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专题02 集合与其他知识交汇的新定义解答题
（新定义，高观点，压轴题）
1．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组
表示，在
三维空间中点的坐标可用三个有序数组
表示，一般地在
维空间中点A
的坐标可用n 个有序数组
表示，并定义n 维空间中两点
，
间的“距离”
．
(1)若
，
，求
；
(2)设集合
．元素个数为2 的集合M 为
的子集，
且满足对于任意
，都存在唯一的
使得
，则称M 为“
的优集”．
证明：“
的优集”M 存在，且M 中两不同点的“距离”是7．
2．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数
，令
，对任意的
，
，定义
与
的距离
．设
是
的含有至少两个元素的子集，集合
中的最小值称为
的特征，
1
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记作
．
(1)当
时，直接写出下述集合的特征：
；
(2)当
时，设
且
，求
中元素个数的最大值；
(3)当
时，设
且
，求证：
中的元素个数小于
．
3．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A 与B，存在对应关系f，使A 中的每一个元素a，
B 中总有唯一的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f：A→B．
设集合
，
（
，
），且
．设有序四元
数集合
且
，
．对于给定
的集合B，定义映射f：P→Q，记为
，按映射f，若
（
），则
；若
（
），则
．记
．
(1)若
，
，写出Y，并求
；
(2)若
，
，求所有
的总和；
(3)对于给定的
，记
，求所有
的总和（用含m 的式子表示）．
2
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4．（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存
在
，使得
，则称X 具有性质P．
(1)设
，请写出向量集Y 并判断X 是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若
，且集合
具有性质P，求x 的值；
(3)若X 具有性质P，且
，q 为常数且
，求证：
．
5．（2024·北京石景山·一模）已知集合
，对于
，
，定义
与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合
，
中有
个元素，若
中任意两个元素间的距离的最小值为，
求证：
．
3
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6．（23-24 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、
为正整数集
的两个子集，、
至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合
：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
.则称
集合
为集合的“
集”.
(1)若集合
，求
的“
集”
；
(2)若三元集
存在“
集”
，且
中恰含有4 个元素，求证：
；
(3)若
存在“
集”，且
，求
的最大值.
7．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数
，由
元实数集合
定义其随影数集
.若
，则称集合
为一个
元理想数集，并定义
的理
数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合
是不是理想数集；（结论不要求说
明理由）
4
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(2)任取一个5 元理想数集
，求证：
；
(3)当
取遍所有2024 元理想数集时，求理数的最小值.
注：由
个实数组成的集合叫做
元实数集合，
分别表示数集
中的最大
数与最小数.
8．（2024·广东·模拟预测）设X，Y 为任意集合，映射
．定义：对任意
，
若
，则
，此时的
为单射．
(1)试在
上给出一个非单射的映射；
(2)证明：
是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合
与映射
，若对任意
，有
，则
；
(3)证明：
是单射的充分必要条件是：存在映射
，使对任意
，有
．
9．（2024·广东江门·一模）将2024 表示成5 个正整数
，
，
，
，
之和，得到方
5
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程
①，称五元有序数组
为方程①的解，对于上述
的五元有序数组
，当
时，若
，则称
是
密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解
，使得
等于同一常数?若存在，
请求出该常数；若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是
密集的?
(3)记
，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
10．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何
学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对
，
，其度量（距离）
并称
为一度量平面．设
，
，
称平面区域
为以
为心，
为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且
仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
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