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有理数的意义
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、
、+584 等大于0 的数，叫做正数； 像－3、－1.5、
、－584 等在正数
前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”
等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0 既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0 的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1 的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但
无限不循环小数不是分数，例如
．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
1．若把向北走7km 记为－7km，则＋10km 表示的含义是（ ）．
A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km
【答案】D
【解析】 “正”和“负”相对，－7km 表示向北走7km，则＋10km 表示向南走10 km，所以答
案D
【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就
是负数.
反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．
举一反三：
【高清课堂：有理数的意义 356786 概念的应用例3（1）】
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【变式1】
如果以每月生产180 个零件为标准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数，那
么1 月生产160 个零件记作______个，2 月生产200 个零件记作______个．
【答案】
【变式2】（1）如果收入300 元记作+300 元，那么支出500 元用___________ 表示，0 元表示
__________ .
(2)若购进50 本书，用-50 本表示，则盈利30 元如何表示？
【答案】(1)-500 元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】（2011 江苏南通）如果60m 表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（
）．
A．－20m B．－40m C．20m D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7 个为标准，超过的
次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8 名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）
这8 名男生有百分之几达到标准？
（2）
他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0 表示达标，
而正数或0 的个数共有5 个，所以百分率为：
；
答：这8 名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56 个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
3．下面说法中正确的是( )．
A． 非负数一定是正数．
B． 有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．
一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)
不对，当
为负数或0 时，则
为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示
这个有理数.
举一反三：
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【变式1】判断题：
（1）0 是自然数，也是偶数．（ ） （2）0 既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）
（3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）
【答案】√， ，，
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).
(A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数 (D)0 不是最小的有理数
【答案】Ｄ
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,
，
.
正整数集合:{ …}， 负整数集合:{ …}，
整数集合:{ …}， 正分数集合:{ …}，
负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，
非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.
【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，
；
负分数： -3.88，
；
分数：0.0708，3.14159265，
，-3.88，
；
非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，
；
非正数：-700, -3.88, 0,
【解析】
【总结升华】填
数的方法有两种：一种是逐个考察，一一
进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个
概念：非负数包括0 和正数；非正数包括0 和负数.
举一反三：
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【变式】在数 -100, 70.8, -7, π, -3.8, 0,
,
,
中,不是分数的是
___________________;不是小数的是_____________;不是有理数的是______________.
【答案】-100，-7，π，0，
；-100，-7，0；π，
.
类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1
组取3 粒，第2 组取5 粒，第3 组取7 粒，第4 组取9 粒，
.按此规律，那么请你推测第n 组
应该有种子是 粒.
【答案】
【解析】第1 组取3 粒，第2 组取5 粒，第3 组取7 粒，第4 组取9 粒，
，由此我们观察到的
粒数与组数之间有一定关系：
，
，
，
，
，按
此规律，第n 组应该有种子数（
）粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，
，根据这个规律，那么第2010 个数是：
【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：
根据其规律可知第9 个数是：
【答案】
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