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九省联考”新题型专项强化训练
集合中的新定义问题
新定义题目简介
题型特点
“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语
言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，
在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
解题策略
求解“新定义”题目，主要分如下几步：
（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似
点；
（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法
则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特
质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基
础差的考生也不要轻易放弃。
1．已知数集 具有性质P：对任意的k ，
，使得 成立．
(1)分别判断数集 与 是否具有性质P，并说明理由；
(2)若 ，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A；
(3)求证： ．
2．给定正整数 ，设集合 ．若对任意 ， ， ， 两数中至少有一个属于 ，则称集合 具有性质 ．
(1)分别判断集合 与 是否具有性质 ；
(2)若集合 具有性质 ，求 的值；
(3)若具有性质 的集合 中包含6个元素，且 ，求集合 ．
3．已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；② ；③ 为偶数，那么称集合
具有性质 .已知集合 ，对于集合 的非空子集 ，若 中存在三个互不
相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”.
(1)试判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”；
(3)证明：集合 具有性质 的充要条件是集合 是集合 的“期待子集”.
4．已知有 个连续正整数元素的有限集合 （ ， ），记有序数对
，若对任意 ， ， ， 且 ，A同时满足下列条件，则称
为 元完备数对.
条件①： ；
条件②： .
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
5．已知集合 ，若 中元素的个数为 ，且存在 ，
使得 ，则称 是 的 子集．
(1)若 ，写出 的所有 子集；(2)若 为 的 子集，且对任意的 ，存在 ，使得 ，求 的值．
6．给定正整数 ，设集合 ．对于集合 中的任意元素
和 ，记 ．设 ，且集合
，对于 中任意元素 ，若 则称 具有性质
．
(1)判断集合 是否具有性质 ？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质 的集合 ，并加以证明．
7．已知集合 ，其中 且 ，非空集合 ，记 为集合
B中所有元素之和，并规定当 中只有一个元素 时， ．
(1)若 ，写出所有可能的集合B；
(2)若 ，且 是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若 ，证明：存在非空集合 ，使得 是 的倍数．
8．设正整数 ，若由实数组成的集合 满足如下性质，则称 为 集合：对 中任意
四个不同的元素 ，均有 .
(1)判断集合 和 是否为 集合，说明理由；
(2)若集合 为 集合，求 中大于1的元素的可能个数；
(3)若集合 为 集合，求证： 中元素不能全为正实数.9．设 ，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“ 无和划分”：
① ；
② ， ， ；
③ ，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④ ， ， ，必有 ， ， .
(1)若 ， ， ，判断A，B，C是否是“ 无和划分”，并说明理由.
(2)已知A，B，C是“ 无和划分”（ ）.
（i）证明：对于任意m， ，都有 ；
（ii）若存在i， ，使得 ，记 .证明：Ω中的所有奇数都属于A.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
10．对于函数 ，记所有满足 ，都有 的函数构成集合 ；所有满足
，都有 的函数构成集合 .
(1)分别判断下列函数是否为集合 中的元素，并说明理由，
① ；② ；
(2)若 （ ）是集合 中的元素，求 的最小值；
(3)若 ，求证： 是 的充分不必要条件.
11．设整数集合 ，其中 ，且对于任意 ，若
，则 ．
(1)请写出一个满足条件的集合A；
(2)证明：任意 ， ．12．集合 是由 个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就
称集合 为“可分集合”．
(1)判断集合 、 是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合 一定不是“可分集合”；
(3)若集合 是“可分集合”，证明 是奇数．
13．对于正整数 ，定义 ．对于任意的
，称 为 的第 个分量，称 是 的一个“协同子集”．如果 同时满足：① 的
元素个数不少于 ；②对于任何 、 、 ，存在 ，使得 、 、 的第 个分量都是 ．
(1)对于 ，若 是 的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是 和 ，直
接写出另外两个元素；
(2)证明：若 是 的一个“协同子集”，则 的元素个数不超过 ；
(3)证明：若 是 的一个“协同子集”，且 的元素个数恰好是 ，则存在唯一的 ，使得
中所有元素的第 个分量都是 ．
14．定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合 上的一个拓扑（topology）乃是 的子集为元素的一个族 ，它满足以下条件：（1） 和
在 中；（2） 的任意子集的元素的并在 中；（3） 的任意有限子集的元素的交在 中.
(1)族 ，族 ，判断族 与族 是否为集合 的拓扑；
(2)设有限集 为全集
（i）证明： ；
（ii）族 为集合 上的一个拓扑，证明：由族 所有元素的补集构成的族 为集合 上的一个拓扑.15．已知集合 ，对于集合 的非空子集 ，若 中存在三个互不相同的元
素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”.
(1)试判断集合 是否为集合 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素 ，同时满足① ，② ，③ 为偶数.那么称该集
合具有性质 .对于集合 的非空子集 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合 具
有性质 .
16．对任意正整数n，记集合 ，
． ， ，若对
任意 都有 ，则记 ．
(1)写出集合 和 ；
(2)证明：对任意 ，存在 ，使得 ；
(3)设集合 ．求证： 中的元素个数是完全平方数．
17．已知集合 ，集合 ，且满足，
， 与 恰有一个成立.对于 定义 ，
以及 ，其中 .
例如 .(1)若 ， ，求 的值及 的最大值；
(2)从 中任意删去两个数，记剩下的数的和为 ，求 的最小值（用 表示）；
(3)对于满足 的每一个集合 ，集合 中是否都存在三个不同的元素 ， ， ，使
得 恒成立？请说明理由.
