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专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
（含定值、最值、范围问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................3
题型一：三角形面积（定值问题）...............................................3
题型二：四边形面积（定值问题）...............................................6
题型三：三角形面积（最值，范围问题）....................................8
题型四：四边形面积（最值，范围问题）..................................11
三、专项训练.....................................................................................13
一、必备秘籍
1、弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
1
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=√
1+ 1
k2 √( y1+ y2)2−4 y1 y2
2、三角形面积问题
直线
方程：
3、焦点三角形的面积
直线
过焦点
的面积为
F2
F1
O
y
x
B
A
2
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注意：
为联立消去
后关于
的一元二次方程的二次项系数
4、平行四边形的面积
直线
为
，直线
为
注意：
为直线与椭圆联立后消去
后的一元二次方程的系数.
5、范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）
（注意分
三种情况讨论）
（2）
当且仅当
时，等号成立
（3）
当且仅当
时等号成立.
C
D
H
O
y
x
B
A
3
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（4）
当且仅当
时，等号成立
(5)
当且仅当
时等号成立.
二、典型题型
题型一：三角形面积（定值问题）
1．（24-25 高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：
的左、右焦点分别
为
、
，上顶点为A，
，长轴的长为4．过右焦点
的直线l 与椭圆交于
M、N 两点（非长轴端点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l 过椭圆的上顶点A，求
的面积．
4
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2．（2024 高三下·全国·专题练习）已知椭圆
，直线
（其中
）与椭圆
相交于
两点，
为
的中点，
为坐标原点，
．求
的面
积.
3．（23-24 高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆
，直线
（其中
）与椭圆
相交于
两点，
为
的中点，
为坐标原点，
．
(1)求
的值；
(2)求
的面积．
5
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4．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：
的上、下焦点分别为
、
，P 为双曲线C 上一点，且满足
，求
的面积．
5．（23-24 高二下·河南南阳·期末）已知双曲线
的实轴比虚轴长
2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若动直线与双曲线
恰有1 个公共点，且与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，
两
点，
为坐标原点，证明：
的面积为定值.
6．（23-24 高二下·安徽六安·期末）过抛物线
焦点
的直线交
于
两点，特别地，当直线的倾斜角为
时，
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)已知点
，若
，求
的面积（
为坐标原点）.
6
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题型二：四边形面积（定值问题）
1．（2024·天津武清·模拟预测）已知
为坐标原点，双曲线
的右焦点
为
，以
为直径的圆与
的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点
，
，若
，则四边形
的面积为（ ）
A．6
B．
C．
D．4
2．（23-24 高二上·内蒙古包头·期末）
、
是双曲线
上关于原点
对称的两
点，
、
是左、右焦点．若
，则四边形
的面积是（ ）
A．
B．3
C．4
D．6
3．（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线
的焦点为
，过
作直线交抛物
线
于
两点，过
分别作准线的垂线，垂足分别为
，若
和
的面
积分别为8 和4，则
的面积为（ ）
A．32
B．16
C．
D．8
4．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）已知抛物线
：
，
：
的焦点分
别为
，
，一条平行于x 轴的直线与
，
分别交于点A，B，若
，则四边
形
的面积为 .
5．（2024·河北·模拟预测）已知
，平面内动点
满足直线
的
7
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斜率之积为
.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)过点
的直线交
的轨迹
于
两点，以
为邻边作平行四边形
（
为坐标原点），若
恰为轨迹
上一点，求四边形
的面积.
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知
为椭圆上三个点，
为坐标原点，若四边形
为矩形，求四边形
的面积.
8
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7．（23-24 高二上·云南昆明·期末）已知离心率为
的双曲线
经
过点
.
(1)求
的方程；
(2)如图，点
为双曲线上的任意一点，
为原点，过点
作双曲线两渐近线的平行线，分
别与两渐近线交于
、
两点，求证：平行四边形
的面积为定值.
题型三：三角形面积（最值，范围问题）
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知A，B 是椭圆C：
的左、右顶点，直线l 交
椭圆C 于M，N 两点，记AM 的斜率为
，BN 的斜率为
，且
．
(1)求证：直线l 过定点；
(2)记
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值．
9
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2．（23-24 高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆
的左､右焦点分别为
，短轴长为
，点
在
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知点
，点
为椭圆
上一点，求
周长的最大值；
(3)过
的左焦点
，且斜率不为零的直线交
于
两点，求
面积的最大值.
3．（23-24 高二上·辽宁沈阳·期末）双曲线
：
，已知
为坐标原
点，
为双曲线
上一动点，过
作
、
分别垂直于两条渐近线，垂足为
、
，
设
，
，
(1)求证：
(2)若双曲线实轴长为4，虚轴长为2，过
分别作
、
平行于渐近线且与渐近线交于
、
两点，设
的面积为
，
的面积为
，求
的范围．
10
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4．（23-24 高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线
的离心率为e，点A 的
坐标是
，O 为坐标原点.
(1)若双曲线E 的离心率
，求实数m 的取值范围；
(2)当
时，设过点A 的直线与双曲线的左支交于P，Q 两个不同的点，线段
的中点
为M 点，求
的面积
的取值范围.
5．（23-24 高二下·福建泉州·期末）已知抛物线
经过点
，直线
与
的交点为
，且直线
与
倾斜角互补．
(1)求
的值；
(2)若
，求
面积的最大值．
6．（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知抛物线C：
的焦点为F，过F 的直线交C
于A，B 两点，过F 与垂直的直线交C 于D，E 两点，其中B，D 在x 轴上方，M，N 分别
为
，
的中点.
