作切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【答案】A
【详解】
，故
，
，
，
，
设切点为
，则
，且
，
整理得到
，解得
，
，
故切线方程为
，
故选：A
8
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2．（2021 下·北京·高二校考期中）已知函数
，则曲线
过点
的切线有
（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【详解】设切点为A
，直线AP 的斜率为k,则
，
又
，
，
∴
又方程
的判别式为
，且
，
∴ 方程
有两个不同的解，
∴ 曲线
过点
的切线有两条，
故选：C.
3．（2021 下·湖南·高二校联考阶段练习）经过点
作曲线
的切线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【详解】因为
，
设切点为
，所以曲线
在点
处的切线方程为
.
将
代入，得
即：
或
，
所以
，此时，切点为
；
或
因为
，所以方程
有两个不同的根，且根不为0，所以方程
共有3 个
不同的根，即经过点
作曲线
的切线有3 条.
故选：C.
4．（2019 上·四川内江·高三统考阶段练习）已知曲线
，则过点
可向引切线，其切线
条数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设在曲线上的切点为
，
，则
，
所以，曲线在点
处的切线方程为
，
9
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将点
的坐标代入切线方程得
，即
，
解得
，
，
.
因此，过点
可向引切线，有三条.
故选：C.
题型五：已知切线条数求参数
1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点
可以且仅可以作曲线
的一条切线，则下列选项正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【详解】设切点
．因为
，所以
，
所以点
处的切线方程为
，
又因为切线经过点
，所以
，即
.
令
，则
与
有且仅有1 个交点，
，
当
时，
恒成立，所以
单调递增，显然
时，
，于是符合题意；
当
时，当
时，
，
递减，当
时，
，
递增，所以
，
则
，即
．
综上，
或
．
故选：D
2．（2023 下·陕西汉中·高二校联考期中）过点
作曲线
切线有且只有两条，则b 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设切点为
，
由
，则
，
10
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所以过
的切线方程为
，即
，
故
有且仅有两根，
设
，则
，
当
时，
，此时
单调递增；
当
，
，此时
单调递减，
又当
时，
，
，
，
所以
的图象如下：
故
有且仅有两根，则b 的取值范围为
．
故选：A．
3．（2023·全国·校联考二模）若曲线
有三条过点
的切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设该切线的切点为
，则切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，则
，整理得
.
要使过点
的切线有3 条，需方程
有3 个不同的解，
即函数
图象与直线
在R 上有3 个交点，
设
，则
，
令
，令
或
，
所以函数
在
上单调递增，在
和
上单调递减，
11
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且极小值、极大值分别为
，如图，
由图可知，当
时，函数
图象与直线
在R 上有3 个交点，
即过点
的切线有3 条.
所以实数a 的取值范围为
.
故选：B.
4．（2022 上·山西运城·高三校考阶段练习）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设曲线
在点
处的切线为，
由
可知直线的斜率为
，
故直线的方程为
，
将
代入直线可得关于
的方程
具有两个不相等的正数解，
构造函数
，
则
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
且当
时，
；
，当
，即
时，
，
即当
时，
；
故为了使方程
有两个不相等的正数解，
12
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则须使
.
故选：B.
5．（2022 上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数
，若过点
能作三条直线与
的图像相切，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由已知：
，故
，设切点为
根据导数的几何意义，知切线斜率为
，切线方程为
,
将
点坐标代入切线方程可得
化简可得
即函数
与函数
有三个不同的交点.
故
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减.
则当
时，
有极小值
，
当
时，
有极大值
.
所以
的取值范围为
.
故选：D.
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（2022 上·四川成都·高三校联考阶段练习）曲线
上的点到直线
的距离的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【详解】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为
，
则
，解得
，
所以切点为
，代入切线方程，可得
，
13
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即切线为
，由两平行线间的距离
，
所以最小值为
，
故选：C．
2．（2023 上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】A
【详解】由
，得
，令
，则
，
令
得
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递
增；
由
，得
，令
，
的图像如下图：
则
表示
上一点
与
上一点
的距离的平方，
显然，当过M 点的
的切线与
平行时，
最小，
设
上与
平行的切线的切点为
，由
，解得
，
所以切点为
，切点到
的距离的平方为
，
即
的最小值为8；
故选：A.
