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专题02 函数四大性质通关攻略（考点突破 + 实战演练）
一、考点总结与提升
1.函数的单调性定义的熟悉与理解，主要考察形式就是分段函数的单调性问题.
2.判断或证明函数单调性的常见方法
①.定义法：了解，但这里需要达到的目标是应该掌握高中课本上所有至少花了一个课时研究的函数（二
次函数，母函数，指数，对数函数，三角函数，“飘带”函数，“对钩”函数）
②.运算性质法：在①的基础上，增函数加增函数还是增函数等.通过运算性质，能够判断上述函数的简单
组合后的单调性.
③.图像法：要学好这个方法需要两个前提：一个是做到①中的熟记，另一个是掌握常见的图像变换形式
及其在解析式中的体现.
④.复合函数单调性与同增异减法则
⑤.导数法，万能通法.
3.单调性的常见应用（基本类型）
①.比较大小（可与奇偶性结合）
②.已知单调性求参数
（1）基本原理：已知函数
在区间
上单增，则
，反之亦然.
（2）同构出函数单调性后求参数
（3）分段函数单调性问题要注意
③.利用单调性解不等式（高中阶段的不等式问题都可以利用函数单调性解决，这是通法，4.单调性的常
见应用（压轴类型）
5.奇偶性中的主要结论
★结论1.（苏教版必修一P119）．已知函数
的定义域为
.
（1）求证：函数
为
上的偶函数；
（2）求证：函数
为
上的奇函数；
（3）试判断：定义在
上的函数
能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
解析：（1）证明：因为函数
的定义域为
.所以函数
的定义域为
，又
1
，所以函数
为
上的偶函数；
（2）证明：因为函数
的定义域为
.所以函数
的定义域为
，又
，所以函数
为
上的奇函数；
（3）因为函数
的定义域为
.令
，
，则
，又由（1）得
为
上的偶函数，由（2）得
为
上的奇函数，且
，所以定义在
上的函数
可以表示为一个奇函
数和一个偶函数的和.
由证明可知，上述结论函数的定义域可以是任意对称区间.
比如.
都是奇函数.
证明：令
，
，由基本原理（2）可证.
★结论2.奇偶函数的四则运算
奇×奇为偶；奇×偶为奇；等等，类似进行加减乘除运算即可.
★结论3.奇函数的精致结论
若
为奇函数，则
对定义域内的任意实数
恒成立，那么设
，则
，特别地，
.
6.1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于
轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点
到直线
的距离相等且函数值
时. 我们就称函数
关于
2
对称.代数表示: （1）.
（2）.
即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线
对称.
一般地，若函数
满足
，则函数
的图象关于直线
对称.特别地，偶函数(关于
轴对称)，
，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标
互为相反数），函数值相等.
6.2.中心对称：函数
上任意一点（
）关于点
对称的点（
）也在函数图
像上，此时我们就称函数为关于点(
)对称的中心对称图像，点(
)为对称中心.
用代数式表示：（1）.
（2）.
一般地,若函数
满足
,则函数的图象关于点
对称.特别地，奇
函数(关于原点对称)，
，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相
反.
6.3 注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整
个函数的性质.
（1）.利用对称性求得函数在某点的函数值.
（2）.利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.
（3）.对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心
对称的两个单调区间单调性相同.
6.4.三次函数的对称中心：
3
图象的对称中心为
. .原因如下：
设
的图象关于点
成中心对称，则函数
为奇函数，故有
，即
，即
.
又
，代入上式化简得
对任意的
恒成立，故
，
，
即
.综上所述，
图象的对称中心为
.
6.5.指数型函数的对称中心
（1）.函数
的对称中心为：
证明：设对称中心为
，那么
对所有
成立.代入可得：
.进一步，有：
①
令
，因此方程①是：
②对任意
成立.
两边乘以分母：
，比较
的系数：
若
，
4
则
.比较常数项：
代入
：
，即
两边减去
可得
.若
，则
，所以
，故
因此对称中心为
.
（2）
7.（1）.已知
是定义在
上的函数，若
是奇函数，则
的图像关于点
对称.
（2）.已知
是定义在
上的函数，若
是偶函数，则
的图像关于直线
对称.
8.奇偶性（对称性）与导函数
若
，即轴对称函数的导函数为中心对称函数，反之亦然，
若
9.周期性
（1）.定义:对于
定义域内的每一个
，都存在非零常数
，使得
恒成立，则称函
数
具有周期性，
叫做
的一个周期，则
（
）也是
的周期，所有周期中的最
小正数叫
的最小正周期.
（2）.函数周期性有关结论:
设
是非零常数，若对于函数
定义域内的任一变量
有下列条件之一成立，
则函数
是周期函数，且
是它的一个周期.
5
(1).
(2).
(3).
(4).
（3）.函数的对称性与周期性
性质1. 若函数
同时关于直线
与
轴对称，则函数
必为周期函数，且
.
性质2. 若函数
同时关于点
与点
中心对称，则函数
必为周期函数，且
.
性质3.若函数
既关于点
中心对称，又关于直线
轴对称，则函数
必为周期
函数，且
.
