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“九省联考”新题型专项强化训练
集合中的新定义问题
新定义题目简介
题型特点
“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语
言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，
在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
解题策略
求解“新定义”题目，主要分如下几步：
（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似
点；
（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法
则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特
质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基
础差的考生也不要轻易放弃。
1．已知数集
具有性质P：对任意的k
，
，使得
成立．
(1)分别判断数集
与
是否具有性质P，并说明理由；
(2)若
，求A 中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A；
(3)求证：
．
【答案】(1)
不具有，
具有，理由见解析
1
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(2)75；
或
(3)证明见解析
【分析】（1）由
，所以数集
不具有性质P，同理根据集合性质P 的概念，可判断
具有性质P；
（2）由（1）结合数集的性质P 的概念，满足
，分类讨论，即可求得数集A；
（3）根据数集的性质P 的定义，可得
，所以
，满足
，累加即可证明
．
【详解】（1）因为
，所以数集
不具有性质P，
因为
，所以数集
具有性质P；
（2）由
，所以A 的元素都是整数，
构造
或
具有性质P，
此时元素和为75 且是最小值；
下面证明：
假设集合
满足
，
（存在性显然，因为满足
的数集
只有有限个）
第一步：首先说明集合
中至少有7 个元素，
因为集合
具有性质P：
对任意的k
，
，使得
成立，
2
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又
，
所以
，所以
，
所以
，
，
又
，
所以
，
所以
；
第二步：证明
，
若
，设
，
因为
，为了使
最小，
在集合
中一定不含有元素
，使得
，从而
，
假设
，根据性质P，对
，有
，使得
，
显然
，而
，
而此时集合
中至少还有4 个不同于
的元素，
从而
，矛盾；
所以
，进而
；
同理可证：
，
那么根据性质P，有
，使得
，
我们需要考虑如下几种情况：
3
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①
，此时集合中至少需要一个大于等于4 的元素
，才能得到8，
所以A 中所有元素的和大于76，
②
，此时集合中至少需要一个大于等于4 的元素
，才能得到7，
所以A 中所有元素的和大于76，
③假设
，同上，此时集合
的和最小，为75；
④当
，此时集合
的和最小，最小值为75；
所以A 中所有元素的和最小，最小值为75，
此时
或
；
（3）因为集合
具有性质P：
即对任意的
，使得
成立，
又因为
，
所以
，所以
，
所以
，
，
将上述不等式相加得：
，
所以
．
【点睛】关键点点睛：第二问采用枚举法即可证明，根据题设信息，不断的确定集合
中的具体元素，将
抽象问题具体化，从而证明出结论，过程中需用反证法证明猜想.
2．给定正整数
，设集合
．若对任意，
，
，
两数中至少有
一个属于
，则称集合
具有性质
．
(1)分别判断集合
与
是否具有性质
；
4
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(2)若集合
具有性质
，求
的值；
(3)若具有性质
的集合
中包含6 个元素，且
，求集合
．
【答案】(1)集合
不具有性质
，集合
具有性质
(2)
(3)
，
，
或
【分析】（1）根据性质
的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质
的定义，首先确定
，再讨论
是否属于集合
，即可确定
的取值，即
可求解；
（3）首先确定集合
中有0，并且有正数和负数，然后根据性质
讨论集合中元素的关系，即可求解.
【详解】（1）集合
中的
，
，
所以集合
不具有性质
，
集合
中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合
，所
以集合
具有性质
；
（2）若集合
具有性质
，记
，则
，
令
，则
，从而必有
，
不妨设
，则
，
且
，
令
，
，则
，且
，
且
，
以下分类讨论：
1）当
时，若
，此时，
满足性质
；
若
，舍；若
，无解；
5
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2）当
时，则
，注意
且
，可知
无解；
经检验
符合题意，
综上
；
（3）首先容易知道集合
中有0，有正数也有负数，
不妨设
，其中
，
，
根据题意
，
且
，从而
或
，
1）当
时，
，
并且
，
，
由上可得
，并且
，
综上可知
；
2）当
时，同理可得
，
据此，当
中有包含6 个元素，且
时，符合条件的集合
有5 个，
分别是
，
，
或
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质
的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
3．已知集合
中含有三个元素
，同时满足①
；②
；③
为偶数，那么称集合
具有性质
.已知集合
，对于集合
的非空子集
，若
中存在三个互不
相同的元素
，使得
均属于
，则称集合
是集合
的“期待子集”.
(1)试判断集合
是否具有性质
，并说明理由；
6
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(2)若集合
具有性质
，证明：集合
是集合
的“期待子集”；
(3)证明：集合
具有性质
的充要条件是集合
是集合
的“期待子集”.
【答案】(1)不具有，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；
（2）首先根据性质
，确定集合
，再根据“期待子集”的定义，确定集合
是集合
的“期待子集”；
（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的
，使得
均属于
证明满足性质
的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的
，再证明
均属于
，
即可证明.
【详解】（1）集合
不具有性质
，理由如下：
（i）从集合
中任取三个元素
均为奇数时，
为奇数，不满足条件③
（ii）从集合
中任取三个元素
有一个为
，另外两个为奇数时，不妨设
，
，
则有
，即
，不满足条件②，
综上所述，可得集合
不具有性质
.
（2）证明：由
是偶数，得实数
是奇数，
当
时，由
，得
，即
，不合题意，
当
时，由
，得
，即
，或
（舍），
因为
是偶数，所以集合
，
令
，解得
，
显然
，
所以集合
是集合
的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
7
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当集合
是集合
的“期待子集”时，存在三个互不相同的
，使得
均属于
，
不妨设
，令
，
，
，则
，即满足条件①，
因为
，所以
，即满足条件②，
因为
，所以
为偶数，即满足条件③，
所以当集合
是集合
的“期待子集”时，集合
具有性质
.
再证必要性：
当集合
具有性质
，则存在
，同时满足①
；②
；③
为偶数，
令
，
，
，则由条件①得
，
由条件②得
，
由条件③得
均为整数，
因为
，
所以
，且
均为整数，
所以
，
因为
，
所以
均属于
，
所以当集合
具有性质
时，集合
是集合
的“期待子集”.
综上所述，集合
是集合
的“期待子集”的充要条件是集合
具有性质
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质
”和“期待子集”的定义.
4．已知有
个连续正整数元素的有限集合
（
，
），记有序数对
，若对任意，
，
，
且
，A 同时满足下列条件，则称
为
元完备数对.
