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专题01 数列求通项（
法、法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：
法：角度1：用
，得到
....................................................2
题型二：
法：角度2：将题意中的
用
替换....................................4
题型三：
法：角度3：已知等式中左侧含有：
....................................5
题型四：
法：角度1：已知
和的关系.......................................................7
题型五：
法：角度2：已知
和
的关系.....................................................8
三、数列求通项（
法、
法）专项训练.............................................................9
一、必备秘籍
1 对于数列
，前
项和记为
；
①
；②
①-②：
法归类
角度1：已知
与
的关
系；或
与
的关系
用
，得到
例子：已知
，求
角度2：已知
与
的
关
系
；
或
与
的关系
替换题目中
的
例子：已知
；
已知
角度3：已知等式中左侧含
作差法（类似
）
例子：已知
求
1
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有：
2 对于数列
，前
项积记为
；
①
；②
①
②：
法归类
角度1：已知
和
的关系
角度1：用
，得到
例子：
的前
项之积
.
角度2：已知
和
的关系
角度1：用
替换题目中
例子：已知数列
的前n 项积为
，且
.
二、典型题型
题型一：
法：角度1：用
，得到
例题1．（2023 秋·江苏·高三校联考阶段练习）记
是数列
的前
项和，已知
，且
.
(1)记
，求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
，①所以
，②
②-①得，
，因为
，所以
，
所以数列
的奇数项和偶数项分别是以4 为公差的等差数列，
2
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令
代入
，得
，由
，得
，
所以
，
所以数列
是公差为4，首项为5 的等差数列，其通项公式为
例题2．（2023 春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列
的前
项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）
①，
当
时，
②，
两式①-②得：
，
当
时，
，不符合上式，
所以
；
例题3．（2023 秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列
的前n 项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
，所以
时，
，
所以
，所以
，
因为
，
又因为
为等比数列，所以
，所以
，
则等比数列
首项为2，公比为3，
所以
例题4．（2023 秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
3
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【详解】（1）因为
，
所以当
时，
，
两式相减，得到
，
整理得
，
又因为
，所以
，
所以数列
是公差为的等差数列．
当
时，
，解得
或
，
因为
，所以
，
由（1）可知
，即公差
，
所以
；
题型二：
法：角度2：将题意中的
用
替换
例题1．（2023 秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列
的前
项和为
.
(1)求
；
【答案】(1)
【详解】（1）
，可得
，
可得
，即数列
为首项为2，公差为2 的等差数列，
可得
，由
，可得
；
例题2．（2023 秋·河北唐山·高二校考期末）已知数列
中，
，
，前
项和为
，若
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）若
，
由
，可得
，
则数列
是首项为2，公差为1 的等差数列，
4
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所以
，即
，
当
时，
，则
例题3．（2023 秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列
的首项
，其
前n 项和为
，且
（
）．
(1)求
；
【答案】(1)
【详解】（1）
，
又
，
又
，
数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
，故
例题4．（2023 秋·安徽滁州·高三校考期末）记首项为的数列
的前
项和为
，且当
时，
(1)证明：数列
是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，即
，
则
，可得
，
所以
，且
，
所以数列
是首项为，公差为
的等差数列．
题型三：
法：角度3：已知等式中左侧含有：
例题1．（2023 春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知数列{
}满足：
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．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
，①
所以
时，
，②
①
②得：
，所以
，
又
，不符合上式，故
例题2．（2023 秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由
，
得当
时
， 即
，
当
时，
，
则
，即
，
当
时，也满足上式，
综上所述，
；
例题3．（2023 春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在数列
中，
.
(1)求数列
的通项
；
【答案】(1)
；
【详解】（1）由
，
，得当
时，
6
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，
两式相减得：
，即
，而
，
因此
构成以
为首项，3 为公比的等比数列，
则当
时，
，即
，显然
不满足上式，
所以数列
的通项
.
例题4．（2023 春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知数列
为正项等比数列，数列
满足
，
，
．
(1)求
；
【答案】(1)
【详解】（1）令
，
当
时，
，由
，则
；
当
时，
，由
，则
.
由数列
为正项等比数列，设其公比为
，则
，所以
.
题型四：
法：角度1：已知
和的关系
例题1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列
的前
项的积
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）
，
当
时，
.
当
时，
，满足上式，
7
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.
例题2．（2022 秋·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知数列
的前
项积
.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：（1）
.
当
时，
；
当
时，
，也符合
.
故
的通项公式为
.
例题3．（2022 秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知
为数列
的前n 项的积，且
，
为数
列
的前n 项的和，若
（
，
）.
（1）求证：数列
是等差数列；
（2）求
的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【详解】解：（1）证明：
，
.
，
是等差数列.
（2）由（1）可得
，
.
时，
；
8
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时，
.
而
，
，
，
均不满足上式.
（
）.
题型五：
法：角度2：已知
和
的关系
例题1．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列
的前
项的积记为
，且满足
(1)证明：数列
为等差数列;
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，得
，
当
时，
，所以
，
所以数列
是首项为
，公差为的等差数列.
例题2．（2020 春·浙江温州·高一校联考期中）设数列
的前n 项积
（
）．
（1）求数列
的通项公式；
【答案】（1）
；（2）详见解析．
【详解】（1）当
时，
，∴
，
又
∴
，∴
，所以数列
是以
为首项，
9
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1 为公差的等差数列，∴
∴
.
