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专题04 概率与统计解答题讲义
解题大招
【典例1】
（2025·吉林·二模）国家设立国家自然科学基金，用于资助基础研究，支持人才培养和团队建设. 现对
近4 年的国家自然科学基金项目支出（以下简称项目支出）概况进行统计，得到数据如下表：
年份
2020 年
2021 年
2022 年
2023 年
年份序号
1
2
3
4
项目支出/百亿元
90
96
100
108
(1)经过数据分析，发现年份序号与项目支出具有线性相关关系. 请求出项目支出y 关于年份序号x 的经验
回归方程，并预测2025 年的项目支出；
(2)天元基金是国家自然科学基金中的数学专项基金之一，为促进甲、乙两个地区天元基金申报者的交流，
天元基金委员会举办了论坛活动. 经调查统计，甲、乙两个地区共有200 人参加此次论坛活动，具体数据
如下表：
男生
女生
合计/人
甲
65
35
100
乙
45
55
100
合计/人
110
90
200
（i）根据小概率值
的独立性检验，能否认为申报者所在地区与性别有关联？
（ii）为了解此次论坛活动的满意度（满意度评分满分为10 分），现采用按男、女样本量比例分配的分
层随机抽样，从上述200 人中抽取40 人进行访谈，其中男生样本的满意度平均数为9 分，方差为7.19，
女生样本的满意度平均数为7 分，方差为6.79，由这些数据，请求出总样本的满意度的平均数和方差，并
对全体参加此次论坛活动的天元基金申报者的满意度的平均数和方差作出估计.
附：
，
，
，其中
.
1
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【典例2】
（2025·辽宁·一模）在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运
行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正
常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为
，一个乙型
部件的可靠度为
，且
，系统能正常运行称为试验成功.
(1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9 件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在
内甲型部件可以正常工作.
盒一
31
45
28
55
58
66
57
39
42
盒二
48
67
42
46
56
35
29
53
34
盒三
31
53
48
37
29
34
45
58
64
盒四
55
28
44
36
61
47
56
61
57
盒五
30
49
54
43
35
62
32
56
59
盒六
54
52
29
37
56
47
60
38
44
（i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度
；
（ii）若
取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工
作的概率；
(2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的
部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优
化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由.
2
【典例3】
（2025·湖北武汉·模拟预测）盒子里有编号为
的
个大小、形状、质地完全相同的小球，在盒
子中连续有放回地取出两个小球，记
为第次取出的小球的编号
，
(1)试计算
比
大的概率
；
(2)求
的分布列和期望；
(3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量
，有
，试分别计算
的期望.其中，
表示a，b 中的最小者，
表示a，b 中
的最大者.
（参考公式：
）．
【典例4】
（2024·湖北武汉·模拟预测）某企业生产一种零部件，其质量指标介于
的为优品.技术改造
前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布
；技术改造后，该企业生产的同种零部件
质量指标服从正态分布
.
附：若
，取
，
.
(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；
(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是
，各个元件能否正常工作相互独
立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作. 系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
①若控制系统原有
个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？
②假设该系统配置有
个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你
的结论并证明.
3
【典例5】
已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率
为
，传球给其他队员的概率均为
；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是
.开
始进攻时，球在乙手中.
(1)求经过2 次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；
(2)经过
次传球后，球回到乙手中的概率；
(3)记经过
次传球后，球到甲的手中的概率为
，求证：满足
的
的个数不少于满足
的
的个数.
【典例6】
（2025·安徽芜湖·二模）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为
，末通过测试I 的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为
.通过任意一次测试
即为合格芯片，否则报废.
(1)若某批次生产了n 枚芯片，合格数为随机变量X.当
，
时，求X 的期望与方差；
(2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I 的概率
；
(3)为估计（2）中的
，工厂随机抽取m 枚合格芯片，其中k 枚为通过测试I.记
.若要使得
总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量
.
参考内容：设随机变量X 的期望为
，方差为
，则对任意
，均有
.
【典例7】
4
（2025·江苏南京·二模）不透明的口袋中装有编号分别为
的
个小球，小球除编
号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1 个球，记取出的个球的最大编号为随机变量
，则称
服从参数为
的“
”分布，记为
.
(1)若
，求
；
(2)若
，且
，求
的最小值；
(3)若
，求证：
且
，
.
0
0
极小值
课后基础练
1．（2025·云南·模拟预测）近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型
玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示．
性别
男孩
女孩
喜欢豪车模型
340
160
不喜欢豪车模型
300
200
(1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10 人，再从这
10 人中随机抽取3 人，求至少1 人是女孩的概率；
(2)根据
的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性．
附：
．
0.05
0.01
0.001
5
3.841
6.63
5
10.828
2．（2025·四川成都·模拟预测）某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，
随机调查了本市某中学高三文科班6 名学生每周课外阅读时间
（单位：小时）与高三下学期期末考试中
语文作文分数
，数据如下表：
1
2
3
4
5
6
38
40
43
45
50
54
(1)根据上述数据，求出高三学生语文作文分数
与该学生每周课外阅读时间
的线性回归方程
，
并预测某学生每周课外阅读时间为7 小时时其语文作文成绩；
(2)从这6 人中任选2 人，记
为语文作文分数不小于45 分的人的个数，求
的分布列及期望．
参考公式：
，参考数据：
3．（2025·广东·模拟预测）为了研究生活习惯 M 与患有疾病N 的关系，某疾控中心随机调查了其他
条件都基本相同的340 人，调查数据如表所示．
无习惯M 者
有习惯M 者
合计
没患疾病N 者
120
160
280
患有疾病N 者
15
45
60
合计
135
205
340
(1)根据小概率值
的独立性检验，判断患有疾病N 与有生活习惯M 是否有关？
(2)常用
表示在事件A 发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340
人中任选一人，A 表示“选到的人是有习惯M 者”，B 表示“选到的人患有疾病N 者”，请利用样本数据，
估计
的值．
6
附：
，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
4．（2025·云南昭通·模拟预测）甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取
了100 个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质
量指标值不小于80 分时，配件为“优秀品”．
(1)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3 件产品，随机变量
表示：抽得的产品为
“优秀品”的个数，求
的分布列及数学期望；
(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀
品”率分别为0.60，0.30 三家产品数在市场中所占比例为
，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，
在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？
5．（2025·江西萍乡·三模）某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X 服从正态
分布，其密度函数峰值为
，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1 分
的概率为
，获得2 分的概率为
，获得3 分的概率为
.每次消费获取积分相互独立.