条件①：
；
条件②：
.
8
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(1)试判断是否存在3 元完备数对和4 元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8 元完备数对.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用
元完备数对的定义推理判断即得.
（2）令
，根据
元完备数对的定义确定
的所有可能情况，再导出矛盾即可.
【详解】（1）当
时，由
，得
，不符合题意，
所以不存在3 元完备数对；
当
时，当
，
，
，
时，
满足
且
，符合题意，
所以
为4 元完备数对.
（2）假设存在8 元完备数对，
当
时，令
，则
，且
，
则
有以下三种可能：①
；②
；③
当
时，于是
，即
，
由
，得
或
，
而
，则有
，
因此
，
，…，
，
分别为1，2，…，7，8 或2，3，…，8，1 或7，6，…，1，8 或8，7，…，2，
1，
9
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由
得
或
，与已知矛盾，则当
时，不存在8 元完备数对；
当
或
时，同理不存在8 元完备数对，
所以不存在8 元完备数对.
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的
其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
5．已知集合
，若
中元素的个数为
，且存在
，
使得
，则称
是
的
子集．
(1)若
，写出
的所有
子集；
(2)若
为
的
子集，且对任意的
，存在
，使得
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
子集的定义， 即可求解；
（2）取
，求得
，再利用反证法假设
，推得
，与
矛盾即可.
【详解】（1）当
时，
，所以
的所有
子集为：
.
（2）当
时，取
，因为
，所以
是
的
子集，此时
符合题意；
若
，设
且
，
根据题意，
，其中
，
10
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因为
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，与
矛盾，
综上所述，只有
满足题意.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论
时，利用反证法假设
，推得
，与
矛盾，
由此即可顺利得解.
6．给定正整数
，设集合
．对于集合
中的任意元素
和
，记
．设
，且集合
，对于
中任意元素
，若
则称
具有性质
．
(1)判断集合
是否具有性质
？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质
的集合
，并加以证明．
【答案】(1)
具有性质
，理由见解析；
(2)不存在，证明见解析.
【分析】（1）根据定义计算即可判定；
11
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（2）根据定义对
进行讨论，一一计算即可证明.
【详解】（1）对于集合
，
根据定义可知
，且
符合定义，
所以
具有性质
；
（2）假设存在
具有性质
，根据定义易知
中有4 个元素且
，
①若
，则
，没有4 个元素，不符题意舍去；
②若
，则
，
而
，不符题意舍去；
③若
，则
，
而
，
故
中至多包含3 个元素，不符题意舍去；
④若
，则
，
而
，不符题意舍去；
⑤若
，则
，没有4 个元素，不符题意舍去；
综上可知：不存在具有性质
的集合
.
【点睛】思路点睛：第二问需要根据定义得出
，从而分五种情况进行讨论，讨论时依次得
出集合
的可能情况结合定义验证判定即可.
7．已知集合
，其中
且
，非空集合
，记
为集合
12
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B 中所有元素之和，并规定当
中只有一个元素
时，
．
(1)若
，写出所有可能的集合B；
(2)若
，且
是12 的倍数，求集合B 的个数；
(3)若
，证明：存在非空集合
，使得
是
的倍数．
【答案】(1)
，
，
，
(2)4
(3)证明见详解
【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的
；对（3），分情况讨论，寻找使
是
倍
数的集合
.
【详解】（1）所有可能的集合
为：
，
，
，
.
（2）不妨设：
，由于
，且
，
所以
.
由题意，
是12 的倍数时，
或
.
当
时，因为
，
所以当且仅当
时，
成立，故
符合题意.
当
时，
若
，则
，故
或
符合题意；
若
，则
，故
符合题意；
若
，则
，无解.
13
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综上，所有可能的集合
为
，
，
，
.
故满足条件的集合
的个数为
.
（3）（1）当
时，设
，则
，
这
个数取
个值，故其中有两个数相等.
又因为
，于是
，
从而
互不相等，
互不相等，
所以存在
，
使得
.
又因
，
故
.
则
，则
，结论成立.
（2）当
时，不妨设
，
则
（
），在这
个数中任取3 个数，
.
若
与
都是
的倍数，
，
这与
矛盾.
则
至少有2 个数，它们之差不是
的倍数，不妨设
不是
的倍数.
考虑这
个数：
，
，
，
，
，
.
①若这
个数除以
的余数两两不同，则其中必有一个是
的倍数，又
，
且均不为
，
故存在
，使得
.
若
为偶数，取
，则
，结论成立；
14
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若
为奇数，取
，则
，结论成立.
②若这
个数除以
的余数中有两个相同，则它们之差是
的倍数，又
，
均不是
的倍数，
故存在
，使得
.
若
为偶数，取
，则
，结论成立；
若
为奇数，取
，则
，结论成立.
综上，存在非空集合
，使得
是
的倍数.
【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合
，使得
是
的倍数是问题的关键.
8．设正整数
，若由实数组成的集合
满足如下性质，则称
为
集合：对
中任意
四个不同的元素
，均有
.
(1)判断集合
和
是否为
集合，说明理由；
(2)若集合
为
集合，求
中大于1 的元素的可能个数；
(3)若集合
为
集合，求证：
中元素不能全为正实数.
【答案】(1)
是
集合，
不是
集合；
(2)
中大于1 的元素的可能个数为
.
(3)见解析
【分析】（1）由
集合的定义即可得出答案；
（2）由题意可得
，不妨设
，分类讨论
，
，
和
结合集合的性质即可得出答案；
15
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（3）根据已知新定义，分类讨论、反证法进行求解、证明.
【详解】（1）集合
是
集合，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
集合
不是
集合，
取
，则
，不满足题中性质.
（2）当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
不妨设
，
①若
，因为
，从而
，与
矛盾；
②若
，因为
，故
，
所以
.
经验证，此时
是
集合，元素大于1 的个数为；
③若
，因为
，所以与
矛盾；
④若
，因为
，故
，
16
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所以
.
经验证，此时
是
集合，元素大于1 的个数为；
综上：
中大于1 的元素的可能个数为
.
（3）假设集合
中全为正实数.
若
中至少两个正实数大于，设
，则
，
取
，则
，
而
，从而
，矛盾；
因此
中至多有1 个正实数大于.
当
时，设
，
若
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
由于
，
，
所以
，
所以
.
因为
，
所以
17
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，矛盾.
因此当
时，
.
当
时，集合
中至少有4 个不同的正实数不大于，
设
，
因为是有限集，设
，其中
.
