文档文本内容
有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
4. 会用科学记数法表示大数.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：
n
a a
a
a
n
个
.在
n
a 中，a 叫做底数， n 叫做指数．
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5 就是51，指数1 通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0 的
任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如
2
a ≥0．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计
算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二
级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺
序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
要点四、科学记数法
把一个大于10 的数表示成
10n
a
的形式（其中
a
是整数数位只有一位的数，l≤|
a
|
<10，
n
是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如
42 000 000
＝
7
4.2 10
.
要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如-3 000 =
3
3 10
；
（2）把一个数写成
10n
a
形式时，若这个数是大于10 的数，则n 比这个数的整数位数少1.
【典型例题】
类型一、有理数的乘方
1．（2016•虞城县一模）下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等
于﹣1 的是（ ）
A．①②③
B．①②④ C．②③④
D．①②③④
【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【答案】A．
【解析】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣
1）2=1，不符合题意．
故选A．
【总结升华】注意(
)n
a
与
n
a
的意义的区别．
2
2
(
) n
n
a
a
（n 为正整数），
2
1
2
1
(
) n
n
a
a
（n 为正整数）．
举一反三：
【变式】已知
2
a
，且
2
4
a
，则
3
a 的倒数的相反数是 ．
【答案】1
8
类型二、乘方运算的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，
5
5
3
，-(-2)2010
【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．
【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；
5
5
3
运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０
时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为
负．
举一反三：
【变式】（2015 春•富阳市校级期中）计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣22014
D．22015
【答案】C．
解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014.
类型三、有理数的混合运算
3．计算：
（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
（3）
3
1
1
2
2
2
2
2
3
3
；
（4）
2
3
1
1
1
1
3
1
2
11
2
13
24
4
2
4
3
4
0.2
【答案与解析】
解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
＝-9+(-8)÷(-3+5)
＝-9+(-8)÷2
＝-9+(-4)＝-13
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)
＝[72×(7-6)-1]÷(-24)
＝(49-1)÷(-24)
＝-2
（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.
原式
1
1
2
2
1
1
11
[
(2
)]
8
2
3
3
8
3
24
（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.
2
3
3
1
1
1
1
3
1
2
11
2
13
24
4
2
4
3
4
0.2
1
5
45
7
55
1
(
)
(
) 24
1
16
2
4
3
4
(
)
5
1
2
5
7
24
24 125
16
5
2
3
1
60
56 125
40
39
120 40
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
类型四、科学记数法
4．（2015•酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500 吨．将数67500 用科
学记数法表示为（ ）
A．0.675×105
B．6.75×104
C．67.5×103
D．675×102
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【答案】B．
将67500 用科学记数法表示为：6.75×104．
【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法
10n
a
的形式时，其中1≤|a|＜10，n 为
比整数位数少1 的数．在进行运算时，a 部分和10n 的部分分别运算，然后再把结果整理成
10n
a
的形式．
类型五、探索规律
5．下面是按一定规律排列的一列数：
第1 个数：1
1
1
2
2
；
第2 个数：
2
3
1
1
( 1)
( 1)
1
1
1
3
2
3
4
；
第3 个数：
2
3
4
5
1
1
( 1)
( 1)
( 1)
( 1)
1
1
1
1
1
4
2
3
4
5
6
；
…
第n 个数：
2
3
2
1
1
1
( 1)
( 1)
( 1)
1
1
1
1
1
2
3
4
2
n
n
n
…
．
那么，在第10 个数、第11 个数、第12 个数、第13 个数中，最大的数是（ ）．
A．第10 个数 B．第11 个数 C．第12 个数 D．第13 个数
【答案】A
【解析】第1 个数结果为1
1
0
2
2
；第2 个数结果为1
1
1
3
2
6
；第3 个数结果为
1
1
1
4
2
4
；…；发现运算中在
1
1
2
后边的各式为4
3
6
5
3
4
5
6
… ，分子、分母相约
为1，所以第n 个数结果为
1
1
1
2
n
，把第10、11、12、13 个数分别求出，比较大小即可．
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似
杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】观察下面三行数：
①-3，9，-27，81，-243，729，…
②0，12，-24，84，-240，732，…
③-1，3，-9，27，-81，243，…
(1)第①行数按什么规律排列?
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行数的第10 个数，计算这三个数的和．
【答案】
解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；
(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是
第①行数相应的数的1
3 ，即
1
3 3
，
2
1
( 3)
3
，
3
1
( 3)
3
，
4
1
( 3)
3
，…；
(3)每行数中的第10 个数的和是：
10
10
10
1
( 3)
[( 3)
3]
( 3)
3
59049+59052+19683＝
137784．