(1)求
；
(2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z 的分布列与期望.
7
附：正态密度函数
，其中
为均值，
为标准差.
，
，
.
课后能力练
6．（2025·湖南永州·模拟预测）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009 年至2024 年居民
存款余额进行统计分析，将2009 年看成第1 年，依次类推，得到第1~16 年的居民存款余额
（单位：万
亿元）的散点图，如图所示：
(1)已知从2021 年开始，居民存款余额超过100 万亿元，若从2009 年至2024 年中任取2 年，求这2 年中
恰有一年居民存款余额超过100 万亿元的概率；
(2)由散点图知，
和的关系可用经验回归模型
进行拟合，求
关于的经验回归方程.
参考数据：设
，则
.
参考公式：对于一组数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计
分别为
.
7．（2025·浙江丽水·一模）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1 个红球和3 个白球，乙袋内有2 个红
球和2 个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1 个球）：先随机选择一个袋子摸球．若
选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球3 次．当第1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数
的分布列及期望
；
8
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2 次红球则停止摸球．求3 次之内（含3 次）停止摸球的概率．
8．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列，信号的传输相互独立.由
于随机因素的干扰，发送的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0.发送0 时，收到1 的概率为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的概率为
.假设
发送信号0 和1 是等可能的.
(1)若
，
，求接收的信号为0 的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输是指每个信
号重复发送3 次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，
收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
（i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1 的概率；
（ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由.
9．（2025·安徽合肥·三模）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1 米、2 米、3 米的A，
B，C 三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C 三个位置投篮命中分别可得1 分、2
分、3 分，总分不低于4 分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C 三处的投篮命中率分别为
，且在这
三处的投篮相互独立．
(1)求甲未获得奖品的概率；
(2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C 处先投
个球，若这n 个球都投进，则训练结束，
否则额外在C 处投
个球．试问n 为何值时，甲投篮次数的期望最大？
10．（2025·云南·模拟预测）在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练．每次传球按以下规则转移：
当球在甲脚下时，他有
的概率继续控球（不传给别人），
的概率传给乙；当球在乙脚下时，他有
的
概率回传给甲，
的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有
的概率传给甲，
的概率传给乙．初始时球在
甲处，每次传球是相互独立的．
(1)求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率；
(2)记
次传球后，球在甲处的概率为
，在乙处的概率为
．
9
（i）证明：数列
是等比数列；
（ii）求
和
的通项公式．
课后压轴练
11．（2025·云南昆明·模拟预测）某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过
参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢
局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概
率为
，每局比赛相互独立．
(1)若
，
，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率；
(2)在甲赢了m 局，乙赢了n 局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以
往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比
分配积分．
（ⅰ）若
，
，
，
，求
；
（ⅱ）若
，
，
，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率
，并判断当
时，
若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％．
12．（2025·湖南·一模）某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有
胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为
，胜者记2 分，其余记1 分．每个挑战
者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响．
(1)求三局比赛中，人类队累计得分
的分布列和数学期望；
(2)若
局
比赛中，人类队累计得分为
分的概率为
，求
；
10
(3)若采用“比赛赛满
局，胜方至少获得
局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为
；若采用“比
赛赛满
局，胜方至少获得
局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为
，比较
与
的大小，并说明其统计意义．
13．（2025·广西·模拟预测）某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI 知识有关的网络答题活动，
为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100 人，设事件
“学生报名参加答题活动”，
“学生为男生”，据统计，
．
(1)根据已知条件，完成下列2×2 列联表，并依据小概率值
的独立性检验，能否推断该校学生报
名参加答题活动与性别有关联？
性别活动
男生
女生
合计
未报名参加答题活动
报名参加答题活动
合计
100
(2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置
道题，
选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m 道
题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答
对的概率均为
．
①当
时，求甲在一轮答题过程中答题数量
的数学期望；
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2 分，否则得1 分．记甲答题累计得分为n 的概
率为
，求
．
参考公式与数据：
，其中
．
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
11
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
14．（2025·浙江嘉兴·一模）2025 年7 月6 日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙
江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮
球足球排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球足球排球三类相
､
､
､
､
关知识题量占比分别为
.甲同学回答篮球足球排球这三类问题中每个题的正确率分别为
､
､
.
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3 分，回答错误得-1 分.设该同学回答三题
后的总得分为
分，求
的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取
道题目，答对题目数不少于
道，即可获得奖励.现以获得奖励的
概率大小为依据，若甲同学在
和
之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.
15．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智
能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片
的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测
与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为
，
，
.
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率
；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未
经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记
表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，
表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较
与
的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标
服从正态分布
，现从中随机抽取
个，这
个芯片中恰有
个的质量指标
位于区间
．若
，将使得
的最大的
值
作为
的估计值，试求
的值．
12
参考数据：
，
.
13
