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专题01 数列求通项（
法、
法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：
法：角度1：用
，得到
................................2
题型二：
法：角度2：将题意中的
用
替换.................4
题型三：
法：角度3：已知等式中左侧含有：
................6
题型四：
法：角度1：已知
和的关系...................................8
题型五：
法：角度2：已知
和
的关系................................12
三、数列求通项（
法、
法）专项训练........................................13
一、必备秘籍
1 对于数列
，前
项和记为
；
①
；②
①-②：
法归类
角度1：已知
与
的关
系；或
与
的关系
用
，得到
例子：已知
，求
角度2：已知
与
的
关
系
；
或
与
的关系
替换题目中
的
例子：已知
；
已知
角度3：已知等式中左侧含
有：
作差法（类似
）
例子：已知
求
1
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2 对于数列
，前
项积记为
；
①
；②
①
②：
法归类
角度1：已知
和
的关系
角度1：用
，得到
例子：
的前
项之积
.
角度2：已知
和
的关系
角度1：用
替换题
目中
例子：已知数列
的前n 项积为
，且
.
二、典型题型
题型一：
法：角度1：用
，得到
1．（23-24 高二下·河南南阳·期中）已知数列
的前
项和为
，且
为等差
数列．
(1)证明：
为等差数列；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）因为
为等差数列，可设出
的通项公式，然后由前
项和求数列
的通项公式，再由等差数列的概念判断数列
是等差数列.
【详解】（1）因为
为等差数列，设其公差为
，所以
，
又因为
，所以
．
当
时，
，
又因为
适合上式，所以
．
所以
，所以
为等差数列．
2
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2．（2024·四川·模拟预测）已知
为正项数列
的前
项和，
且
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）已知
与
的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化
简，最后对
时进行检验，得到数列
是等差数列，从而写出通项公式；
【详解】（1）由题意知：
，即
，
当
时，
，
两式相减，可得
，
因为
，可得
．
又因为
，当
时，
，即
，
解得
或
（舍去），所以
（符合），
从而
，所以数列
表示首项为3，公差为2 的等差数列．
所以数列
的通项公式为
．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意结合
与
之间的关系可得
，利用等差中项可
得数列
为等差数列，进而求
；
【详解】（1）因为
，即
，则
，
两式相减并整理得
，则
，
两式相减整理得
，
所以数列
为等差数列．
当
时，
，所以
．
设等差数列
的公差为
，
3
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因为
，解得
，
所以
．
4．（23-24 高二下·辽宁·阶段练习）已知数列
的前n 项和为
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由
与
的关系，求数列
的通项公式；
【详解】（1）数列
的前n 项和为
，
时，
，
时，
，
不符合
，
所以
.
题型二：
法：角度2：将题意中的
用
替换
1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，且当
时，
，
(1)证明：数列
是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由题意可得
，两边同时除以
（
），得
，从而得证；
【详解】（1）因为
，所以
，则
，
因为
，易知
，所以
，
又
，所以数列
是首项与公差都为2 的等差数列；
2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列
的前
项和为
，
，且当
时
4
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．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由
时，
，及条件可得
，再由累加法可求
出
，再由
求出
.
【详解】（1）因为
时
，
数列
为正项数列，所以
．
由累加法得
，
又
，所以
，即
，
故当
时，
，
因此
．
3．（2023·云南昭通·模拟预测）已知各项均为正数的数列
的首项
，其前
项和为
，从①
；②
，
；③
中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列
的通项公式；
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合
求解
作答.
【详解】（1）选择①：因为
，则
，
两式相减得
，即
，
而
，
，则
，因此数列
是以
为首项，2 为公差的等
差数列，
所以
.
5
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选择②：因为
，则
，
于是当
时，
，即
，由
，得
，
即有
，因此
，
，即数列
是以
为首项，2 为公差
的等差数列，
所以
.
选择③：因为
，又
，
则
，即
，
显然
，于是
，即
是以1 为首项，1 为公差的
等差数列，
从而
，即
，因此
，而
满足上式，
所以
.
4．（2023·江西南昌·三模）已知
是数列
的前
项和，满足
，且
.
(1)求
；
【答案】(1)
【分析】（1）利用
化简式子得到
，利用累加法即可求
解；
【详解】（1）因为
，显然
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，又当
时，
也满足，所以
.
6
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题型三：
法：角度3：已知等式中左侧含有：
1．（2024·河北沧州·一模）在数列
中，已知
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据数列的前
项和求数列的通项公式，一定要分
和
讨论.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
所以
，
.
当
时，上式亦成立，
所以：
.