3．（2023 下·广西河池·高二校联考期中）若点P 是曲线
上任意一点，则点P 到直线
的
最小距离为（ ）
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A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【详解】
点
是曲线
上的任意一点，设
，
令
，解得
1 或
（舍去），
，此时
，
∴曲线上与直线
平行的切线的切点为
，
点
到直线
的最小距离
.
故选：A.
题型七：公切线问题
1．（2023 上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线
与曲线
有公切线，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设公切线与函数
切于点
，
由
，得
，所以公切线的斜率为
，
所以公切线方程为
，化简得
，
设公切线与函数
切于点
，
由
，得
，则公切线的斜率为
，
所以公切线方程为
，化简得
，
所以
，消去
，得
，
由
，得
，
令
，则
，
所以
在
上递减，
所以
，
15
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所以由题意得
，
即实数
的取值范围是
，
故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线
与曲线
的一条公切线方程 .
【答案】
或
（写出一个即可）
【详解】设公切线与曲线
切于点
，
与曲线
切于点
.
由
，得
.由
，得
.
令
，即
，则
，
且
，
即
，
化为
，
所以
，解得
或
.
当
时，
，
，
此时切线的方程为
，即
.
当
时，
，
，
此时切线的方程为
，即
.
综上可知，切线的方程为
或
，写出任意一个即可.
故答案为：
或
，写出任意一个即可.
3．（湖北省武汉市部分学校2023-2024 学年高三上学期11 月调研考试数学试题）写出曲线
与
的一条公切线方程： .
【答案】
（或
）（答案不唯一）
【详解】设公切线与曲线
相切的切点为
，与曲线
相切的切点为
，
由
，求导得
，由
，求导得
，
16
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于是
，即有
，公切线方程为
，
显然该切线过点
，因此
，
整理得
，即
，解得
或
，
当
时，
，公切线方程为
，当
时，
，公切线方程为
.
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线
与
存在公切线，则正实数a 的取值范围是
．
【答案】
【详解】由题可知，
，
，
设与曲线
相切的切点为
，与
相切的切点为
，
则有公共切线斜率为
，则
，
，
又
，
，可得
，
即有
，即
，
可得
，
，
设
，
，
，
可得
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
,
可得
处
取得极大值，且为最大值
，
则正实数a 的取值范围
，
故答案为：
5．（2023 上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
(1)当
时， 求
的极值；
(2)若曲线
与曲线
存在2 条公切线， 求a 的取值范围.
【答案】(1)极大值为
，无极小值；
(2)
.
17
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【详解】（1）当
时，设
，显然
，
求导得
，由
，得
，
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
所以
在
取得极大值
，无极小值.
（2）设曲线
上切点
，则切线斜率为
，方程为
，
依题意，切线
与曲线
相切，于是方程
有两个相等的正实根，
而
，则
，且
，即有
，
由公切线有两条，得关于
的方程:
有两个不同的实数解，
令
，则
与
的图象有两个交点，
由
，求导得
，由
，得
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
因此
，函数
的图象如图，
观察图象知，当
，即
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
所以a 的取值范围是
.
18
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三、专项训练
1．（2024 上·广东广州·高三统考阶段练习）已知曲线
在点
处的切线的倾斜角为
，
则
（ ）
A．
B．
C．-2
D．
【答案】B
【详解】由题意知
在曲线
上，所以
.
又
，所以曲线
在点
处的切线的斜率为
.
又因为曲线
在点
处切线的倾斜角为
，所以切线的斜率为1.
故而
.由
解得
，所以
.
故选：B
2．（2024 上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）函数
的图象在点
处的切线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵
，∴
，∴
，
，
∴所求的切线方程为
，即
.
故选：D
3．（2023 下·高二课时练习）若曲线
在点
处的切线方程为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
不存在
【答案】A
【详解】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，
即
故选：A
4．（2023 上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）若直线
是曲线
的一
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条切线，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
ln 2
D．
【答案】B
【详解】设直线
与曲线
相切的切点为
，由
求导得
，
于是
，则
，
，
设
，求导得
，
当
时，
，函数
递减，当
时，
，函数
递增，
因此当
时，
，
所以
的最小值为
.