二、典例精讲
本环节聚焦函数单调性、奇偶性、对称性、周期性四大性质核心定义与结论，以 “理解 + 熟记” 为核
心目标。先通过课本基础函数梳理单调性判定的 5 大方法，结合苏教版奇偶性结论掌握函数的奇偶分解
与四则运算规律；再重点突破对称性的代数表达与三次、指数型函数对称中心推导，熟记对称性与单调性
的关联法则；最后掌握周期性定义及对称推周期的 3 大性质，搭配思维导图将零散结论系统化，每类性
质配套 3 个基础推导题，夯实原理理解，确保能快速调取核心结论。
核心考点1.已知单调性求参数
1．已知函数
，若
，都有
成立，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
2．（2024 年新课标全国1 卷）已知函数为
，在R 上单调递增，则
取值的范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高考真题新高考2 卷）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值
为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
3 已知函数f (x)= x−sin x +1，则满足不等式f (m+2)+ f (2m−1)<2的实数m的取值范围是（ ）
A．{m|m<−1
3} B．{m|m>−1
3} C．{m|m<3}
D．{m|m>3}
4 已知函数f ( x)=¿，若对于任意的x1, x2∈[2,+∞)，且x1< x2，都有x2f (x1)−x1f (x2)<a x1 x2
2−a x1
2 x2
成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−3
2 ,4] B．(
1
2 ,4]
C．[
1
2 ,4]
D．[
1
2 ,+ ∞)
核心考点2.利用单调性比较大小
针对高考高频的单调性求参数、比较大小、解不等式，奇偶性与对称性结合，周期与对称综
合应用五大考点，实施 “真题拆解 + 方法提炼” 策略。每个考点选近 5 年高考真题，先
拆解题干关键条件，再匹配对应原理方法，如单调性求参数重点讲导数法与分段函数边界条
件，比较大小侧重函数构造与奇偶性结合转化。
5．（2024·天津·高考真题）若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6． 已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c 时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有( )
7
A．a＜0，b＜0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．2－a＜2c
D．1＜2a＋2c＜2
7．（2022·天津·高考真题）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，
，
，
.则下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9.设
是定义域为R 的偶函数，且在
单调递减，则
A．
（log3
）＞
（
）＞
（
）
B．
（log3
）＞
（
）＞
（
）
C．
（
）＞
（
）＞
（log3
）
D．
（
）＞
（
）＞
（log3
）
10 若函数f (x)=(x−2)
3+2 x−4
，且f (3a−b)+ f (4−2b)<0 (a,b∈R)，则（ ）
A．1
a > 1
b
B．sina<sinb C．e
a<e
b
D．a
2026>b
2026
8
核心考点3.利用单调性解不等式
解题技巧强化方案
本环节以 “提速 + 避错” 为核心，提炼四大性质综合应用的解题技巧。针对单调性，总结
“同构构造 + 导数恒成立” 的快速解题法；针对奇偶性，强化 “定义域优先 + 特殊值代
入” 的验证技巧；针对对称性与周期性，掌握 “知一半推全部” 的图像分析法，以及利用
对称中心、对称轴快速求函数值的方法。搭配 14 道典型综合题，进行技巧实战应用，每道
题限定解题时间，做完后分析技巧运用要点与避错关键，提升解题效率与准确率。
11 已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
12 设函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．(0，2]
B．
C．[2，＋∞)
D．
∪[2，＋∞)
13 已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14 已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
15 若
为偶函数，则
（ ）．
9
A．
B．0
C．
D．1
16 若
为偶函数，则
______.
17 已知函数
是偶函数，则
_________.
18 设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
19 已知函数
有唯一零点，则
20．已知函数
，若
在
有唯一的零点，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
21 已知函数
的定义域为R，
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
22 设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10
23．已知函数
，则
__________.
24. 已知函数
是定义域为R 的奇函数，周期为2，且当
时，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、高考练场
1．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，则满足不等式
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，若
，
，
，都有
，则实数
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知定义在R 上的奇函数
，其导函数为
，
，当
时，
，则使
11
得
成立的x 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
的定义域为
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，且对于
，
，都满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
满足对任意
，当
时，
恒成立，若
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
，则不等式
的解集为
.
10．已知定义在R 上的奇函数
的导函数为
，且当
时，恒有
．若有
12
，则实数t 的取值范围为 ．
11．已知定义在
上的函数
满足
为奇函数，
为偶函数．若
，则
（ ）
A．
B．0 C．2
D．2024
12．已知函数
的定义城为R，且满足
，
，且当
时，
，则
（ ）
A．-3
B．-1 C．1 D．3
13．（2021 新高考2 卷）已知函数
的定义域为R，
为偶函数，
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知函数
的定义域为
，
，且
为奇函数，
为偶函数，则
（ ）
A．23
B．
C．
D．3
15（2025 高三·上海·专题练习）已知定义在R上的函数f (x)满足2f (x + y)f (x−y)= f (x)+ f ( y)，且
f (0)≠0，则（ ）
A．f (0)=2
B．y = f (x)为奇函数
C．y = f (x)有零点
D．f (2 x)= f (x)
16（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的单调函数f (x)，满足∀x，y ∈R，f (xy)= f (x)f ( y)，
则下列说法不正确的是（ ）
A．f (1)=1
B．f (x)可能是单调递减函数
C．f (x)为奇函数
D．若f (8)=2，则f (2
n)=2
n
3
17（25-26 高三上·江西·期中）已知函数f (x)=ln(x−1)−ln(3−x)，则f (x)的图象（ ）
A．关于x =1对称
B．关于x =2对称
13
C．关于(1,0)对称
D．关于(2,0)对称
18（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知函数f (x)= x
3−3 x
2+2 x，则下列说法错误的是（ ）
A．y = f (x +1)是奇函数
B．y = f (|x|)是偶函数
C．y =|f (x)|的图象关于x =1对称
D．y =|f (x)+1|的图象关于x =1对称
14