2．（23-24 高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由已知求得数列首项，再根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得
答案；
【详解】（1）当
时，由
，得
，
当
时，
，
则
，
也适合该式，故
；
3．（2024·浙江温州·二模）数列
满足：
是等比数列，
，且
．
(1)求
；
【答案】(1)
，
【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出
的通项公式，由已知和求通项可得
的通项公式，
7
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【详解】（1）
，
又
，
，解得：
因为
是等比数列，所以
的公比
，
又当
时，
，
作差得：
将
代入，化简：
，
得：
是公差
的等差数列，
4．（2024·广西柳州·三模）已知数列
满足：
，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据
的关系，作差即可求解，
【详解】（1）当
时，由
，得
当
时，
两式相减，得
当
时，
综上可知，
5．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列
满足，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）作差法，计算得到
，验证
是否成立，进而得到数列
的通项公式；
【详解】（1）因为
，①
当
时，
，②
8
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①②得
，
即
．
当
时，
也符合上式，
所以
．
题型四：
法：角度1：已知
和的关系
1．（2023·全国·模拟预测）已知
是等比数列，其前
项之积
，
(1)求
的通项公式，并求
的解集；
【答案】(1)
，
，
【分析】（1）分
和
两种情况，结合题意分析求
的通项公式，代入
运
算求解即可；
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
．
当
时，
也符合上式，综上，
，
．
令
，即
，整理得
，解得
或4，
所以
的解集为
．
2．（2023·四川·模拟预测）已知数列
的前
项和为
,且满足
,数
列
的前
项积
.
(1)求数列
和
的通项公式;
【答案】(1)
,
【分析】（1）对于数列
,根据
,利用
和
的关系求解;对于数列
,因为其前
项积
,根据
即可求解;
9
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【详解】（1）当
时,
,
∴
,
当
时,
,
化简得
,
∵
,∴
,
∴数列
是首项为
,公差为
的等差数列,
∴
.
当
时,
,
当
时,
，当
时也满足，
所以
.
3．（2023·浙江·模拟预测）已知正项等比数列
和数列
，满足
是
和
的等
差中项，
.
(1)证明：数列
是等差数列，
(2)若数列
的前
项积
满足
，记
，求数列
的前20 项
和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
（2）由（1）和
，求得
，
，然后表示出
的前20 项和即可
得出答案.
【详解】（1）由题知，
是等比数列，
设其公比为
，
由
，
可得：当
时，
，
两式相减得，
，
10
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故数列
是等差数列.
（2）由
知：
当
时，
，
又
，所以
，
由（1）设
的公差为
，
则
，
由
，
则
，
，
所以
.
即数列
的前20 项和为
.
4．（2023·辽宁·三模）已知数列
的前
项的积
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）当
时，
，即可求出答案；
【详解】（1）
，
当
时，
.
当
时，
，满足上式，
.
5．（2023·湖北·模拟预测）已知数列
前
项和
，
的前
项之积
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.
(1)求
与
的通项公式.
【答案】(1)
，
【分析】（1）根据
，
，即可得出答案；
【详解】（1）解：（1）由
，
当
时，
当
时，
，
当
时，上式也成立，
所以
，
由
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，上式也成立，
所以
；
题型五：
法：角度2：已知
和
的关系
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列
的前
项的积记为
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）分类讨论
与
两种情况，利用递推式求得
与
，从而得
证；
【详解】（1）因为
，
当
时，
，即
，易知
，则
，
当
时，
，所以
，即
，
12
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故数列
是以3 为首项，2 为公差的等差数列.
2．（23-24 高三上·福建宁德·期末）已知
为数列
的前
项积，且
.
(1)证明：数列
是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用
将条件整理变形可得
，即可证明数列
是等差数
列；
【详解】（1）
为数列
的前
项积，
当
时，
，
，等式两边同时乘以
可得
，
即
，
又当
时，
，得
，
所以数列
是以
为首项，为公差的等差数列；
3．（23-24 高一下·贵州遵义·期末）设
是数列
的前
项之积，并满足：
.
（1）求
；
（2）证明数列
等差数列；
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）证明见解析
【分析】（1）由题意结合递推关系可得
，
；
（2）根据题意利用等差数列的定义证明即可
【详解】（1）由
，且
，得
，
当
时，
，即
，
，得
，
当
时，
，即
，
，得
（2）证明：因为
，
13
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所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
因为
所以数列
是以2 为首项，公差为1 的等差数列
三、数列求通项（
法、
法）专项训练
1．（23-24 高三下·江苏苏州·开学考试）记
为数列
的前n 项积，已知
(1)证明: 数列
是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件先确定
，得出
为等差数列，进而求出
通项公式
，进而求出
，由定义法即可判断数列
是等差数列；
【详解】（1）因为
，
时，有
，
为数列
的前n 项积，
所以
，代入上式有
；又由
，有
，
所以
，即
，
，
所以
，所以
为首项为
，公差为的等差数列，
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所以
，
，代入
，
解得：
，
，
所以数列
是等差数列.