又因为集合
中至少有4 个不同的正实数不大于，
所以
，且存在
，且
使
互不相同，
则
，
当
时，
，
当
时，
，
于是
，
与
矛盾.
因此，
中元素不能全为正实数.
【点睛】思路点睛：对于与集合有关的新定义问题，注意根据定义检验，另外在问题解决的过程中，注意
局部性质与整体性质的关系，注意利用已有的结果来解决后面的问题.
9．设
，若非空集合A，B，C 同时满足以下4 个条件，则称A，B，C 是“
无和划分”：
①
；
②
，
，
；
③
，且C 中的最小元素大于B 中的最小元素；
④
，
，
，必有
，
，
.
(1)若
，
，
，判断A，B，C 是否是“
无和划分”，并说明理由.
(2)已知A，B，C 是“
无和划分”（
）.
18
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（i）证明：对于任意m，
，都有
；
（ii）若存在i，
，使得
，记
.证明：Ω 中的所有奇数都属于A.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）可取
，
，
从而可求解.
（2）（i）利用假设法存在
，
，使得
，根据题意证得假设不成立，从而求解；
（ii）利用
，
，
是“
无和划分”，分别设出存在
且
，且最小值设为
，然后分类讨论
不同的
情况，从而可求解.
【详解】（1）不是.
取
，
，则
，说明A，B，C 不是“
无和划分”.
（2）（i）假设存在
，
，使得
，记
的最小值为
，
则
，
；
设
中最小的元素为
，则
，所以
，
所以
，
（否则与
，
，
矛盾），
（否则与
，
矛盾），所以
，
因为
，所以
，
不同属于C.
所以
，这与
矛盾.
所以假设不成立，原命题成立.
（ii）因为A，B，C 是“
无和划分”，且存在，
，使得
，记的最小值为
，所以
，
19
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；
由（1）知
，
，
，
，
因为
，所以
，
，所以
，
设
中最小的元素为
，若
，则
，所以
，
所以
，
（否则与
，
，
矛盾），
所以
（否则
与
，
矛盾），
所以
，又因为
和
不同属于C，所以
，
这与
，
矛盾，所以
，即
.
所以
，所以
.
所以
，
，所以
（否则与
，
矛盾），所以
.
若
，则与
和
矛盾，所以
，所以
，
（否则与
，
矛盾），
（否则与
，
矛盾），所以
.
以此类推，对于任意奇数
，都有
，
.
所以
为偶数（否则，
，与
和
矛盾），
所以
，
均为奇数.
因为
，所以
（否则与
，
矛盾），所以
，
所以
，所以
（否则与
，
矛盾），所以
，
以此类推，对于任意大于
，小于或等于n 的奇数都属于集合
.
20
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综上所述，
中的所有奇数都属于集合
.
【点睛】方法点睛：根据题意对“
无和划分”的定义，分别设出集合
中最小值记为
，然后分别讨
论
时对应的情况，从而可求解证明.
10．对于函数
，记所有满足
，都有
的函数构成集合
；所有满足
，都有
的函数构成集合
.
(1)分别判断下列函数是否为集合
中的元素，并说明理由，
①
；②
；
(2)若
（
）是集合
中的元素，求
的最小值；
(3)若
，求证：
是
的充分不必要条件.
【答案】(1)答案见解析
(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）判断①时，取
结合定义进行分析；判断②时，根据
的结果进行分
析；
（2）分别考虑：
，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出
时
，
时
，由此可确定出
的最小值；
（3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取
，然后分析
在
上的单调性，由
此推出矛盾完成证明.
【详解】（1）①不是.
当
时，
，
21
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，
所以
不是集合
中的元素；
②是.
，
，
所以
是集合
中的元素.
（2）当
时，
，
，
，
因为
，
在
上单调递减，
故
成立，即
；
若
，令
，
，
，
因为
，
在
上单调递减，
所以
，因此
，
综上所述，
的最小值为1.
（3）充分性：因为
，所以
，
，
，进而
，
同理
，相加得
，即
，所以充分性满足；
必要性：设
，
，
，
所以
，此时
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，因此
，所以必要性不满足；
22
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综上所述，
是
的充分不必要条件.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，涉及参数范围求解、充分不必要条件的证明等问题，
对学生的分析与推理能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键：证明充分性时，通过将
和
加起来，以此证明
；证明必要性时，构造
并分析
的
单调性是证明的关键.
11．设整数集合
，其中
，且对于任意
，若
，则
．
(1)请写出一个满足条件的集合A；
(2)证明：任意
，
．
【答案】(1)
（答案不唯一）
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可设
，满足条件即可得解；
（2）根据满足任意
，要证
的形式，考虑反证法即可证明.
【详解】（1）令
，满足
，
当
时，若满足
，则
成立，
即可写出一个满足条件的集合
.
（2）假设存在一个
使得
，
令
，其中
且
，
由题意，得
，
由
为正整数，得
，这与
为集合
中的最大元素矛盾，
所以任意
，
．
23
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【点睛】关键点点睛：利用反证法证明第二问，假设存在一个
使得
，首先把
拆成
是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且
最大是解题的另外一个关键点.
12．集合
是由
个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就
称集合
为“可分集合”．
(1)判断集合
、
是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合
一定不是“可分集合”；
(3)若集合
是“可分集合”，证明
是奇数．
【答案】(1)
不是“可分集合”，
为“可分集合”
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由“可分集合”的定义判断；
（2）不妨设
，讨论当在集合
中去掉元素
、
后，将剩余元素构成的
集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立；
（3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.
【详解】（1）解：对于
，去掉后，
不满足题中条件，故
不是“可分集合”，
对于
，集合
所有元素之和为
.
当去掉元素时，剩下的元素之和为
，剩下元素可以组合
、
这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为
，剩下元素可以组合
、
这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为
，剩下元素可以组合
、
这两个集合，显然符合题意；
24
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当去掉元素时，剩下的元素之和为
，剩下元素可以组合
、
这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为
，剩下元素可以组合
、
这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素
时，剩下的元素之和为
，剩下元素可以组合
、
这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素
时，剩下的元素之和为
，剩下元素可以组合
、
这两个集合，显然符合题意.
综上所述，集合
是“可分集合”.
