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有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
4. 会用科学记数法表示大数.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：
.在
中，
叫做底数， n 叫做指数．
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5 就是51，指数1 通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0 的
任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如
≥0．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计
算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二
级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺
序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
要点四、科学记数法
把一个大于10 的数表示成
的形式（其中
是整数数位只有一位的数，l≤|
|
<10，
是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如
＝
.
要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“
”照写，其它与正数一样，如
=
；
（2）把一个数写成
形式时，若这个数是大于10 的数，则n 比这个数的整数位数少1.
【典型例题】
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类型一、有理数的乘方
1． 计算：
（1）
（2）
【答案与解析】
解：由乘方的定义可得：
(1)
＝3×3×3×3＝81；
-
＝-（3×3×3×3）＝-81；
；
(2)
；
；
；
【总结升华】注意
与
的意义的区别．
（n 为正整数），
（n 为正整数）．
举一反三：
【变式】已知
，且
，则
的倒数的相反数是 ．
【答案】
类型二、乘方运算的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，
，-(-2)2010
【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．
【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：
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(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；
运算
的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０
时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为
负．
举一反三：
【变式】当n 为奇数时，
．
【答案】0
类型三、有理数的混合运算
3．计算：
（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
（3）
；
（4）
【答案与解析】
解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
＝-9+(-8)÷(-3+5)
＝-9+(-8)÷2
＝-9+(-4)＝-13
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)
＝[72×(7-6)-1]÷(-24)
＝(49-1)÷(-24)
＝-2
（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.
原式
（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.
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【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
类型四、科学记数法
４．太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒400 万吨的速度失去重量．太阳的直径约为
140 万千米，而地球的半径约为6378 千米．请将上述三个数据用科学记数法表示，然后计算：
（1）在一年内太阳要失去多少万吨重量？
（2）在太阳的直径上能摆放多少个地球？
【思路点拨】带有文字单位的数先变为原数，再写成
形式，的确定：n 比这个数的整
数位数少1.
【答案与解析】
解：400=4.00×102万吨，
140 万=1.40×106千米，
6 378=6.378×103千米．
（1）4.00×102×365×24×3 600=1.261 44×1010（万吨）．
答：在一年内太阳要失去1.26144×1010万吨重量．
（2）1.40×106÷（6.378×103×2）≈110（个）．
答：在太阳的直径上能摆放110 个地球．
【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法
的形式时，其中1≤|a|＜10，n 为
比整数位数少1 的数．在进行运算时，a 部分和
的部分分别运算，然后再把结果整理成
的形式．
类型五、探索规律
5．下面是按一定规律排列的一列数：
第1 个数：
；
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第2 个数：
；
第3 个数：
；
…
第n 个数：
．
那么，在第10 个数、第11 个数、第12 个数、第13 个数中，最大的数是（ ）．
A．第10 个数 B．第11 个数 C．第12 个数 D．第13 个数
【答案】A
【解析】第1 个数结果为
；第2 个数结果为
；第3 个数结果为
；…；发现运算中在
后边的各式为
，分子、分母相约
为1，所以第n 个数结果为
，把第10、11、12、13 个数分别求出，比较大小即可．
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似
杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】观察下面三行数：
①-3，9，-27，81，-243，729，…
②0，12，-24，84，-240，732，…
③-1，3，-9，27，-81，243，…
(1)第①行数按什么规律排列?
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行数的第10 个数，计算这三个数的和．
【答案】
解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；
(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①
行数相应的数的
，即
，
，
，
，…；
(3)每行数中的第10 个数的和是：
59049+59052+19683＝
137784．
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