2．（2023·全国·模拟预测）已知数列
，满足
．
(1)若
是数列
的前n 项积，求
的最大值；
【答案】(1)
【分析】（1）先根据前n 项和与通项的关系求出
的通项公式，表示出
，结
合二次函数的性质，即可得出答案；
【详解】（1）当
时，
．
当
时，
，解得
①．
因为
满足①式，
所以
，
则
，所以
为等比数列，公比为
，
所以
．
又因为当
或
时，
取最大值55，
所以
的最大值为
．
3．（2023·福建南平·模拟预测）设
为数列
的前n 项积．已知
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
；
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n 项积的意义求解作答.
【详解】（1）依题意，
是以1 为首项，2 为公差的等差数列，则
，
即
，当
时，有
，两式相除得，
，
15
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显然
，即
，因此当
时，
，即
，
所以数列
的通项公式
.
4．（22-23 高二上·山东威海·期末）设
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项
积，已知
．
(1)求
，
；
(2)求证：数列
为等差数列；
(3)求数列
的通项公式．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接令
中的
，
可得答案；
（2）通过
得到
，两式相除整理后可证明数列
为等差数
列；
（3）当
时，通过
可得数列
的通项公式，注意验证
时是否符合.
【详解】（1）由
，
且
，
当
时，
，得
，
当
时，
，得
；
（2）对于
①，
当
时，
②，
①
②得
，
16
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即
，
，
又
，
数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列；
（3）由（2）得
，
，
当
时，
，
又
时，
，不符合
，
.
5．（22-23 高三上·江苏南通·阶段练习）
为数列
的前n 项积，且
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由
与
的关系，把已知式中
换成
的关系式，然后可配出等比数列的
比值；
（2）由（1）求得
后，代入已知可得
或由
与
的关系求解．
【详解】（1）证明： 由已知条件知
①,
于是
． ②,
由①②得
． ③ ，
又
④，
由③④得
，所以
，
17
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令
，由
，得
，
，
所以数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列；
（2）由（1）可得数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列．
，
法1：
时，
，
又
符合上式，所以
；
法2：将
代回
得：
．
6．（22-23 高三上·河北邢台·开学考试）数列
的前n 项积
.数列
的前n 项和
.
(1)求数列
、
的通项公式.
【答案】(1)
，
，
【分析】（1）利用
求
，利用
求
，注意
的求
法；
【详解】（1）
前n 项积为
，
①n＝1 时，
，
②
时，
，
，
符合上式，∴
，
，
.
的前n 项和为
，
①n＝1 时，
，
②
时，
，
，
符合上式，∴
，
；
7．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列
的公差为2，记数列
的前
项和为
且满足
.
18
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(1)证明：数列
是等比数列；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）根据通项与前
项和之间的关系，作差可得
，即可利用等比数
列的定义求解，
【详解】（1）
时，
，即
.
又
，也符合
，
所以
时，
，即
.
又
，所以
，
所以
，所以数列
成等比数列.
8．（2024·四川·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，
，且当
时，
.
(1)求
；
【答案】(1)
【分析】（1）由
代入已知等式化简得
，再由累加法求
通项即可；
【详解】（1）由
，
，得
，
当
时，
，故
，
即
，
所以
，
，
，
，…，
，
将各等式左、右两边分别相加得，
.
，
符合上式，
所以
.
9．（2024·河北·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
19
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【分析】（1）根据
求解即可；
【详解】（1）由
，①
当
时，
，所以
，
当
时，
，②
由①
②得
，
所以
，
当
时，上式也成立，
所以
；
10．（2024·云南昆明·模拟预测）已知各项均为正数的数列
的首项
，其前
项和
为
，从①
；②
，且
；③
中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列
的通项公式；
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
【答案】(1)选择①②③都是
【分析】
（1）若选择①②：由
与
的关系，再结合等差数列的定义，即可得到结果；若选择
③：由
与
的关系可得
为等差数列，再由
即可求得
；
【详解】（1）选择①：因为
，
所以
，
，
两式相减得
，
即
因为
，所以
所以数列
是以
为首项，2 为公差的等差数列，
故
.
选择②：因为
，所以
，
20
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所以
，所以
，又因为
，所以
，
所以数列
是以
为首项，2 为公差的等差数列，
所以
.
选择③：因为
，
又因为
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，所以
，
所以
，所以
，检验
时也满足，
所以
.
11．（23-24 高三下·山东菏泽·开学考试）已知正项数列
的前n 项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意得
，再因式分解为
，即可得到
，根据等差数列的定义，可知
为等差数列，易得其通项公式；
【详解】（1）因为
，
所以当
时，
，
所以
，
整理，得
，
因为
，
所以
，
所以数列
是公差为2 的等差数列.
当
时，
，
解得
，
所以数列
的通项公式为
；
12．（23-24 高三下·四川雅安·开学考试）已知数列
满足
．
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(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意，当
时，用
替换
，然后代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）当
时，
．
当
时，由
，得
，
则
，则
，
因为
也符合上式，所以
．
13．（2022·全国·模拟预测）已知数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
；
【分析】（1）根据给定条件，利用
求解即得.
【详解】（1）
，
，
当
时，
，
两式相减得
，即
，而
满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
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