（2）证明：不妨设
，
若去掉元素
，将集合
分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有
①，或者
②，
若去掉元素
，将集合
分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有
③，或者
④，
由①③得
，矛盾，由①④得
，矛盾，
由②③得
矛盾，由②④得
矛盾，
故当
时，集合
一定不是“可分集合”．
（3）设
中所有元素之和为
，由题意得
均为偶数，
故
的奇偶性相同，
①若
为奇数，则
为奇数，易得
为奇数，
②若
为偶数，此时取
，可得
仍满足题中条件，集合
也是“可分集合”，
若
仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知
为奇数
综上，集合
中元素个数为奇数.
【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然
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后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性.
13．对于正整数
，定义
．对于任意的
，称
为
的第个分量，称是
的一个“协同子集”．如果同时满足：①的
元素个数不少于
；②对于任何
、
、
，存在
，使得
、
、
的第
个分量都是．
(1)对于
，若是
的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是
和
，直
接写出另外两个元素；
(2)证明：若是
的一个“协同子集”，则的元素个数不超过
；
(3)证明：若是
的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是
，则存在唯一的
，使得
中所有元素的第
个分量都是．
【答案】(1)
、
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素；
（2）若为
的一个“协同子集”，考虑元素
，进行判断证明即可；
（3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为
和
，这两个元素第个分量都是，
故中另外两个元素分别为
、
.
（2）解：对于
，考虑元素
；
显然
，
、
、
，对于任意的
，
、
、
不可能都为，
可得
、
不可能都在“协同子集” 中．
又因为取定
，则
一定存在且唯一，而且
，
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由
的定义知道，
，
，
，
这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合
中元素个数的一半，而集合
中元素的个数为
，所
以中元素个数不超过
．
（3）证明：
，
，
定义元素
、
的乘积为
，显然
．
我们证明“对任意的
，
都有
.”
假设存在
、
使得
，
则由（2）知，
．
此时，对于任意的
，
、
、
不可能同时为，矛盾，所以
．
因为中只有
个元素，我们记
为中所有元素的乘积，
根据上面的结论，我们知道
，
显然这个元素的分量不能都为，不妨设
，
根据
的定义
，可以知道中所有元素的第
个分量都为．
下面再证明
的唯一性：
若还有
，即中所有元素的第个分量都为，
此时由（2）可知集合中元素个数至多为
个，矛盾．
所以结论成立．
【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法：
（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的
解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
（2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基
础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子
集”的性质．
14．定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
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定义2：集合
上的一个拓扑（topology）乃是
的子集为元素的一个族
，它满足以下条件：（1）
和
在
中；（2）
的任意子集的元素的并在
中；（3）
的任意有限子集的元素的交在
中.
(1)族
，族
，判断族
与族
是否为集合
的拓扑；
(2)设有限集
为全集
（i）证明：
；
（ii）族
为集合
上的一个拓扑，证明：由族
所有元素的补集构成的族
为集合
上的一个拓扑.
【答案】(1)都是集合
的拓扑
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据集合
的拓扑定义判断即可；
（2）（i）根据集合
的拓扑定义证明充要性即可；
（ii）结合（i）的结论，根据集合
的拓扑定义证明.
【详解】（1）族
，
都是集合
的拓扑.
（2）（i）设
，则
，
故存在整数
使
，因此
，得
.
设
，则存在整数
使
，故
，
因此
，得
（ii）因为
，
，所以
，
；
设
为
的任意子集，则
，
，
因为
，故
；
，
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因为
，故
.
【点睛】方法点睛：解决集合创新型问题的方法：（1）紧扣定义，首项分析新定义的特点，把新定义所
叙述的问题本质弄清楚，并能够运用到具体的解题过程中；（2）用好集合性质，集合性质时破解新定义
型集合问题的基础，也是突破口，在关键之处用好集合的性质.
15．已知集合
，对于集合
的非空子集
，若
中存在三个互不相同的元
素
，使得
均属于
，则称集合
是集合
的“期待子集”.
(1)试判断集合
是否为集合
的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素
，同时满足①
，②
，③
为偶数.那么称该集
合具有性质
.对于集合
的非空子集
，证明：集合
是集合
的“期待子集”的充要条件是集合
具
有性质
.
【答案】(1)
是集合
的“期待子集”，
不是集合
的“期待子集”
(2)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质
的定义证明即可；
【详解】（1）因为
，
对于集合
，令
，解得
，显然
，
，
所以
是集合
的“期待子集”；
对于集合
，令
，则
，
因为
，即
，故矛盾，所以
不是集合
的“期待子集”
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（2）先证明必要性：
当集合
是集合
的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的
，使得
，
不妨设
，令
，
，
，则
，即条件
中的①成立；
又
，所以
，即条件
中的②成立；
因为
，
所以
为偶数，即条件
中的③成立；
所以集合
满足条件
.
再证明充分性：
当集合
满足条件
时，有存在
，满足①
，②
，③
为偶数，
记
，
，
，
由③得
，由①得
，由②得
，
所以
，
因为
，
，
，所以
，
，
均属于
，
即集合
是集合
的“期待子集”
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的
其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
16．对任意正整数n，记集合
，
．
，
，若对
任意
都有
，则记
．
(1)写出集合
和
；
(2)证明：对任意
，存在
，使得
；
(3)设集合
．求证：
中的元素个数是完全平方数．
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【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据集合
与
的定义，写出集合
和
即可；
（2）任取
，令
，只需证明
，即可证明结论成立；
（3）通过集合
、
、
的定义，说明满足条件的解对
与方程
的两解组成对
是一一对应的关系.进而证明
中的元素个数是
完全平方数.
【详解】（1）
，
（2）任取
，令
，则
，
同时
，
且
，
则
，所以对任意
，存在
，使得
；
（3）设方程：
①，
②
是方程①的解，
是方程②的解；
若
，
，
，
即
是一个满足条件的解对，
令
（
，2，…，n），则
，
则（
，
，…，
）是方程①的解，
即当
是满足条件的解对时，
31
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是方程①的一对解对；
反之
是方程①的解时，
令
，则
是满足条件的解对．
即满足条件的解对
与方程①的两解组成对
是一一对应的关系．
所以满足条件解对个数
，即
中的元素个数是完全平方数．
17．已知集合
，集合
，且满足，
，
与
恰有一个成立.对于
定义
，
以及
，其中
.
例如
.
(1)若
，
，求
的值及
的最大值；
(2)从
中任意删去两个数，记剩下的数的和为
，求
的最小值（用
表示）；
(3)对于满足
的每一个集合
，集合中是否都存在三个不同的元素，
，
，使
得
恒成立？请说明理由.