(1)若
，求点M 的横坐标；
(2)证明：直线
过定点；
(3)设G 为直线
与直线
的交点，求
面积的最小值.
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题型四：四边形面积（最值，范围问题）
1．（23-24 高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线
，过该曲线上的点
作不
平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点
，作直线
交双曲线的渐近线于两点
A，B（A 在第一象限）,其渐近线方程为
，且
，
(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线
过定点.
(3)当
的斜率为负数时，求四边形
的面积的取值范围．
2．（23-24 高二上·山西大同·期末）已知椭圆
经过点
，一个
焦点在直线
上．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设经过原点
的两条互相垂直的直线分别与椭圆
相交于
，
两点和
，
两点．求
四边形
的面积的最小值．
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3．（2024·山东济南·二模）已知点
是双曲线
上一点，
在点
处的
切线与
轴交于点
.
(1)求双曲线
的方程及点
的坐标；
(2)过
且斜率非负的直线与
的左右支分别交于
､
.过
做
垂直于
轴交
于
（当
位于左顶点时认为
与
重合）.
为圆
上任意一点，求四边
形
的面积的最小值.
4．（23-24 高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线
上．
(1)求
的方程；
(2)过
作两条相互垂直的直线和
，与
的右支分别交
，
两点和
，
两点，求四
边形
面积的最小值．
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5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知A，B 是抛物线E：
上不同的两点，点P 在x
轴下方，PA，PB 与抛物线E 分别交于C，D 两点，C，D 恰好为PA，PB 的中点．设AB，
CD 的中点分别为点M，N．
(1)证明：
轴；
(2)若点P 为半椭圆
上的动点，求四边形ABDC 面积的最大值．
三、专项训练
1．（2024·全国·模拟预测）已知O 为坐标原点，直线
与双曲线
相交且只有一个交点，与椭圆
交于M，N 两点，则
面积的最大值
为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
2．（23-24 高三下·河北保定·开学考试）已知
是左、右焦点分别为
的椭圆
上异于左、右顶点的一点，
是线段
的中点，
是坐标原点，过
作
的平行线交直线
于
点，则四边形
的面积的最大值为（ ）
14
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A．2
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·安徽滁州·期末）双曲线
的左､右焦点分别为
，
离心率为
，右支上一点
满足
，直线平分
，过点
作直线的垂
线，垂足分别为
.设
为坐标原点，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．10
D．
4．（2024·江西宜春·一模）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，过右焦点
的直线与双曲线的右支交于
两点，若
的内心分别为
，则
与
面积之和的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二下·河南驻马店·阶段练习）已知抛物线
的焦点为F，过
点
作C 的两条切线，切点为A，B，且Q 为C 上一动点，若
的最小值为
5，则△PAB 的面积为（ ）
A．75
B．
C．
D．
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知拋物线
，过动点
作两条相互垂直的直
线，分别与抛物线
相切于点
，则
面积的最小值是（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18
7．（23-24 高三下·山西大同·阶段练习）过抛物线
的焦点
且倾斜角为
的直线
交抛物线于
两点，以
为直径的圆分别与
轴相切于点
，则
的面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆
，经过坐标原点的两条直线分别
与椭圆
相交于
、
、
、
四个点，若该两条直线的斜率分别为
、
，且
，则
的面积为 ．
9．（2024·湖南·模拟预测）过椭圆C：
（
）上的动点P 向圆O：
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引两条切线
．设切点分别是A，B，若直线
与x 轴、y 轴分别交于M，
N 两点，则
面积的最小值是 .
10．（2024 高三·全国·专题练习）已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于
P，Q 两点，直线
的斜率之和为0，若
，则
的面积为
．
11．（23-24 高三下·云南·阶段练习）已知
，
分别为双曲线C：
的
左、右焦点，O 为坐标原点，过
作渐近线
的垂线，垂足为P，且
，过双曲线C 上一点Q 作两渐近线的平行线分别交渐近线于M，N 两点，
则四边形OMQN 的面积为 .
12．（23-24 高二下·四川凉山·期末）已知椭圆
的长轴长为4，离心率
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为
，过椭圆的左焦点
的直线交椭圆于
两点，求
与
的面积之比的取值范围．
13．（23-24 高二下·湖南永州·阶段练习）已知椭圆
过点
，
离心率为
.不过原点的直线
交椭圆
于
两点，记直线
的斜率为
，
16
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直线
的斜率为
，且
.
(1)证明：直线的斜率
为定值；
(2)求
面积的最大值.
14．（23-24 高二下·河南南阳·期末）已知双曲线
的实轴比虚轴长
2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若动直线与双曲线
恰有1 个公共点，且与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，
两
点，
为坐标原点，证明：
的面积为定值.
15．（2024·陕西西安·二模）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，且虚轴长为2．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若动直线与双曲线
恰有1 个公共点，且与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
两
点，
为坐标原点，证明：
的面积为定值．
17
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16．（23-24 高二下·甘肃天水·开学考试）已知双曲线
的两条渐近线互相垂直，且经过点
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若过点
的直线交双曲线同一支于两点
，设
中点为
，求
面积
的取值范围．
17．（23-24 高二下·广东·期末）已知抛物线
的焦点
到点
的距
离为
，
，
为抛物线
上两个动点，且线段
的中点
在直线
上．
(1)求抛物线
的方程；
(2)求
面积的取值范围．
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18．（23-24 高二下·安徽芜湖·期末）抛物线
的准线方程为
，抛物线
上的三个点
构成一个以
为直角顶点的直角三角形．
(1)求拋物线
的标准方程；
(2)若点
坐标为
，证明：直线
过定点；
(3)若
，求
面积的最小值．
19