故选：B
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】解法一 由
，得
．设切点坐标为
，
则切线方程为
，
把
代入可得
，即
，
因为
，所以该方程有2 个不同的实数解，故切线有2 条．
解法二 由
，得
，令
，得
．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的极小值为
，且
，则点
在曲线
的下方，
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数形结合可知，过点
可作曲线
的2 条切线．
故选：B
6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数
，过点
作曲线
的两条切线，切
点分别为
和
，若
，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】由题意知
，
因为
与曲线
相切，
所以
，整理得
，
同理
，
则
，
是方程
的两个实数根，
所以
，
所以
．
故选：
.
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数
与函数
的图象在公共点处有相同
的切线，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设函数
与函数
的图象公共点坐标为
，
求导得
，依题意，
，于是
，
令函数
，显然函数
在
上单调递增，且
，
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则当
时，
，因此在
中，
，此时
，经检验
符合题意，
所以
.
故选：B
8．（2023 上·四川·高三校联考阶段练习）若点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】过点
作曲线
的切线，当切线与直线
平行时，点
到直线
的距离最小，
设切点为
， 则
，
因为
，所以切线斜率为
，
由题知
，解得
或
（舍），
所以
，此时点
到直线
的距离
，
故选：B.
9．（2023 上·四川成都·高三校联考阶段练习）过点
作曲线
的两条切线，切点分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【详解】由
，得
，
设切点坐标为
，
则
，
切线方程为
，
将
代入可得
，即
，
依题意关于
的方程
有两个不同的解
、
，
即关于
的方程
有两个不同的解
、
，
．
故选：A．
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二、多选题
10．（2023 下·高二课时练习）若曲线
在点
处的切线方程是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】因为点
在直线
上，所以
.
由
，则求导可得
，
所以在点
处的切线的斜率为
.
故选：AD.
11．（2023 上·福建福州·高三校联考期中）已知直线l 与曲线
相切，则下列直线中可能与l
平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
，
，则
，当且仅当
即
等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率
，因为切线与直线l 平行，所以l 的斜率
，
选项A 中直线的斜率为
，符合题意；
选项B 中直线的斜率为
，不符合题意；
选项C 中直线的斜率为
，符合题意；
选项D 中直线的斜率为
，符合题意；
故选：ACD.
12．（2023 上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）若过点
可以作三条直线与函数
相切，则实数a 的值可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】CD
【详解】设切点
，
由函数
，可得
，
则切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
因为点
在切线上，可得
，
即
，
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又因为过点
可以作三条直线与函数
相切，
即方程
有三个不同的实数解，且
不是方程的解，
即
有三个不同的实数解，
令
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
又由
，且当
时，
，当
时，
，
当
,
所以实数
的取值范围为
，结合选项C、D 符合题意.
故选：CD.
三、填空题
13．（2024 上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数
在点
处的切线与直线
平行，则实数
.
【答案】
【详解】由题设
，则
，故
.
故答案为：
14．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）若函数
在
处的切线与
的
图像有三个公共点，则
的取值范围 ．
【答案】
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【详解】当
时，
，所以切点的坐标为
，
当
时，
，
，所以切线的斜率
，
所以切线的方程为：
而
，即
过点
当切线过点
时，切线与函数
的图象有三个公共点，
将
代入切线方程得：
，得
当切线与
相切时，切线与数
的图象只有两个公点，
设切线：
与
在
处相切，
由
，得
，
所以
，得
，
，所以切点坐标为
代入切线：
，得
，
因此在
处的切线与
的图像有三个公共点时，
的取值范围为：
.
故答案为：
.
四、单空题
15．（2023 下·高二课时练习）已知函数
是曲线
的一条切线，则
.
【答案】
/
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【详解】设切点为
，∵
，∴
，∴
，
∴切线方程为
，又点
在曲线
上，
∴
，∴
，∴
，∴
.
故答案为：
五、问答题
16．（2023 上·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，
与
有公切线，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：由函数
，可得
，
当
时，可得
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增；
当
时，可得
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减.
（2）解：设公切线与
和
的切点分别为
，
可得
，可得切线方程为
，
即
，即
由
，可得
，则
，所以切线方程为
所以
，可得
，
设
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以，当
时，函数
取得极大值，极大值为
，
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又由当
时，
；当
时，
，
所以，所以时，即实数的取值范围为.
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