【答案】(1)1，2
(2)
(3)存在，理由见解析
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【分析】（1）表示出
和
，求
的值及
的最大值；
（2）由
的定义求删去的两个数后剩下的数和的范围，结合
的定义．列不等式并判断等号成
立，可得出结论；
（3）
的定义可知：
，可找到三个不同的元素，
，
，使得
.
【详解】（1）
，
，
，
，
所以
；
，
，
，
最大，则
，，所以
最大值为
.
（2）设
中的最大值为
，由定义，
，
若存在
，
，
则
，
，
，
，进而
，
，矛盾.
于是除
外，剩余的
由定义，
中恰有
个元素，
，
设删去的两个数为
，
，则
，
构造
，删去
，
，恰好取得等号.
所以
的最小值为
.
（3）结论：集合中存在满足条件的三个不同的元素，
，
，证明如下：
33
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设
，
中的一个最大值为
，由
得
于是
，
，进而
考虑
，
由于
，
，而
于是一定存在不同于
，
的，使得
，
进而
，于是
，
取
，
，
即可.
【点睛】方法点睛：
集合新定义问题，要紧紧围绕新定义的概念和运算法则，对问题进行分析整理后求解.
18．已知正整数集合
,对任意
，定义
.若存在正整数
，使得对任意
，都有
,则称集合具有性
质
.记
是集合中的
最大值.
(1)判断集合
和集合
是否具有性质
，直接写出结论；
(2)若集合具有性质
，求证：
；
(3)若集合具有性质
，求
的最大值.
【答案】(1)集合
具有性质
；集合
不具有性质
；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据定义直接判断得到答案.
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（2）确定
，变换
，计算得到证明.
（3）确定
，得到
，确定
，再根据均值不等式计算最值得到答案.
【详解】（1）
，则
；
；
，
故集合
具有性质
；
，故
，
故集合
不具有性质
；
（2）
，
故
，故
，即
，
集合具有性质
，故
，
.
（3）集合具有性质
，则
，
，
，
，
，
故
，
又
，故
，即
，
，
，
当
为偶数时当且仅当
，即
时等号成立，
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当
为奇数时等号不成立，
，故
，即
，
故
，
综上所述：
，故
的最大值为
.
【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其
中根据集合中元素的大小关系，确定
，再利用绝对值的性质计算是解题的关键.
19．已知集合
具有性质
：对任意
且
，
与
至少一个属于
．
(1)分别判断集合
与
是否具有性质
，并说明理由；
(2)
具有性质
，当
时，求集合
；
(3)记
，求
．
【答案】(1)集合
具有性质
，集合
不具有性质
(2)
(3)
【分析】（1）由性质
定义判断即可；
（2）由定义知
，
，可得
，再由
，
，可分析出
，
即可得解；
（3）由
得
，再由
，可得
，
，即可得到
，
，
，
，
，累加即可
36
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得到
的值，进而代入求解即可得答案.
【详解】（1）集合
中，因为
，
，
，
，
，
，
，
所以集合
具有性质
；
集合
中，因为
，
，所以集合
不具有性质
；
（2）因为
，且
具有性质
，
由于
，所以
，
则
，所以
，
又因为
，所以
，则
，
由集合的互异性可知，
，而
，所以
，
故集合
；
（3）因为
具有性质
，
所以
，则
，所以
，
又因为
，所以
，
又因为
，所以
，则
，
所以
，
，
，
，
，
所以
，
即
，
所以
，
37
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故
.
【点睛】方法点睛：集合新定义问题的处理方法：
①找：要抓住新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，然后找出要素分别是什么；
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素；
④解：结合数学知识进行解答.
20．已知集合
为非空数集，定义：
，
（实数a，b 可以
相同）
(1)若集合
，直接写出集合S、T；
(2)若集合
，
，且
，求证：
；
(3)若集合
，
，记
为集合
中元素的个数，求
的最大值．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析
(3)1348
【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T 即可;
（2）根据集合相等的概念，证明即可；
（3）通过假设集合
，求出对应的集合S，T，通过
，建立不
等式关系，求出对应的值即可.
【详解】（1）因为集合
，
，
，
所以由
，可得
，
，可得
．
（2）由于集合
，
，
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则T 集合的元素在0，
，
，
，
，
，
中，
且
，
，
而
，故
中最大元素
必在
中，而
为7 个元素中的最大者，
故
即
，故
，
故
中的4 个元素为0，
，
，
，
且
，
，
与
，
，
重复，
而
，故
即
，
而
，故
，故
或
，
若
，则
，
，与题设矛盾；
故
即
.
（3）设
满足题意，其中
，
则
，
∴
，
，∴
，
∵
，由容斥原理
，
中最小的元素为0，最大的元素为
，
，
∴
，即
，∴
．
实际上当
时满足题意，
证明如下：设
，
，
39
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则
，
，
依题意有
，即
，
故m 的最小值为674，于是当
时，A 中元素最多，
即
时满足题意，
综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1348．
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但
是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，
以不变应万变才是制胜法宝.
21．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，
定义
且
，将
称为“A 与B 的笛卡尔积”
(1)若
，
，求
和
；
(2)试证明：“
”是“
”的充要条件；
(3)若集合
是有限集，将集合
的元素个数记为
.已知
，且存在实数
满足
对任意
恒成立.求
的取值范围，并指明当
取到最值时
和
满足的关
系式及
应满足的条件.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）根据
的定义直接运算求解；
（2）根据
的定义结合充分必要条件分析证明；
（3）设
，则
，
，结合基本不等式求
的
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取值范围，并结合根式分析求解.
【详解】（1）由题意可得：
，
.
（2）若
，设
，
由定义可知：
且
，
所以“
”是“
”的必要条件；
若
，对任意
，均有
，
即对任意
，均有
，
由任意性可知
，则
，
所以“
”是“
”的充分条件；
综上所述：“
”是“
”的充要条件.
（3）设
，
则
，
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以实数
的取值范围
.
若
取到最大值，则
，即
，
可得
，即
，
41
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所以
.
22．设M 是由复数组成的集合，对M 的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A 的所有数在复平面
上对应的点都在圆内或圆周上，且
中的数对应的点都在圆外，则称A 是一个M 的“可分离子集”．
(1)判断
是否是
的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z 满足
，其中
分别表示z 的实部和虚部．证明：
是
的“可分离子集”当且仅当
．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取复平面上的圆
，得到复数1，2，3 在复平面上对应的点都在圆内，复数i 在
复平面上对应的点在圆外，得到结论；
（2）先证明必要性，令复数
，取复平面上的圆
，得到
是
的“可分离子集”；再证明充分性，只需证当
时，
不是
的“可分离子集”，
得到结论.