18．已知正整数集合 ,对任意 ，定义
.若存在正整数 ，使得对任意 ，都有 ,则称集合 具有性
质 .记 是集合中的 最大值.
(1)判断集合 和集合 是否具有性质 ，直接写出结论；
(2)若集合 具有性质 ，求证： ；
(3)若集合 具有性质 ，求 的最大值.
19．已知集合 具有性质 ：对任意 且
， 与 至少一个属于 ．
(1)分别判断集合 与 是否具有性质 ，并说明理由；
(2) 具有性质 ，当 时，求集合 ；
(3)记 ，求 ．
20．已知集合 为非空数集，定义： ， （实数a，b可以
相同）(1)若集合 ，直接写出集合S、T；
(2)若集合 ， ，且 ，求证： ；
(3)若集合 ， ，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值．
21．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，
定义 且 ，将 称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若 ， ，求 和 ；
(2)试证明：“ ”是“ ”的充要条件；
(3)若集合 是有限集，将集合 的元素个数记为 .已知 ，且存在实数 满足
对任意 恒成立.求 的取值范围，并指明当 取到最值时 和 满足的关
系式及 应满足的条件.
22．设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面
上对应的点都在圆内或圆周上，且 中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断 是否是 的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足 ，其中 分别表示z的实部和虚部．证明： 是
的“可分离子集”当且仅当 ．
23．已知 为有穷正整数数列，且 ，集合 ．若存在
，使得 ，则称 为 可表数，称集合
为 可表集．(1)若 ，判定31，1024是否为 可表数，并说明理由；
(2)若 ，证明： ；
(3)设 ，若 ，求 的最小值．
24．设数阵 ，其中 ．设 ，其中
且 ．定义变换 为“对于数阵的每一行，若其中有 或 ，则将这一行中每个
数都乘以 ；若其中没有 且没有 ，则这一行中所有数均保持不变” 表示“将
经过 变换得到 ，再将 经过 变换得到 以此类推，最后将 经过 变换得到 ．记数阵
中四个数的和为 ．
(1)若 ，写出 经过 变换后得到的数阵 ，并求 的值；
(2)若 ，求 的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵 ，证明： 的所有可能取值的和不超过 ．
25．已知 为所有 元有序数组 所组成的集合.其中 （ ）.
对于 中的任意元素 ， 定义 ， 的距离：
若 ， 为 的子集，且有 个元素，并且满足任意 ，都存在唯一的 ，使得 ，
则称 为“好 集”.(1)若 ， ， ， ， ， ，求 ， 及 的值；
(2)当 时，求证：存在“好 集”，且“好 集”中不同元素的距离为5；
(3)求证：当 时，“好 集”不存在.
26．对于非空有限整数集X， ，定义 ，对 现有两个非空
有限整数集A，B，已知 且 ．
(1)当 时求集合B；
(2)证明： ；
(3)当 且 时，任取 构造函数 问：当a，b取何值时，
的最小值最小?
27．已知集合 ，任取 ，
，定义 ，其中 表示 ，
中的最大值，例如 ， .
(1)当 且 时，写出满足 的所有元素 ；
(2)设 ， 满足 ，求 的最大值和最小值；
(3)若 的子集 满足： ， 成立，求集合 中元素个数 的最大值.
28．设正整数 ，集合 ，对于集合 中的任意元素
和 ，及实数 ，定义：当且仅当 时 ；
； .若 的子集 满足：当且仅当时， ，则称 为 的完美子集.
(1)当 时，已知集合 ， .分别判断这两个集合
是否为 的完美子集，并说明理由；
(2)当 时，已知集合 .若 不是 的完美子集，求 的值；
(3)已知集合 ，其中 .若 对任意 都
成立，判断 是否一定为 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
29．已知A为有限个实数构成的非空集合，设 ， ，记集
合 和 其元素个数分别为 ， .设 .例如当 时，
， ， ，所以 .
(1)若 ，求 的值；
(2)设A是由3个正实数组成的集合且 ， ；，证明： 为定值；
(3)若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 ，设 ， .已
知 ， ，且对任意 ， ，求数列 的通项公式.
30．集合 称为三元有序数组集，对于 ， 互不相等，令
，其中 ， ．
(1)当 时，试求出 和 ；
(2)证明：对于任意的 中的三个数 至多有一个为0；(3)证明：存在 ．当 时，向量 满足 ．
31．已知集合 ， 表示集合 中的元素个数，当集合 的子集 满足 时，称
为集合 的二元子集. 若对集合 的任意 个不同的二元子集 ，均存在对应的集合 满足：①
；② ；③ ，则称集合 具有性质 .
(1)当 时，若集合 具有性质 ，请直接写出集合 的所有二元子集以及 的一个取值；
(2)当 时，判断集合 是否具有性质 ？并说明理由；
(3)当 时，若集合 具有性质 ，求 的最小值.
32．设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集 ， ，…， 满足：
① ， ，…， 均非空；
② ， ，…， 中任意两个集合交集为空集；
③ ．
则称 ， ，…， 为集合A的一个m阶分拆．
(1)若 ，写出集合A的所有2阶分拆（其中 ， 与 ， 为集合A的同一个2阶分拆）；
(2)若 ， ， 为A的2阶分拆，集合 所有元素的平均值为P，集合 所有元素的平均值
为Q，求 的最大值；
(3)设 ， ， 为正整数集合 （ ， ）的3阶分拆．若 ， ， 满足任取集
合A中的一个元素 构成 ，其中 ，且 与 中元素的和相等．求证：n为奇数．