例题3．（2023 秋·江苏·高二专题练习）已知数列
的前n 项之积为
，且满足
．
(1)求证：数列
是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由题意知：
，
∴
，∴
，
∴数列
是公差为3 的等差数列；
三、数列求通项（
法、
法）专项训练
一、单选题
1．（2023 秋·江西·高三统考开学考试）设
为数列
的前
项积，若
，且
，当
取得最小值时，
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【详解】解：由题意得
，又
，
，
所以
，
所以
是公比为
的等比数列.
因为
，所以
，
解得
，
所以
，
10
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则
，
，
，
当
时，
，
因为
，
所以
最小.
故选：A.
2．（2023 秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知
为数列
的前
项积，若
，则数列
的前
项和
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
为数列
的前
项积，所以可得
，
因为
，所以
，
即
，所以
，
又
，得
，所以
，
故
是以3 为首项，2 为公差的等差数列；
，
故选：A
3．（2023 春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知等比数列
的前
项积为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设等比数列
的公比为
，
当
，则
，所以
，
，
，
若
，则
，
，
，不符合题意；
若
，则
单调（或为常数），此时不满足
，故不符合题意，所以
；
当
，
，此时
奇数项为负，偶数项为正，则
，
，
，不符合题意，
当
，
，此时
奇数项为正，偶数项为负，则
，
，
，不符合题意，
11
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所以
，故A 错误，
又
，
，
又
，所以
，所以
，
故对任意的
，
，则对任意的
，
，故B 错误；
又
，
，所以
，
，
所以
，
，
，
所以
，故D 正确，C 错误．
故选：D．
4．（2023 秋·江西宜春·高二校考开学考试）若数列
的前
项积
，则
的最大值与最小值的
和为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】C
【详解】∵数列
的前
项积
，
当
时，
，
当
时，
，
，
时也适合上式，
∴
，
∴当
时，数列
单调递减，且
，
当
时，数列
单调递减，且
，
故
的最大值为
，最小值为
，
∴
的最大值与最小值之和为2.
12
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故选：C.
二、填空题
5．（2023 春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知
为数列
的前n 项积，且
，则
．
【答案】
【详解】当
时，则
；
当
时，则
；
注意到
也符合上式，所以
.
故答案为：
.
三、解答题
6．（2023 春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）设数列
的前
项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
，
故
时，
，
两式相减得
，
又
，
，所以
，故
，满足上式，
故
，且
，
所以
为等比数列，且首项为2，公比为3，从而
.
7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列
的各项均为正数，前
项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式．
【答案】(1)
13
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【详解】（1）∵
，
所以
或
，∵
，∴
，
……①．
……②．
① - ②得
是首项为3，公差为2 得等差数列，
；
8．（2023 春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校联考期末）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，
，又
，
所以
，即
.
又数列
是等比数列，所以
，
当
时，
，解得
，
所以
；
9．（2023 春·江西九江·高二校考期末）记数列
的前n 项和为
，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
，所以
，
两式相减得
，即
，
又
，所以
，
所以
是首项为3，公差为2 的等差数列，
所以
.
10．（2023 春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知正项数列
的前n 项和为
，满足：
.
14
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(1)计算
并求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由
①，
当
时，
，解得
（
舍去），
当
时，
②，
由①
②得
，
即
，
又
，所以
，
所以数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
；
11．（2023 春·浙江杭州·高二校联考期中）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，数列
满足
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
【答案】(1)
，
，
，
【详解】（1）设等差数列
公差为
，则
，整理得
，解得
，
∴
，
，
对于数列
：当
时，
，
当
时，由
，得
，
两式相减得
，当
时，
也满足上式，
∴
，
．
12．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知
是数列
的前
项和，满足
，
且
.
(1)求
；
【答案】(1)
15
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【详解】（1）因为
，显然
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，又当
时，
也满足，所以
.
13．（2023 春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列
的前n 项和为
，且
，当
时，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由
，得
，
因为
，所以
，
所以
是以
为首项，1 为公差的等差数列，所以
，
所以，当
时，
，
当
时，
也满足上式，
所以数列
的通项公式为
．
14．（2023 春·江西宜春·高二校联考期末）已知数列
满足
，等差
数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求数列
和
的通项公式；
【答案】(1)
，
；
【详解】（1）当
时，
，
，当
时，
，
两式相减，得
，即
，显然
满足上式，因此
，
16
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设
公差为
，则
，即
，解得
，
因此
，
所以数列
和
的通项公式分别为
，
.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
，即
，
，
，
，
是首项为2，公差为1 的等差数列，
，
，
，
综上，
16．（2023 春·辽宁大连·高二校联考期中）已知正项数列
满足
，前
项和
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由
可得
，
17
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即
，
因为
，所以
，则
，
，
所以
，
又因为
，所以数列
是以1 为首项，
为公差的等差数列，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
；
17．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
；
【详解】（1）
，
当
时，
，即
，
当
时，
，
得
，即
，
满足上式，
数列
的通项公式为
；
18．（2023 春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列
中，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
18
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(2)
.
【详解】（1）∵
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，即
（
），
又∵
也适合，
∴
；
（2）由（1）知
，
，
∴
.
19．（2023 秋·广东茂名·高二统考期末）已知数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：因为
，
所以
时，
，
两式作差得，
，
所以
时，
，
又
时，
，得
，符合上式，
所以
的通项公式为
．
20．（2021 秋·江西九江·高二校考期中）
为数列
的前
项和，
为数列
的前
项积，已知
.
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）求数列
的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
19
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【详解】（1）当
时，
，即
，解得
.
当
时，
，所以
，所以
，
即
是以
，公差为2 的等差数列.
（2）因为
的通项公式为
，
所以当
时，
当
时，
又因为
，
所以数列
的通项公式为：
.
20