【详解】（1）是，理由如下：
取复平面上的圆
，
则复数1，2，3 在复平面上对应的点都在圆内．
而
，
故复数i 在复平面上对应的点在圆外．
因此，
是
的“可分离子集”．
（2）必要性：当
时，令复数
，
取复平面上的圆
，
则
在复平面上对应的点在圆周上，
42
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又
，
故1 在复平面上对应的点在圆外．
由
，
，
知
．
故
在复平面上对应的点在圆外．
因此，当
时，
是
的“可分离子集”．
充分性：只需证当
时，
不是
的“可分离子集”．
假设存在复平面上的一个圆，使得
在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，
在复平面上对应的
点在圆外．
设圆心表示的复数为
．再设
．
由
知
，
故
．
由
知
，
故
．
进而
，
，
由
知
，
故
，
进而
．
这与
矛盾，故所假设的圆在复平面上不存在．
即当
时，
不是
的“可分离子集”，充分性证毕，
43
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综上，
是
的“可分离子集”当且仅当
.
【点睛】集合新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
23．已知
为有穷正整数数列，且
，集合
．若存在
，使得
，则称为
可表数，称集合
为
可表集．
(1)若
，判定31，1024 是否为
可表数，并说明理由；
(2)若
，证明：
；
(3)设
，若
，求
的最小值．
【答案】(1)31 是
可表数，1024 不是
可表数，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)8
【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；
（2）根据定义判定
则有
，从而可知
，利用集合间的基本关系得出
中最
多含有
个元素，解不等式即可证明；
（3）利用第二问的结论可设
，有
，然后利用定义先证
为
可表数，
44
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再根据三进制的基本事实确定
的最小值为满足
成立的
，代入
求
即可.
【详解】（1）31 是，1024 不是，理由如下：
由题意可知
，
当
时，有
，
显然若
时，
，
而
，
故31 是
可表数，1024 不是
可表数；
（2）由题意可知若
，即
，
设
，即
使得
，
所以
，且
成立，故
，
所以若
，则
，
即
中的元素个数不能超过
中的元素，
对于确定的
，
中最多有
个元素，
所以
；
（3）由题意可设
，使
，
又
，
所以
，即
，
而
，
即当
时，取
时，
为
可表数，
因为
，
45
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由三进制的基本事实可知，对任意的
，存在
，
使
，
所以
，
令
，则有
，
设
，
由
的任意性，对任意的
，
都有
，
又因为
，所以对于任意的
，为
可表数，
综上，可知
的最小值为
，其中
满足
，
又当
时，
，
所以
的最小值为.
【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定
中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元
素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设
，有
，利用定
义先证
为
可表数，再根据三进制的基本事实设任意的
，存在
，
使
，得出
并结合定义确定为
可表数，从而确定
的最小值为
满足
成立的
，代入
求
即可.
46
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24．设数阵
，其中
．设
，其中
且
．定义变换
为“对于数阵的每一行，若其中有
或
，则将这一行中每个
数都乘以
；若其中没有
且没有
，则这一行中所有数均保持不变”
表示“将
经过
变换得到
，再将
经过
变换得到
以此类推，最后将
经过
变换得到
．记数阵
中四个数的和为
．
(1)若
，写出
经过
变换后得到的数阵
，并求
的值；
(2)若
，求
的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵
，证明：
的所有可能取值的和不超过
．
【答案】(1)
，
(2)0
(3)证明见解析
【分析】（1）由
，
，求出数阵
经过
变化后的矩阵，进而可求得
的值；
（2）分情况讨论，结合题意分析求解；
（3）分
和
两种情况讨论，推导出变换后数阵
的第一行和第二行的数字之和，由此能证
明
的所有可能取值的和不超过
．
47
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【详解】（1）因为
，
经过
变换后得到的数阵
，
经过
变换后得到的数阵
，
所以
.
（2）若
，则
，可得
；
若
，则
，可得
；
若
，则
，可得
；
若
其中一个为3，另外两个属于
，则
，
可得
；
若
，则
，可得
；
若
，
其中一个为3，另外一个属于
，
则
，可得
；
若
，
其中一个为3，另外一个属于
，
则
，可得
；
若
，则
，可得
；
48
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综上所述：
的所有可能取值的和为
.
（3）若
，在
的所有非空子集中，含有
且不含
的子集共
个，经过变换后第一行
均变为
、
；
含有
且不含
的子集共
个，经过变换后第一行均变为
、
；
同时含有
和
的子集共
个，经过变换后第一行仍为
、
；
不含
也不含
的子集共
个，经过变换后第一行仍为
、
．
所以经过变换后所有
的第一行的所有数的和为
.
若
，则
的所有非空子集中，含有
的子集共
个，经过变换后第一行均变为
、
；
不含有
的子集共
个，经过变换后第一行仍为
、
．
所以经过变换后所有
的第一行的所有数的和为
．
同理，经过变换后所有
的第二行的所有数的和为
．
所以
的所有可能取值的和为
，
又因为
、
、
、
，所以
的所有可能取值的和不超过
．
【点睛】方法点睛：从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法
作出判断，因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义，再运用新定义解决问题，然后
得出结论,
25．已知
为所有
元有序数组
所组成的集合.其中
（
）.
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对于
中的任意元素
，
定义
，
的距离：
若
，
为
的子集，且有
个元素，并且满足任意
，都存在唯一的
，使得
，
则称
为“好
集”.
(1)若
，
，
，
，
，
，求
，
及
的值；
(2)当
时，求证：存在“好
集”，且“好
集”中不同元素的距离为5；
(3)求证：当
时，“好
集”不存在.
【答案】(1)
，
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意直接代入运算求解；
（2）对任意
，定义
，可得
，
结合“好
集”的定义分析证明；
（3）先证对于任意
，可知均存在
，使得
，对
的以
为基础，结合定义分析证明.
【详解】（1）因为
，
，
，
则
，
，
，
，
所以
.
（2）对任意
，定义
，
对任意
，
因为
，则
，
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可得
，
对于任意
，可得
有2 个元素，
若
，则
，满足“好
集”的定义；
若
，则
，满足“好
集”的定义；
综上所述：
为“好
集”，且
，
即当
时，存在“好
集”，且“好
集”中不同元素的距离为5.
（3）显然
，
先证：当
时，对任意的
，含有
的“好
集”只能是
，
反证：假设存在“好
集”
，
则对于任意
，可得
，
则
，可得
，不满足“好
集”的定义，
例如
，则
，可取
，
则
，即存在
，使得
，
结合
可得：
就相当于对0，1 的顺序进行重组，
对于任意
，可知均存在
，使得
，
当
时，对任意
，
定义
，其中
，
可知：对任意
，其中
，
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可知
，
反证：假设存在“好
集”，
则对任意
，以
为基础构建“好
集”
，
对任意
，
对任意的
，均有
，与之对应的项只能是
和
，
每个
均有2 种选择，共有
种组合可能，
按照以上构建方法得到的元素
，
可知对任意
，均存在
，使得
，
，
所以必然存在
，
使得
，
故假设不成立，所以当
时，“好
集”不存在.
【点睛】关键点睛：新定义问题要充分理解定义，可以通过举例和推理去理解定义，对于本题可以利用反
证法来分析证明.
26．对于非空有限整数集X，
，定义
，对
现有两个非空
有限整数集A，B，已知
且
．
(1)当
时求集合B；
(2)证明：
；
(3)当
且
时，任取
构造函数
问：当a，b 取何值时，
的最小值最小?
52
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【答案】(1)
为
，
，
，
.
(2)证明见详解
(3)当
时
的最小值为
【分析】（1）
,
可得
可能为
，然后逐一讨论检验即
可；
（2）由集合的新定义，逐一取值迭代，由集合的有限性进行检验取舍；
（3）由
可知，
中元素，必为
的解，进而可得
，接着可得
，再求出
最小值，即可得到a，b 取何值时，
的最小值最小.
【详解】（1）
因为
,
，所以
可能为
，
当
时
，不满足非空，不合题意；
当
时
，所以
，
，
当
时
，所以
，
，
当
时
，所以
，
,
,
,
,
,
,
,
又
，可得
为
，
，
，
.
（2）设
,因为
，所以
，
又
，所以
，
取
则
，
，
，
无限迭代，而
为有限集，不合题意，舍去；即
53
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取
则
，
，
可得
集合可为
；
取
则
，
，
，
可得
集合可为
；
取
则
，又
所以
取
则
，
，
，
可得
集合可为
，
取
则
，
，
，
无限迭代，而
为有限集，不合题意，舍去；即
同理当
或
,且
时不符合
为有限集，舍去；
故由上可得
集合可为
，
，
，
所以
，
（3）当
且
时
设
,则
，
时
，不为整数，不合题意；
时
，不为整数，不合题意；
所以
，又
则
，
任取
构造函数
54
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所以
，
又
，
，
即当
时
的最小值为
.
【点睛】方法点睛：从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，整体进行迁
移运用.
27．已知集合
，任取
，
，定义
，其中
表示
，
中的最大值，例如
，
.
(1)当
且
时，写出满足
的所有元素
；
(2)设
，
满足
，求
的最大值和最小值；
(3)若
的子集满足：
，
成立，求集合中元素个数
的最大值.
【答案】(1)
或
(2)
的最大值为
，
当
为偶数时，
的最小值为
，当
为奇数时，
的最小值为
.
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(3)
【分析】（1）可以先列出所有可能情况，再按照定义式逐个判断是否满足题意；
（2）对
分奇偶性讨论即可；
（3）用反证法说明仅有两种情况满足题意，从而得出结论.
【详解】（1）因为
，
且
，
所以满足
的所有元素
或
；
（2）因为
，
所以
，
，
因为
，
所以
中有
个量的值为 1，
个量的值为 0.
于是
，
而
，
满足题意，此时
取得最大值
，
当
为偶数时，
当
时，则有
个元素均为1、另
个元素均为0，于是
取得最小值
，
这是因为若
，则
至少有一个元素不同，于是
；
当
为奇数时，
中为1 的元素个数不同，于是
，
当
只有一个元素不同时，则
取得最小值
，
这是因为若
至少有两个元素不同，
；
综上：
的最大值为
，
当
为偶数时，
的最小值为
，当
为奇数时，
的最小值为
.
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（3）
，
则
，中满足
的元素至多有一个，
否则中满足第个分量等于0 的元素存在两个，即有
，
，
，
则
，
，与已知矛盾；
故中可能有的元素分为以下两种情况：
（1）每个分量都是1 的，至多存在1 个，
（2）某个分量是0 的至多各有1 个，总计
个，
所以，
，
当
或
时，满足题意且
.
故所求最大值为
.
28．设正整数
，集合
，对于集合
中的任意元素
和
，及实数
，定义：当且仅当
时
；
；
.若
的子集
满足：当且仅当
时，
，则称
为
的完美子集.
(1)当
时，已知集合
，
.分别判断这两个集合
是否为
的完美子集，并说明理由；
(2)当
时，已知集合
.若
不是
的完美子集，求
的值；
(3)已知集合
，其中
.若
对任意
都
成立，判断
是否一定为
的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
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【答案】(1)
是
的完美子集，
不是
的完美子集
(2)
(3)
一定为
的完美子集，理由见解析
【分析】（1）根据完美子集得定义，设
，列出方程组求得
即可判断；
（2）由题意存在
，使得
，列出方程组，解方程组求出
的值
即可求解；
（3）假设存在不全为的实数
满足
，不妨设
，则
，
由
结合已知条件即可得出结论.
【详解】（1）
，
即
，
所以
，
所以
，
所以
是
的完美子集，
，
即
，
所以
，
58
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所以
，解得
，
所以
不是
的完美子集；
（2）由
得
，
则
，
因为
不是
的完美子集，
所以存在
，使得
，
即
，
由集合的互异性可得
且
且
，
所以
且
，
由
，得
，
所以
，
，
所以
，
即
，
所以
，所以
或
，
59
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当
时，
，解得
，
所以存在
，使得
，
当
时，因为
，所以
，不符题意，
所以
；
（3）
一定为
的完美子集，
假设存在不全为的实数
满足
，
不妨设
，则
，否则与假设矛盾，
由
，其中
，
得
，则
，
所以
，
这与
，即
矛盾，
所以假设不成立，
所以
，所以
，
所以
一定为
的完美子集.
【点睛】关键点点睛：求解集合新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用
化归和转化思想，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的问题求解.
29．已知A 为有限个实数构成的非空集合，设
，
，记集
合
和
其元素个数分别为
，
.设
.例如当
时，
60
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，
，
，所以
.
(1)若
，求
的值；
(2)设A 是由3 个正实数组成的集合且
，
；，证明：
为定值；
(3)若
是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意
，设
，
.已
知
，
，且对任意
，
，求数列
的通项公式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题中的定义，列举出
，
即可；
（2）先列举
，
，
，
中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可；
（3）类比（1）（2）当数列由
到
，为保证
成立，则必有
其成等差数列，故猜想
，可用数学归纳法给予证明.
【详解】（1）当
时，
，
，
，所以
；
（2）设
，其中
，
则
，
，
因
，
61
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，
因
，
所以
，
，
，
，
又
，
，
，
所以
，
因
，
，
，
，
，
因
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
所以
所以
为定值；
（3）
，
若
，
则
，
,
故
，
，
62
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此时
，不符合题意，
故
，
猜想
，下面给予证明，
当
时，显然成立，
假设当
，
时，都有
成立，即
，
此时
，
，
故
，
，
，符合题意，
，
则
，
，
若
，
的元素个数小于
的元素个数，
则有
，
不符合题意，故
，
综上，对于任意的
，都有
，
故数列
的通项公式
.
【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到
集合的元素个数.
63
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30．集合
称为三元有序数组集，对于
，
互不相等，令
，其中
，
．
(1)当
时，试求出
和
；
(2)证明：对于任意的
中的三个数
至多有一个为0；
(3)证明：存在
．当
时，向量
满足
．
【答案】(1)
；
.
(2)证明见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）计算出
得到其周期为3，而
，最后即可得到
；
（2）假设存在,取第一次出现至少两个0 的位置
,则
，设
且
，则推理出
，解出
，则
,矛盾，与假设矛盾，即证明；
（3）设
三个数中最大的为
,记作
,通过（2）中结论排除若
单调递
减的情况，则存在
,使得
,根据
定义，不妨设
，设
，
所以
，故
，则
，最终得证.
【详解】（1）因为
,所以
,
,故从
起以3 为周期循环,
因为
,故
，
（2）反证:假设存在,取第一次出现至少两个0 的位置
,依题意
，
64
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不妨设
且
，则
,
故
,
所以
则
或
，
所以
或
,得
，
所以
,矛盾;
综上,对于任意的
中的三个数
至多有一个为0;
（3）设
三个数中最大的为
,记作
,
因为
,
所以
,
若
单调递减，由
可得存在,使得
,
由（2）的证明可得
,这与题设矛盾，
所以
不可能单调递减，即存在
,使得
,
根据
的定义,可得
中三个数中必有0,
通过（2）已经证明至多一个0,则
三个数中只有一个数为0,
不妨设
,设
,
所以
，即
，
故
，则
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所以存在
,当
时,向量
满足
.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用反证法，假设存在,取第一次出现至少两个0 的位置
，通过
逻辑推理得
，从而得证，第3 问的关键是对
单调性的讨论.
31．已知集合
，
表示集合
中的元素个数，当集合
的子集
满足
时，称
为集合
的二元子集. 若对集合
的任意
个不同的二元子集
，均存在对应的集合
满足：①
；②
；③
，则称集合
具有性质
.
(1)当
时，若集合
具有性质
，请直接写出集合
的所有二元子集以及
的一个取值；
(2)当
时，判断集合
是否具有性质
？并说明理由；
(3)当
时，若集合
具有性质
，求
的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)不具有，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据集合A 具有性质
的定义即可得出答案；
（2）当
时，利用反证法即可得出结论；
（3）首先利用反证法证明
，然后证明
，当
时，
，再结合抽屉原理分析即可得出结论.
【详解】（1）集合
的所有元素个数为2 的子集有：
，
满足题意的集合
可以是：
或
或
，此时
，
或者也可以是：
，此时
.
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（2）集合
不具有性质
，理由如下：
反证法：假设存在集合
，即对任意的
，
，
，
则取
，
，
，
,（
任意构造，符合题意即可），
此时由于
，由抽屉原理可知，
，
，
与题设矛盾，假设不成立，因此集合
不具有性质
.
（3）首先证明
，
反证法：假设
，由集合
具有性质
，则存在集合
，
对任意
，
，
，
则取
，
，
，···，
，
，（
任意构造，符合题意即可），
此时由于
，由抽屉原理可知，
，
，
与题设矛盾，假设不成立，因此
.
然后证明：
，
当
时，
，由抽屉原理可知，
存在
，
不妨设为
，取
，
，
设
，此时
，
且
，
故
符合题意，综上可知
.
【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念
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的理解与把握是解题的关键.
32．设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集
，
，…，
满足：
①
，
，…，
均非空；
②
，
，…，
中任意两个集合交集为空集；
③
．
则称
，
，…，
为集合A 的一个m 阶分拆．
(1)若
，写出集合A 的所有2 阶分拆（其中
，
与
，
为集合A 的同一个2 阶分拆）；
(2)若
，
，
为A 的2 阶分拆，集合
所有元素的平均值为P，集合
所有元素的平均值
为Q，求
的最大值；
(3)设
，
，
为正整数集合
（
，
）的3 阶分拆．若
，
，
满足任取集
合A 中的一个元素
构成
，其中
，且
与
中元素的和相等．求证：n 为奇数．
【答案】(1)
；
；
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2 阶分拆作答.
（2）令
，设出集合
及所其元素和，根据定义求出
的元素和，求出
结合不等式性质求解作
答.
（3）设
、
及
中元素的和，按
为奇数、偶数推理判断作答.
【详解】（1）
，集合A 的所有2 阶分拆是：
；
；
.
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（2）依题意，不妨设
，
，
则
，
而
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最大值是
.
（3）依题意，
，
，
与
中元素的和相等，
设
与
中元素的和为
，集合
中所有元素之和为，于是
，
①当集合
中存在元素
为奇数时，
因为
是偶数，于是是奇数，对于任意
，均有
，
因此此时集合
中的元素均为奇数，因为为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，
所以n 为奇数；
②当集合
中存在元素
为偶数时，
因为
是偶数，于是是偶数，对于任意
，均有
，
因此此时集合
中的元素均为偶数，对于一个偶数
，均存在正整数
和奇数
，使得
，
显然集合
中的元素除以2，仍然满足条件，将集合
中的元素不断除以2，直至有一个奇数，
此时，由①可得n 为奇数，
综上得：n 为奇数.
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分
拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决.
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